题 文
时间：120分钟
满分：150分
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若命题 p ：
xR , x3
1 x2 ，则 p 为( )
A．
xR , x3 1 x2 B．
xR , x3≤1 x2 C． xR , x3
1
x2
D． xR , x3≤1
x2
2．已知集合 A
{x | 1 x 3}， B
{x | x2 2x 8 0}，则 A B ( )
A．
B． (
1, 2) C． (2 , 3) D． (2 , 4)
3．若复数 z 满足
3+4i
z 1 i (i 是虚数单位 ) ，则复数 z 的共轭复数 z ( )
1
7 i
1
7 i
1
7 1 7
i A．
i B．
C．
D．
5 5
5 5 25 25
25 25
4．为了得到函数 y 2x1
1的图象，只需把函数 y 2x 的图象上的所有的点( )
A．向左平移 1个单位长度，再向下平移 1个单位长度 B．向右平移 1个单位长度，再向下平移 1个单位长度 C．向左平移 1个单位长度，再向上平移 1个单位长度 D．向右平移 1个单位长度，再向上平移 1个单位长度 5．若函数 y
(x 1)(x a) 为偶函数，则 a 等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
6．已知函数 f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续的曲线，若 f (x) 在区间 (a,b)上是增函数， 则( )
A． f (x) 在 (a,b)上一定有零点 B． f (x) 在 (a,b)上一定没有零点 C． f (x) 在 (a,b)上至少有一个零点 D． f (x) 在 (a,b)上至多有一个零点
7．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，当 x
0 时，恒有 f (x 2) f (x) ，且当 x0,1
f (x) ex 1，则 f (2017) f (2018) ( )
1
时，
A．0 B． e C． e 1 D．1 e
8．设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的 图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(
和极小值 f( )和极小值
C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
9．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种 绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q，各种方 案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运 输量)逐步提高的是( )
e
|x|
y
的部分图象大致为( )
y
y
10．函数
y
f (x)
3x
1
O O 1 O 1 x O 1 x x
-1 --1 x 1 1
A
1
1
1
B C D
f x
11．函数
log x x
2
2
的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设对函数 f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)图像上任意一点处的切线为 l1，若总存 在函数g(x)＝ax＋2cos x图像上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2]
B．(－1，2)
C．[－2，1]
D．(－2，1)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知幂函数 f (x)
的值
k x 的图像经过 1 , 2 ，则
k
2 2
(1 log 3)
log 2
log 18
2
6
6
6
14．计算：
＝
．
log 4
6
15．已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1时有极值 0，则 a－b＝________．2
16．若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意 x∈R,a∈(0,+∞)恒成立，则实数 m的取值范围 是
．
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17题～第 21题为 必考
题，每个试题考生都必须做答.第 22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题（共 60分） 17．（12分）
在△ ABC 中， AB
2 7 ，
，点 D 在 AC 边上，且 ADB
．
C
6
（1）若 BD （2）若 AD
π 3
4，求 tan ABC ； 3BC ，求△ ABC 的周长．
18．（12分） 已知函数 f （1）求函数 f （2）若 f
x x3 3x2 9x a ．
x的单调区间；
上的最大值为 8，求它在该区间上的最小值．
x在区间
2, 2
的直线 l 与 C 交于 A，
19．（12分）设抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为
B 两点， AB 8 ．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
20．（12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手 车流通行业得到迅猛发展．某汽 车交易市场对 2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计， 得到频率分布直方图如图 1．
图 1 图 2
3
（1）记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 (8 , 16]”为事件 A ， 试估计A 的概率；
（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 x (单位：年)表示二手 车的使用时间， y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格． 由散点图看出，可采用 y
