函数零点教学设计

1、课题：函数的零点

2、教材版本：苏教版数学必修（一）第二章2.5.1函数的零点 3、课时：1课时 二、【教学分析】 教材内容分析：

本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定。

函数的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 教学目标： 1、知识与技能

（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）了解函数零点与相应方程的根的联系，掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法

（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（2）渗透算法思想，运用算法解决问题，为后面系统学习算法做准备。 3、情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 教学重点： 零点的概念及零点存在性判定。

教学难点： 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。 教学方法：

问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终；以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 三、【教学过程】 （一）、问题情境

（1）画出二次函数的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过学生熟悉的二次函数图象入手，让学生体会二次函数图象与x轴交点的数值与方程根的对应关系，方程的实数根就是的函数值为0时自变量x的值,建立初步的数形结合数学思想。（课件展示函数图象）

（2）画出二次函数、与的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在x轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x轴相交时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程数学思想。

提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x称为二次函数的零点）。 （二）、合作探究

探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的

的图象

的零点

说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题,让学生体会从具体到一般函数图象与x轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难，教师可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。 板书课题:函数的零点 （三）、意义建构

函数的零点概念：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（zeropoint）。 注：（1）零点不是点。

等价关系

函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）

有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程

的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。

说明：通过对概念的陈述，让学生了解函数零点的概念及性质，对函数零点的概念有了完整的认识，达到质的飞跃。 （四）、数学运用

例1：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。 ① ② ③ ④ ⑤

（师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）

说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。本题的五个小题都简单，主要考察学生零点概念的掌握情况，题目包含了我们从初中到目前已经学过的常见函数，目的让学生通过及时练习加强对函数零点的的认识。

通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用。为下面学习根的存在条件奠定基础。

例2 求证：二次函数有两个不同的零点。

说明：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，图象与x轴有两个不同的交点。几何画板演示画图象过程，引导学生观察当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示刺函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。 板书证明过程

证明：设,则 f(1)=－2<0。

因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断）， 这表明此图象一定穿过x轴，

所以函数的图象与x轴有两个不同的交点。 因此，二次函数有两个不同的零点。

从上面的解答知道，此函数有两个零点是。

问题（1）你能说明此函数在哪个区间[a，b]上存在零点（）吗？ 问题（2）如何判断一个函数在区间（a，b）上是否存在零点？

让学生自己思考、发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性判定。 如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点。

教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论。通过讨论认识问题的本质，升华对零点存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

（4）在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

（5）如果是二次函数y＝f(x)的零点，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？ 为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图。

说明：设置成流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础。算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可。

例3．求证：函数在区间(－2，－1)上存在零点．

说明: 学生完成过程中，教师巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化。 （五）、归纳总结

说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础。 （六）、反馈练习

(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是 ；

(2)二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ； (3)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围 ； (4)已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 个； (5)在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为 ；

说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.对做的好的及时给予表扬。 （七）、作业布置

1、完成苏教版必修1第76页练习1、2。 2、

①有2个零点;②3个零点;③4个零点.

四、【板书设计】 屏幕

函数的零点

一、函数零点的定义：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（零点不是点）.

二、方程的根与函数零点之间的等价关系 函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴有交点（形）

零点存在性判定 例1 例2

五、【教学反思】

前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学。”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究。学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼。

本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性。