,不等式的证明方法2

本科毕业设计（论文）

（2013届本科毕业生）

题 目：不等式的证明方法 学生姓名： 学生学号：

学 院：数学与应用数学学院

专业名称：数学与应用数学专业 指导教师：

二Ｏ一三年五月

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皖西学院本科毕业论文（设计）

目 录

摘 要 ........................................................................................................................... 3 关键词 ........................................................................................................................... 3 Abstract ........................................................................................................................ 4 Key words ..................................................................................................................... 4 一 引 言 ................................................................................................................. 5 二 不等式的基本性质 ................................................................................................. 5 三 证明不等式的七种方法 ......................................................................................... 6

3．1比较法 ........................................................................................................... 6 3．2 综合法 .......................................................................................................... 7 3．3 反推法 .......................................................................................................... 7 3．4反证法 ........................................................................................................... 8 3．5数学归纳法 ................................................................................................... 8 3．6换元法 ........................................................................................................... 9 3．7放缩法 ......................................................................................................... 10 四 几种著名不等式的正法 ....................................................................................... 10

4.1均值不等式 .................................................................................................... 11 4.2柯西不等式 .................................................................................................... 11 4.3赫尔德不等式 ................................................................................................ 11 4.4詹森不等式 ................................................................................................... 12 总结 ............................................................................................................................. 13 结束语 ......................................................................................................................... 14 参考文献 ..................................................................................................................... 15 致 谢 ................................................................................... 错误！未定义书签。

不等式的证明方法

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摘 要：本文总结了不等式的几种证明方法。初等数学常用的方法有比较法、综合法、反推法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法等，高等数学常用的方法有均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等.并精选例题来说明每个不等式的证明方法,通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具。

关键词：不等式；比较法；数学归纳法；柯西不等式；

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Some solutions to prove the inequality problems

WANG Hao

Abstract: This article summarizes the inequality proof of several kinds of methods. Elementary

mathematics commonly used method is comparison, synthesis, backstepping method, reduction to absurdity, discriminant method, change element method, mathematical induction, commonly used methods have higher mathematics average inequality, cauchy inequality, Jensen's inequality, hull inequation, etc., and selection of examples to illustrate each of the inequality proof method, through the application of the above method to make our knowledge of inequality proof system with a deeper understanding of, and for many other content in mathematics provides an important tool for learning.

Key words: Inequality; Comparison method; Mathematical induction; Cauchy inequality;

不等式的证明方法

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一 引 言

不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外专家及学者的长期不懈努力，不等式证明已经取得了丰硕的成果，著名数学家D.S.Mitrinovic在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”，由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义.

相对于等式的可确定性，不等式更像是确定一个界限，制定一个条件来规范，和划定一个范围，所以不等式的证明是非常有趣和富有挑战。不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强。其最基本的方法是应用定义及基本性质，并通过代数变换予于证明。要追寻一个大家所熟知的不等式的起源是很困难的，很可能它是在一篇关于几何或文学方面的论文中作为一个辅助命题首先出现，但在出现的时候却又往往没有明确的表达出来；过了若干年后，它又可能为几个不同的作者重新发现；但也许没有一个可以过得去的叙述是十分完善的。我们几乎常常发现，即使对于那些最著名的不等式，也还是可以增添一点的东西，像不等式这样的一个内容，它在数学的各个方面皆要用到。

二 不等式的基本性质

不等式的基本性质:

实数集内的任意两个数a、b，如果ab0，则ab;如果ab0，则ab；如果

ab0，则ab。反过来也可以。即

a≧bab0这里符号表示等价于。

这个定义虽然很简单，但是它反映的是不等式的性质。许多不等式的证明，都是从这个定义出发的。首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。 （1）abba(对称性) （2）若ab,bc,则ac(传递性) （3）若ab,则abbc （4）若ab,c0，则acbc

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若ab,c0,则acbc. （5）若ab,cd,则acbd.

若ab,cd,则acbd. （6） （7）

若ab0,cd0,则acbd.

11.若ab,ab0,则ab

（8） 若ab0,dc0,则

ab0

（9）

若ab0,nN，则anbn,nanb.

mnmnmn（10） 若ab0,m,nN，则ab,a含绝对值的不等式：

b.

mn下面是几个含绝对值的基本不等式，以后讨论可以用到。

(1)xax2a2axaxbaabxab(2)xaa0x2a2xa或xa.