eabx 作为二手车平均交易价格 y 关于其使用年限 x 的回归方
1
程，相关数据如下表（表中Y
i
10
ln y ，Y
i
i
Y ）：
i1
10
10
10
x y Y
10
x y
i i
i1
xY
i i
i1
ix
2
i1
5. 5
8. 7
1. 9
301.4 79.75 385
①根据回归方程类型及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
②该汽车交易市场对使用 8年以内(含 8年)的二手车收取成交价格 4% 的佣金，对使 用时间 8年以上(不含 8年)的二手车收取成交价格10% 的佣金．在图 1对使用时间的分组 中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以 2017年的数据作为决策依据，计算该汽 车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
附注：①对于一组数据
n
，其回归直线
的斜率和
u1,v1 , u2 ,v2 , un ,vn v u
u v
i i
nuv , ˆ
ˆ 截v u ；
ˆ
距的最小二乘估计分别为
1
in
u
2
2 i
nu
1.73 , e
0.65
i1
②参考数据： e2.95 19.1 , e1.75 5.75 , e0.55 0.52 , e
1.85
0.16 ．
ax2
21．（12分）已知函数
x 1
．
f (x)
e
x
（1）求曲线 y f (x) 在点(0,－1)处的切线方程；
4
（2）证明：当 a 1时， f (x) e 0．
选考题：共 10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做 第一题计分．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10分）
x 1
在平面直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为
3t,
(t 为参数 )．在以原点 O
y 1
t 2cos
．
为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设l 与C 交于 P,Q两点，求POQ ．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数 f (x) （1）当 a
x a2 x 2a 3 ， g(x) x2 ax 4 ， aR ．
1时，解关于 x 的不等式 f (x) 4；
，都存在 R x
2
（2）若对任意
x
1
，使得不等式 ( )
R f x
1
( ) 成立，求实数 的取值
g x a
2
范围．
5
永春一中高二年（文）期末考数学参考答案和评分细则
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要
考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 题号 答案
1 B
2 C
3 D
4 A
5 C
6 D
7 D
8 D
9 B 10
C 11
C 12
A
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
3
13．
14．
1
15．－7
16．(-∞, )
1
2
2
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
ADB
17．解法一：如图，已知
C π 3
，
π
，
6
所以
π
，则 .………………1分
DBC
6
BD CD
BD2
CD2
2BD在△ BCD 中，根据余弦定理， BC2 所以 BC
CDcos120 ，
3CD.............................................................2分
2 7 ， BD
4，
π ， 3
（1）在△ ADB 中， AB
ADB
由余弦定理 AB2 所以 28
AD2 BD2 2AD BDcosADB ，
10 ，
AD2 16 4AD ，解得 AD 6 ，所以 AC
AC
在△ ABC 中，由正弦定理
AB
，
sin ABC sin ACB
10
所以
2 7
5 7
， ，.....................................4分
sinABC
14
sin ABC
1 2
6
由 AC 10， BC
4 3 ， AB 2 7 ，在△ ADB 中，由 AD
，故
AB ，得
， ..............5分
ABD
ADB 60
ABC
π π π
ABD DBC
3 6 2
2
21
，
所以
cosABC 1sin ABC
14 5 3
sin ABC
所以
.........................................7分
tan ABC
（2）设CD 故 AC
cos
ABC
3
3x ，
x ，则 BC 3x ，从而 AD 3BC
AD DC 4x ． .....................................................9分
BC2
2
在△ ABC 中，由余弦定理得 AB2 AC2
2
2BC AC cos 30 ，
3
因为 AB
2 7 ，所以
28
3x
4x
2 3x4x2
，解得 ． .......11分
x 2
所以 AD 6 ．故△ ABC 周长为8 2 3 2 7 ． ................................12分
，
，所以
，则
. …… 1分
解法二：如图，已知
π π
ADB
3
在△ BCD 中，根据余弦定理， BC2 所以 BC
C
6 BD2
CD2
DBC
π 6 2BDBD CD
CDcos120 ，
3CD.............................................................2分
2 7 ， BD
4，
π ， 3
（1）在△ ADB 中， AB
ADB
由余弦定理 AB2 所以 28
AD2 BD2 2AD BDcosADB ，
AD2 16 4AD ，解得 AD 6 ，......................................3分
