江西省上饶市六校2022届高三数学(理)第二次联考试题【含答案】

数学（理科）试题

考试时间：120分钟

满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．已知R为实数集，集合Axx3x40,Bxyln(x1)，则ARB（ ）

A．x1x4

2B．x1x1

C．xx1

D．xx4）

2．复数z满足z(1i)23i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ A．第一象限

B．第二象限

）

C．第三象限

D．第四象限

3．下列结论错误的是（

A．若“pq”为真命题，则p、q均为真命题B．“acbc”是“ab”的充分不必要条件

C．命题“若x4，则x2x80”的否命题是“若x4，则x2x80”D．命题“x0，都有31”的否定是“x0，使得31”4．函数f(x)xx2222x的大致图像为（ ）xx22A． B．

C．

5．为得到函数g(x)2cos2x（

）

D．

3的图像，只需把函数f(x)2sin2x的图像6A．向左平移

4个单位 B．向左平移

2个单位

C．向右平移

4个单位 D．向右平移

2个单位

6．在区间[0,1]上随机取两个数x、y，则满足xy1的概率为（ ）3A．

2 9B．

1 3C．

4 9D．

237．已知yf(x)是xR上的奇函数，且对xR，都有f(x2)f(x)，当

x(0,1)时，函数f(x)3x，则flog118（ ）

3A．1 2B．2 C．1 3D．238．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（ A．4320种

B．2160种

C．1080种

D．540种

）

9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB26,BC4,AA14，E是棱AB上靠近B的三等分点，F，G分别为BC,CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线B1P与平面EFG垂直，则三棱锥ABB1P的外接球的表面积是（

）

A．28 B．56 C．112 D．22410．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的

x2y2x2y2椭圆．假设内层椭圆的标准方程为1，外层精圆的标准方程为1，若由

4386外层椭圆上的一点A向内层椭圆引切线AC、AB，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的

积等于（ ）

A．3 4B．4 3C．3 2D．不确定

11．已知ABC的外心为点O，M为边BC上的一点，且

BM2MC,BAC,AOAM1，则ABC的面积的最大值等于（ ）

3A．3 2B．3

C．36 8D．36412．设a1313e4ln2ln,be,c4ln2，其中e是自然对数的底数，则（ ）242ee注：e2.718,ln20.693A．bac

B．bca

C．acb

D．cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a(3,1),b(4,2)，且ab∥ba，则实数的值为___________．

14．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b1,cosB5，且3(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，则边长c的值为__________．

15．已知函数f(x)sinx5,0ff，若且f(x)在区间64125,上有最小位无最大值，则_______．412x2y216．已知双曲线C:221(a0,b0)的左焦点为F，过F的直线l与圆

ab5x2y2a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若双曲线C的离心率为，

3则

|PT|_______．|FT|三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题．

17．（12分）计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司2021年1至7月份的5G经济收入（单位：千万）的折线图．

（1）由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请建立y关于t的回归方程；

（2）若该创新公司定下了2021年内5G经济月收入突破2千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？附注：参考数据：

yi17i9.31,tiyi40.18i17ˆ中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆaˆbt参考公式：回归方程yˆbti1nityiy2titi1nˆˆybt,a18．（12分）已知数列an,Tna1a2an，且T1（1）求an的通项公式；

111,T3,为等差数列．310(n2)Tn（2）若对任意正整数n，都有T1T2Tnm，求m的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥DAPCO中，

OAOPOCOD2,DA22,COA120平面DOA平面APCO．

（1）若OPC为等边三角形，求证：AO∥平面PCD；

（2）当四棱锥DAPCO的体积最大时，求二面角DPCO的正切值．20．（12分）已知抛物线C:y2px(p0)上的点(2,a)到准线的距离为a．（1）求抛物线C的方程；

（2）设P(0,2)，O为坐标原点，过点T(0,2)的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，

2问：是否存在直线l，使得OAOBPAPB，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请

说明理由．

21．（12分）已知函数f(x)(xa)lnxxlna，其中a0．（1）求f(x)的极值；（2）设函数g(x)f(x)f（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：x1x2x33．

22．（选考题）（10分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为：2．在平面直角坐标系中，曲线C2的参数方程为

2221有三个不同的极值点x1,x2,x3．xx23cos（为参数）．y3sin（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线6(0)与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．

23．（选考题）（10分）已知f(x)|x1||x3|．（1）解关于x的不等式f(x)6；

（2）若对任意实数x，及任意正实数a，b，且ab1，都有数的取值范围．

4f(x)恒成立，求实ab江西省上饶市六校2022届高三第二次联考

数学（理科）答案

1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C13．1 14．33 15．4或10 16．341211．AMABAC，

331212121221AOAMAOABACAOABAOAC|AB||AC||AB||AC|3333633363SABC|AB||AC|，48当且仅当|AB|2|AC|时，取等号；

12．令f(x)x1xxf(x)f(x)，则在(1,)单调递减，

exexexbe4ln2f(e),cf(4ln2)，∵4ln240.692.76e,bc；e4ln2ee4ln2ln2313,a1ln，∴4ln2e4242ln231311ln(ln3423)，令42424cca2(x1)14(x1)2，∴g(x)在(1,)单调递增，∴g(x)lnx,g(x)x1x(x1)2x(x1)2g(3)ln32(31)ln34230，∴ca；