3ababab.4a1a2...ana1....an.三 证明不等式的七种方法

不等式的证明没有固定的程序，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。其最基的手法是应用定义及基本性质，并通过代数变换予于论证。最常用的方法大致有比较法、综合法、反推法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法等。

3．1比较法

比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为求差法和求商法。

求差法的理论依据是不等式的基本性质：“ab0,ab；ab0,ab”。其一般步骤为：(1)作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；(2)变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积等；(3)判断：根据已知条件判断

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不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。一般不等式两端是多项式、分式或对数式时使用差值比较法。 例1: 已知0a,b,c1,求证：

abc1a1b1c1.

bc1ca1ab1证明：显然，对本题如果把左端直接通分会把问题龙的很复杂。不失一般性，可设

0abc1,于是，有

abcabc,因而可以尝试去证简单的不等式

bc1ca1ab1ab1abc1a1b1c1.2左边

ab1ab1c11c11ab1a1b, 1a1b1c1=

ab1ab1ab1又

1ab1a1b1abab1a1b1a1b1a1b1a1b122故不等式（2）

得证，从而原不等式成立。

3．2 综合法

从已知数量与未知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。综合法是“由因导果”，即利用已知事实作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”，是一种很常用的方法。

ab例2: 已知：a,b同号，求证：2.

ba 证明: 因为a,b同号，

所以 ab0,0,ba

abab则 22,baba

ab即 2.ba

3．3 反推法

反推法就是先假定要证的结果。假设要证的不等式是成立的，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式，直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式。由于等

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价性，从最后的不等式成立，得知原不等式成立。其特点和思路是“执果索因”。这种证题模式告诉我们，反推法证题是每一步的推导过程都必须可逆,即步步寻求上一步成立的充分条件。

例3: 求证：57115.

证明: 要证

57115，即证1223516215，即35215，

3519415，41516，154，1516. 由此逆推即得 57115.

3．4反证法

反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。证明一般分为三个步骤，首先假设命题的结论不成立了，然后从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾，最后由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例4: 已知ab0，n是大于1的整数，求证：nanb.

证明: 假设 nanb，

则 n即

b1， ab1， a故 ba，

这与已知矛盾，所以nanb.

3．5数学归纳法

我们知道数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，在证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法。一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

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例5：已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1.

证明: （1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；

kkk1k1（2）若nk时，ababab成立，则

ak1bk1a(akbk)abkbk1a(ak1babk1)abkbk1

kk2k1kk1kkk12kkabab(ab2abb)ababb(ab)abab=，

即ak1bk1akbabk成立.

nnn1n1根据（1）、（2），ababab对于大于1的自然数n都成立.

3．6换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。主要有两种形式: (1)应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ^2+y^2 =r ^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc0等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如ab1，可以用

a1t,bt进行换元。

例6-1：已知x,yR且x2y21.求证x22xyy22.

证明：设xrcos,yrsin,r1,则

x22xyy2r2cos22cossinsin2r2cos2sin22r2sin22.4

例6-2：已知：abc1，求证：abbcca13

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证明: 设a111t，bat(tR)，则c(1a)t， 333111111abbccatatat(1a)tt(1a)t33333311(1aa2)t2, 33

1所以 abbcca.

3

3．7放缩法

所谓放缩法，要证明不等式A13599990.01. 例7 求证：246100001359999,则 证明: 令p246100001325299992p2222461000021329999222 2141100002111,10001100002 所以 p0.01.

四 几种著名不等式的正法

利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强。

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4.1均值不等式

例7：已知a、b、cR，且abc1。求证：证明：由 a、b、cR，abc1

1111118 abc11abc2bc 1aaaa同理

12ac12ab，1 1bbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1112bc2ac2ab8 111abcabc当且仅当abc1时取等号 34.2柯西不等式

1n2例8 设aiR，i1，2，„，n．求证：aiai．

ni1i1证明: 由柯西不等式

nn2n2aiai1ai1nai2．

i1i1i1i1i1n2n2n2两边除以n即得．

11n说明：两边乘以后开方得ainni11n2ai．当ai为正数时为均值不等式中的算术平ni1均不大于平方平均．

4.3赫尔德不等式

例9 设a,b为正常数，0x

2，nN，求证：

2n2absinnxcosnxa2n2b2n2n22

nn2ba证明: nnsinxcosxba= nnsinxcosx2n22n2 sinxcosxnn222

nn2a nsinxsinx2bncosx2n2cosx2

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即

= a2n2b2n2

n22absinnxcosnxa2n2b2n2

4.4詹森不等式

例10 证明不等式

(abc)abc3aabbcc, 其中a,b,c均为正数.

证明: 设 f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数

f(x)lnx1,f(x)1 x可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(abc1)(f(a)f(b)f(c)), 33从而

abcabc1ln(alnablnbclnc), 333即

(abcabc)aabbcc. 3又因3abcabc,所以 3abc3 (abc)aabbcc.

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总结

不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其的证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种证明方法，并用例题作一一讲解，意在抛砖引玉。

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结束语

经过这段时间的毕业论文设计和对相关资料的收集，我对于不等式的证明有了深刻的了解和认识，不等式的证明方法多样，不仅需要了解不等式证明的基本方法，还需要因地制宜根据不同的情况选择不同的方法来论证，有时还要靠数学中其他的知识来完成不等式的证明，经过对这篇论文的编写，我收益匪浅。

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参考文献

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