AB2
BD2
AD2
7 ， 14
由余弦定理
cos又因为
ABD
2AB AD
ABD(0 , π)，所以sin 1 cos2 3 21 ．
ABD ABD
14
所以 tan ABD 3 3 ， ......................................................5分
π ABD
6
3
tan ABD
3 1
3 3
3 3
5
3 3
所以 tan ABC tan
． ............7分
3 3 tan ABD 1 (3 3) 3 3
（2）同解法一． ............................................................12分
7
18．解析：(1)由题知： f x3
2
x x 6 9 3 3
x 1
x
...................2分
令 f x0，则 x<-1或 x>3; 令 f
-，-1
，
x3， -1，2 9 a
0，则-1 上为减函数. 分 所以减区间为（-1，3），增区间 (2)由(1)知 f(x)在 -2，-1 f 1 上为增函数，在 f x max 所以 13 8 ,解得 a=3 , ............................9分 2 1, f -2，2 2 则 f 所以 f(x)在 19,..................................................11分 分 上的最小值为-19. ..........................................12 19．解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（ x–1）（k>0）． .................1分 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． y k(x 1) 由 得 ．...................................3分 k2 x2 y 2 (2k2 4)x k2 0 4x 2k 2 4 2 △=16k2 16 0，故 x 1 2 x ． .......................................5分 k 2k 2 4 ． 所以 AB AF BF 1 (x 1) 2 (x 1) 2 2 k 4k 2 4 ，解得 k=–1（舍去），k=1． ................................6分 由题设知 8 k 2 因此 l 的方程为 y=x–1． ......................................................7分 （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 (x 3) y x 5 ，即 ． ..............................................8分 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 8 y 0 x 5, x 0 0 3, 0 x 11, (y 2 解得 或 .........................10分 x 1) 16. 6. (x 0 1) 2 0 0 y 0 2. y 0 2 3)2 (y 2)2 16或 (x 11)2 (y 6)2 8,12 因此所求圆的方程为 (x 144 ． ..........12分 20．解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017年成交的二手车使用时间在的频率为 0.07所以 P 4 0.28 ，在12,16 0.03的频率为 4 0.12 ......................3分 A 0.28 0.12 0.40 ． .............................................4分 （2）①由 y 10 eabx 得 ln y a bx ，即Y 关于 x 的线性回归方程为YA a bx ． ....5分 x Y i i 10x Y 79.75 10 5.5 1.9 ， 因为 i 10 2 b 1 385 10 5.5 0.3 x 2 i 10x 2 i1 a Y b x 1.9 0.35.5 3.55 所以Y 关于 x 的线性回归方程为YA 即 y 关于 x 的回归方程为 3.55 0.3x ， ..............................7分 y e ..........................................8分 3.55 0.3 x ② 根据①中的回归方程 y 3.55和图0.3 1，对成交的二手车可预测： e x 使用时间在 0，4 的平均成交价格为e e 19.1，对应的频率为 0.2 ； 3.55 0.3 2 2.95 使用时间在 4，8 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ； e3.55 0.36 e1.75 5.75 0.36 使用时间在 8，12 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ； e3.55 0.310 e0.55 1.73 0.28 使用时间在 12，16的平均成交价格为e 3.550.314 e0.65 0.52 ，对应的频率为 0.12 ； 使用时间在 16，20 的平均成交价格为e 3.550.318 e 1.85 0.16 ，对应的频率为 0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 0.219.1 0.36 5.754% 0.281.73 0.120.52 0.040.16 0.29092 0.29 万元 ...........................................12分 9 10% ax2 (2a 1)x 2 21．