初三数学动点问题练习

动点问题

如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题

例5：（宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S 随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

C C C P Q Q P

Q P

A M N B B A M N B A M N

解：

点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。

举一反三

1、（济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－

14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。 (1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值； y (2)求直线BC的解析式；

B (3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。

①当0＜t≤45时，试求出m的取值范围； P ②当t＞45时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

考点：一元二次方程，角平分线性质，勾股定理，待定系数法

2、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF

在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y． （1）如图2，求当x=

O x C A 1时，y的值是多少？ 2（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值； （3）求y与x之间的函数关系式；

图1

考点：相似三角形的判定与性质， 二次函数的知识综合运用 （1）45/32 (2) 3/4, 261/128

二、利用函数与方程的思想和方法,将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。 例2：（包头）如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

A

D Q

B C P

举一反三1、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，43)，点B在x正半轴上，且∠ABO30．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN． （1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

y y

A P A

C E

O M O N B x D B x

（图1）

（图2）



（1） B(12， 0)(2) 8-t, t=2

2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； A

P

考点：30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的解法 (1)t=1或2 (2)不存在

BQC

、

例1（1）过点C作CDAB，垂足为D．则AD2，

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即AM3时， 2四边形MNQP是矩形，t3秒时，四边形MNQP是矩形． 2PMAMtan60°=3333，S四边形MNQP22 13(PMQN·)MN3t 22（2）1°当0t1时，S四边形MNQP)MN2°当1≤t≤2时，S四边形MNQP(PMQN·1233 23°当2t3时，S四边形MNQP17(PMQN·)MN3t3 22

举一反三1解：（1）P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等， S1：S2=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D． 设OC=a，则CD=a，AC=8-a，

∴（8-a）=a+（10-6），∴C点坐标为（3，0），∴BC的解析式为y=-2x+6； （3）①当t=4

，

时，设P点到达P1点的位置（如图2），作P1Q⊥x轴于Q，则，

2

2

2

∴∴当t=4当0＜t≤4

，∴CQ=1，∴OQ=4=OA，∴P1O=PA， 时，PA-PO=0，即m=0． 时，即P处于B，P1之间时，

在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB， ∴PE=PO．

在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4， ∴PA-PO＜4，即m＜4．

作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR， ∵

，

，

∴PA＞PO，

∴PA-PO＞0，即m＞0． 综上所述，当0＜t≤4②当t＞4

时，0≤m＜4；

时，m＜0．

例2（1）①∵t1秒，∴BPCQ313厘米，

∵AB10厘米，点D为AB的中点，∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD． 又∵ABAC，∴BC，∴△BPD≌△CQP． ②∵vPvQ， ∴BPCQ，

又∵△BPD≌△CQP，BC，则BPPC4，CQBD5， ∴点P，点Q运动的时间tBP4CQ515秒，∴vQ厘米/秒．

4433t38015x3x210，解得x秒．

34（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得

∴点P共运动了

80380厘米． 380秒点P与点Q第一次在边3∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过

AB上相遇．