要点一:手拉手模型
拉手模型
特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的 顶点为公共顶点
结论:(1)△ABD≌△AEC(2)∠α+∠BOC=180° (3)OA平分∠BOC
变形:
例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE,连结AE与CD,证明 (1)ABEDBC (2)AEDC
(3)AE与DC之间的夹角为60 (4)AGBDFB (5)EGBCFB (6)BH平分AHC (7)GF//AC
变式精练1:如图两个等边三角形BCE,连结AE与CD, 证明(1)ABEDBC (2)AEDC
(3)AE与DC之间的夹角为60
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分AHC
变式精练2:如图两个等边三角形ABD与BCE,连结CD,
证明(1)ABEDBC (2)AEDC
(3)AE与DC之间的夹角为60
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 例2:如图,两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,者相交于点H
问:(1)ADGCDE是否成立 (2)AG是否与CE相等
(3)AG与CE之间的夹角为多少度 (4)HD是否平分AHE
二
AE与
ABD与
例3:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连结AG,CE,二者相交于点H 问:(1)ADGCDE是否成立 (2)AG是否与CE相等
(3)AG与CE之间的夹角为多少度 (4)HD是否平分AHE
例4:两个等腰三角形ABD与BCE,其中
ABBD,CBEB,ABDCBE,连结
问:(1)ABEDBC是否成立 (2)AE是否与CD相等
(3)AE与CD之间的夹角为多少度 (4)HB是否平分AHC
例5:如图,点.C在同一条直线上,分别以线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.与DC所在直线相交于F,连接FB.判断线段间的数量关系,并证明你的结论。
【练1】如图,三角形ABC和三角形CDE都
A,E,D,同在一条直线上,且角EBD=62°,求角AEB的度数
AE与CD,
AB、BC为边在直连接AE、DC,AEFB、FE与FC之是等边三角形,点
倍长与中点有关的线段
倍长中线类
考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转的:将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角移线段。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中方式1:延长AD到EA, AD是BC边中线使DE=AD, 连接BE
方式2:间接倍长 B作CF⊥AD于F,延长MD到N, 作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD,
连接BE连接CD DC线,倍化的目形、平
1【例1】 已知:ABC中,AM是中线.求证:AM(ABAC).
2AC9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么 【练1】在△ABC中,AB5,E【练2】如图所示,在ABC的AB边上取两点E、F,使AEBF,连接CE、CF,求证:
ACBCECFC.
【练3】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB上一点,F线上的一点,且BD=CF,连结DF交BC于E.求证:DE=EF(倍长中短)
是AC延长线、截长补
【例2】 如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,
AFEF,求证:ACBE.
【练1】如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BEAC,延长BE交AC于F,求证:AFEF
【练2】如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:BF=CG. 【练3】如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若BGCF,求证:AD为ABC的角平分线.
【练4】如图所示,已知ABC中,AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EFAC.
求证:EF∥AB
【例3】已知AM为ABC的中线,AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:BECFEF.
【练1】在RtABC中,F是斜边AB的中点,D、E分别在边CA、CB上,满足DFE90.若AD3,BE4,则线段DE的长度为_________.
【练2】如图,△ABC中,AB=2AC,AD平分BC且AD⊥AC,则∠BAC=______.
【练3】在ABC中,点D为BC的中点,点M、N分别为AB、AC上的点,且MDND.
(1)若A90,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
(2)如果BM2CN2DM2DN2,求证AD21AB2AC2. 4【例4】如图,等腰直角ABC与等腰直角BDE,P为CE中点,连接PA、PD.
探究PA、PD的关系.(证角相等方法) 【练1】如图,两个正方形ABDE和ACGF,点P为BC的中点,连接PA交EF于点Q.
探究AP与EF的数量关系和位置关系.(证角相等方法)
【练2】如图,在ABC中,CDAB,BADBDA,AE是BD边的中线.求证:AC2AE 【例5】如图所示,在ABC中,ABAC,延长AB到D,使BDAB,E为AB的中点,连接CE、CD,求证CD2EC.
【练1】已知ABC中,ABAC,BD为AB的延长线,且BDAB,CE为ABC的AB边上的中线.
求证:CD2CE
【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.