解：（1） ，....................................2分 f (x) e x f (0) 2 ． .................................................................3分 因此曲线 y f (x) 在点(0,-1)处的切线方程是 2x y 1 0 ． .....................4分 （2）当 a 1时， f (x) e (x2 x 1 ex1)ex ．...............................6 分 ............................................................................3分 令 g(x) x2 x 1 ex1 ，则 g(x) 2x 1 ex1 ． ..............................8分 ∵ g(x)在 R上单调递增，且 g( 1) 0 ∴当 x 1时， g(x) 0 ， g(x) 单调递减；当 x 1时， g(x) 0， g(x) 单调递增；分 所以 g(x) g(1) 0 ．......................................................11分 故 f (x) e 0． ............................................................12分 x 1 3t, 22．解法一：（1）由 得 的普通方程为 ， 1 l x 3y 1 3 y 1 t, 分 x cos , 又因为 ， 所以 的极坐标方程为 ． ........3分 l cos y 3 sin 1 3 sin , 由 2 cos 得 2 2 cos ，即 x2 y2 2x ， ...............................4分 所以C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0．......................................5分 （2）设 P,Q 的极坐标分别为 ，则 ................6分 1 , 1 , 2 , 2 POQ 10 1 2 由 cos 3 sin 1 3,消去 得 ， ......7分 2 cos cos 3 sin 1 3 2 cos , π 化为 cos 2 3 sin 2 3 ，即sin 2 6 π π π 7π 因为 0， ，即 2 + ， ，所以 2 2 6 6 6 3 ， ...........................8分 2 π π 2 π 2π ，或 ， ........9分 6 3 6 3 10 1 π , 1 π , π 4 所以 ． ............................10分 12 即 π 2 , 或 π POQ 1 2 = 6 2 , 4 12 解法 2： （1）同解法一 ......................................................5分 （2）曲线C 的方程可化为 x 1 2 ，表示圆心为 且半径为 1的圆． ....6分 y2 1 C 1, 0 3 x 1 t , 2 将 l 的参数方程化为标准形式 (其中 为参数)，代入 的直角坐标方程为 C 1 y 1 t 2 2 2 t x2 y2 2x 0 得， 3 1 1 1 2 0 t 2 3 t 2 1 2 t ， 0 或t1 整理得，t2 t 0 ，解得t 1． .....................................8分 2 设 P,Q 对应的参数分别为 1 , 2 ，则 1．所以 ， .......9分 t t 又因为O 是圆C 上的点，所以 PQ PCQ t 30 t PCQ 60 POQ 2 ............................10分 解法 3： （1）同解法一 ......................................................5分 （2）曲线C 的方程可化为 x 1 2 ，表示圆心为 且半径为 1的圆． ....6分 y2 1 1 3 C 1, 0 又由①得l 的普通方程为 x 3y 0， .................................7分 则点C 到直线l 的距离为 d 3 ， .............................................8分 2 1，所以△PCQ 是等边三角形，所以 PCQ 60 ， .........9分 所以 PQ 2 1 d2 PCQ 又因为O 是圆C 上的点，所以 POQ 2 30 ............................10分 2x , x 1, 23．解：（1）当 a 1时， f x x 1 x 1 ，则 f x 2, 1≤x 1, 2x, x≥1. 2分 当 x 当 1时，由 f 1≤x 1时， f xx≤4 得， 2x≤4，解得 2≤x 1； ≤4 恒成立； 11 当 x≥1时，由 f 所以 f x≤4 得， 2x≤4，解得1≤x≤2 ． .............................4分 x≤4 的解集为 x 2≤x≤2 ． .......................................5分 成立， （2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 2 x1 R x R f x 1 g x 2 所以 f 因为 a2 xmin g min x ． .....................................................6分 2a 3 a 1 2 2 0 ， 所以 a2 2a 3 ， 且 x a2 3≤x≤a2 时，①式等号成立，即 f x min a 2 a2 2a 3 a2 ，…① x 2a 3≥ x a2 x 2a 3 2a 3 当 2a ．....................7分 2a 3 2 2 2 又因为 ≥ ，…② x 2 ax 4 x a 4 2 4 4 a 4 a a 当 时，②式等号成立，即 a 2 ．..............................8分 x 2 g x min a 2 4 4 所以 ，整理得， 2 ， ............................9分 a 2a 3 4 4 2 5a2 8a 4 0 解得 或 ，即 的取值范围为 , 2 ．...................10分 a 5 a 2 a 2, 5 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容