正弦定理教案全

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：

一、复习引入：

1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？

2.在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。 二、讲授新课：

探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

abcab直角三角形中的正弦定理： sinA = sinB = sinC=1 即c=. ccsinAsinBsinC探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有

CDasinBbsinA,则

abac. 同理，（思考如何作高？），从而sinAsinBsinAsinCabc. sinAsinBsinC探究三：你能用其他方法证明吗？ 1． 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

111S△ABC=absinCacsinBbcsinA.

2221cab 两边同除以abc即得：==.

2sinAsinBsinC2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴同理

CabAOBDcaaCD2R， sinAsinDcb=2R，＝2R.

sinCsinBrruuuruuuruuuruuur3．证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j 得…..

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinAbsinBcsinC=2R

[理解定理] 1公式的变形：

(1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC (3)a:b:csinA:sinB:sinC

(2)sinA(4)abc,sinB,sinC,2R2R2Rabaccb,,sinAsinBsinAsinCsinCsinB2.正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:

①ABC②sin(AB)sinC,cos(AB)sinC③Sabc三、 教学例题：

ab1absinC 2例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 解：c10,A450,C300 ∴B1800(AC)1050

csinA10sin450ac102 由得 a0sinCsin30sinAsinCcsinB10sin1050bc20sin7505652 由得 b0sinCsin30sinBsinC评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先

利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA,sinC解：sinAsinCa0C180,C600或1200

6sin4503

22csinB当C60时，B75,bsinC00006sin75031， 0sin60csinB6sin150当C120时，B15,b31

sinCsin600b31,B750,C600或b31,B150,C1200

练习：P4 —— 1.2题

例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001,sinC 解：∵

sinBsinCb23bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c22

【变式】 ABC中，a2,A1350,b3,求B 四、 小结：

五、课后作业

abck,则k为( 2A ) sinAsinBsinC1A2R BR C4R DR(R为△ABC外接圆半径)

21在△ABC中，

2 在ABC中，已知角B45，c22,b43，则角A的值是 3A.15 B.75 C.105 D.75或15 3、在△ABC中,若A30,B60,则a:b:c 1:3:2

4、在ABC中，若B60，b76,a14，则A= 。

5、在△ABC中，AB6,A30,B120,则三角形ABC的面积为 93 5、在ABC中，已知a

3,b2,B45，解三角形。

六、心得反思

1.1.1正弦定理学案

学习目标：

①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。 预习自测

1. 正弦定理的数学表达式

2. 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 叫做三角形的元素.已知三角形

的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)

问题引入：

1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？

2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。 二 合作探究：

1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

3、探究三：你能用其他方法证明吗？

4、正弦定理的变形：

5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：

三例题讲解

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

【变式】ABC中，a2,A1350,b3,求B

思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？ 四 课堂练习：必修5课本P4 T1、2 五 课后作业：

abck,则k为( ) sinAsinBsinC1A2R BR C4R DR(R为△ABC外接圆半径)

22△ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，则△ABC为( )

A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形

1在△ABC中，

3在ABC中，已知角B45，c22,b43，则角A的值是 3 A.15 B.75 C.105 D.75或15

4、在ABC中，若B60，b76,a14，则A= 。

5、在ABC中，已知a

3,b2,B45，解三角形。

六 心得反思

1．1．2解三角形的进一步讨论

教学目标

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。 教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]

思考：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

探究一．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

bsinA可进一步求出B； aasinC则C1800(AB) ，从而c

sinA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解； 3.如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若absinA，则有两解； （2）若absinA，则只有一解； （3）若absinA，则无解。

分析：先由sinB（以上解答过程详见课本第9:10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解

[随堂练习1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在ABC中，若a1，c1，C400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x22）

例2.在ABC中,已知解：令

abc,判断ABC的形状． cosAcosBcosCak，由正弦定理，得aksinA，bksinB，cksinC．代入已知条件，sinAsinAsinBsinC得，即tanAtanBtanC．又A，B，C(0,)，所以cosAcosBcosCABC，从而ABC为正三角形．

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． [随堂练习2]

1.△ABC中， sinAsinBsinC ，则△ABC为（ A ）

A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

2. 已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。 答案： ABC是等腰或直角三角形 Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； Ⅴ.课后作业

1.根据下列条件，判断解三角形的情况

(1)、a14,b16,A45(2)、a12,c15,A120

222(3)、a8,b16,A30(4)、b18,c20,B602在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －

622622 B C － D 33333已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

4根据条件解三角形：（1）c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.(3)a16,b163,A30,求角B，C和边c. (4)b13,a26,B30,解这个三角形。（5）b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b六心得反思

3，B60，求a,A，C。

1.1.2 解三角形的进一步讨论学案

【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 2.三角形各种形状的判断方法； 【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。 一、情景问题：

我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题： 在ABC中，已知a22cm,b25cm,A133，解三角形。 二、探索研究：

探究一．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

结论：

探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解

[变式练习1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若a1，c1，C400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

例2.在ABC中,已知

[变式练习2]

1.△ABC中， sinAsinBsinC ，则△ABC为（ ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

2. 已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。

四. 尝试小结

五.课后作业

1.根据下列条件，判断解三角形的情况

222abc,判断ABC的形状． cosAcosBcosC

(1)、a14,b16,A45(2)、a12,c15,A120(3)、a8,b16,A30(4)、b18,c20,B60

2 在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －

622622 B C － D 33333 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则

sinC= .

4根据条件解三角形：（1）c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.(3)a16,b163,A30,求角B，C和边c. (4)b13,a26,B30,解这个三角形。（5）b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b3，B60，求

六、心得反思

a,A，C。