【例16】如图,两个正方形ABDE和ACGF,点P为BC的中点,连接PA交EF于点Q.
探究AP与EF的数量关系和位置关系.(倍长中线与手拉手模型综合应用)
【练1】已知:如图,正方形ABCD和正方形EBGF,点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.
⑵如图,若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数(90),其他条件不变,上述结论还正确吗若正确,请你证明;若不正确,请说明理由.
★全等之截长补短:人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起;出现角平分线进行翻折;有具体角的度数说明要求角的度数,进而得到角相等,全等)
【例10】 如图所示,ABC中,C900,B450,AD平分BAC交BC于D。求证:
AB=AC+CD。
【练1】如图所示,在ABC中,B600,ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证:AE+CD=AC。
【练2】已知ABC中,A60,BD、CE分别平分ABC和
ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明. B【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交DC于点E,连接BE,且AE⊥BE,求证:AB=AD+BC. 【练3】已知:如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线。求证:BC=AB+AD.
AAECODADOBEDCBCA【练4】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,∠BDC=120°,∠MDN=60°,求证MN=MB+NC. 【例11】已知如图所示,在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C(不只是边,倍角也适用) 【练1】如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于点D.求1证:∠DBC=∠BAC.
2【例12】如图所示,已知12,P为BN上一点,且PDBC于D,AB+BC=2BD,求证:
BAPBCP1800。
NMBCDM【练1】如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ABC,
求证:AC1800
BA12APNCDCD【例13】如图所示,在RtABC中,AB=AC,BAC900,ABDCBD,CE垂直于BD的延长线于E。求证:BD=2CE。 【练1】已知:如图示,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.求证:CD=2AD.
BC【练2】如图所示,在ABC中,ABC900,AD为BAC的平分线,C=300,BEAD于E点,求证:AC-AB=2BE。
【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交∠DCH的平分线于点F,求证AE=EF
【练4】已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE
【例14】如图所示,已知ABABC,BCD探求ED、AE和BC之
间有何数量关系
AEBPEDDCC【练5】在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
【例15】如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证:AB-AC>PB-PC A 12 P BC AB【练1】已知AM为ABC的中线,AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F. D 求证:BECFEF. A如图,E是AOB的平分线上一点,ECOA,EDOB,垂足为C、D。求证:(1)OC=OD;(2)DF=CF。 C构造等边三角形 1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一EF点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC. O2、在等腰ABC中,ABAC,顶角A20,在边AB上取点BDD,使ADBC,求BDC. 练习1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm
练习2、在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且
AD=A'D',证眀:ABCA'B'C'.
A A' (倍长中线)
练习3、如图,在△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,AD⊥BE,垂足为D,求证:∠2=∠1+∠C
B' C B D'
D
C' 练习4、如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E (1)试说明:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何请直接写出结果;
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何请直接写出结果,不需说明理由.
如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,有过A的任一条直线AN,BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求证:DE=BD-CE.(思路:截长补短法)
如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证:∠ACD=60°.(截长补短)
1、如图,等腰直角ABC与等腰直角BDE,P为CE中点,连接PA、PD.
探究PA、PD的关系.(辅助线的连法都一样) 2、已知:如图,正方形ABCD和正方形EBGF,点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.(辅助线的连法都一样) ⑵如图,若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数(90),其他条件不变,上述结论还正确吗若正确,请你证明;若不正确,请说明理由.
3、已知AM为ABC的中线,AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.
求证:BECFEF.(辅助线的连法都一样)
【阅读理解】
已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分线,交BC边于点D.求证:AC=AB+BD证明:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知:Rt△ADB≌Rt△ADE(AAS) ∴∠AED=∠B=90°,DE=DB
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形. ∴DE=EC.
∴AC=AE+EC=AB+BD. 【解决问题】
已知,如图2,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC边于点D,DE⊥AC,垂足为E,若AB=2,则三角形DEC的周长为.
【数学思考】:现将原题中的“AD是内角平分线,交BC边于点D”换成“AD是外角平分线,交BC边的延长线于点D如图3”,其他条件不变,请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系,并证明你的猜想. 【类比猜想】
任意三角形ABC,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的外角平分线,交CB边的延长线于点D,如图4,请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系.
如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC. (1)求证:AM平分∠DAB
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系直接写出结果。
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容