3116．设双曲线C的右焦点为G，过G作GHPF于H，由中位线定理知：

|GH|2|OT|2a，|FH|2|FT|2b，∵ec54ba，设a3324|PT||FT|b(0)，由双线定文知：|PG||PF|2aa，又∵

334|PH||PF||FH|(1)b2b(1)b(1)a，

31624由勾股定理知：∵|PH||GH||PG|(1)243；

9332222另解：在RtFOT中，有|FO|c,|OT|a,|FT|b，∵e554，∴ca,ba333∵OTFT，∴cosTFO45设|PT||FT|b(0)，在PFG中，有|PF|(1)b4(1)a，3|FG|2c1024a,|PG||PF|2aa333cosPFG4222由|PG||PF||FG|2|PF||FG|cosPFG得35ˆ17．（1）结合题中数据可得bti17ityiyiti17t2tyii177i7tyti12i7t22.940.105， 283分

ˆ9.310.10541.330.4200.91， ˆybta75分

ˆ0.105t0.91； ∴y关于t的回归方程为y6分

ˆ0.105120.912.17，能达到（2）由回归方程预测2021年12月份5G经济收入为y目标．

12分

18．（1）由题可知

11111,2，∴等差数列d的公差，3T15T32(n2)Tn3分

∴

1n12，∴Tn，

(n2)Tn2(n1)(n2)Tnn， Tn1n25分

当n2时，an又∵a1T11n,nN； ，∴an3n26分

（2）由（1）可知Tn2112，

(n1)(n2)n1n29分

∴T1T2Tn2211． 2n2由题可知m1，∴m的取值范围是[1,)

12分

19．（1）在底面四边形APCO中，AOC120，∵OPC是等边三角形，∴

PCO60，

∴AO∥PC，

3分

5分

又∴AO平面PCD，∴PC平面PCD，∴AO∥平面PCD； （2）∵OAOD2，AD22，∴OAOD，又∵平面DOA平面APCO,OD平面DOA，平面DOA平面APCOOA，∴OD平面APCO，

7分

取PC中点H，∵OPOC2，∴OHPC，∵OD平面APCO,PC平面APCO，∴ODPC，∴PC平面DOH，∴DHPC，

∴OHD即为二面角DPCO的平面角，

9分

∵VDAPCO114SAPCOODACOPsinOD3sin，其中为AC,OP所成的363角，∵AC23,OP2，∴90时，四棱锥DAPCO的体积最大，此时

OPAC，∴POC60，∴POC是等边三角形，∴OH3，在RtDOH中，

∴OH3,OD2,DOH90，∴tanOHDOD223，DH33∴二面角DPCO的正切值为23 312分

（另解：记四边形APCO的面积为S，POC,0,23，则2SSOCPSOAP2sin2sin23sin63当3时，S取得最大值．）

p2a20．（1）由题可知：ap4，∴抛物线C的方程为y28x 22a4p（2）假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2，Ax1,y1、Bx2,y2，

4分

y28x84k4xx则、， k2x2(4k8)x40，x1x21222kkykx2由(4k8)16k6464k0，得k1226分

由题可知：OAOBPAPBx1x2y1y2x1x2y12y22y1y22，

∴y1y2kx12kx22kx1x2484k84，kk∴

82k41， k10分

故存在满足题意的直线l，直线l的方程为y4x2，

12分

21．（1）f(x)lnxxaalnalnx1lna， xx1分

∴f(x)在(0,)单调递增，∵f(a)0，∴x(0,a)时，f(x)0,x(a,)时

f(x)0，∴f(x)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增，∴f(x)极小值f(a)alna，无极大值；

（2）（ⅰ）g(x)f(x)4分

1111f1lnx(lna1)12 x2xx2x25分

由题可知g(x)0有三个不同的正实根x1、、x2x3，令tx(0,)，则

112(lna1)(t1)1g(x)01lnt(lna1)10lnt0，令

2tt1th(t)lnt2(lna1)(t1)222，h(t)0有三个不同的正实根x1、x2、x3，

t114(lna1)(t1)24t(lna1)t2(64lna)t1，∴h(t)0有两个h(t)222t(t1)t(t1)t(t1)(64lna)240不同的正实根，∴4lna60∴ae，

27分

设h(t)0的两个不同的正实根为m、n，且0mn，此时h(t)在(0,m)和(n,)单调递增，(m,n)单调递减，又∵h(1)0，∵h(t)(t0)，且h(t)(t)，∴h(t)有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是e,； （ⅱ）令t1x1、t3x3，由（ⅰ）知x21,0t11t3，且t1、t3为

2228分

h(t)lnt2(lna1)(t1)(t1)lnt(t1)，令的正实根，h(t)02(lna1)t1t11t2lnt(t1)lntt(t)，则t1t3，(t)，令2t1(t1)112G(t)t2lntG(t)120G(t)在(0,1)单调递增

tttG(t)0(t(0,1))、G(t)0(t(1,))，∴(t)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递

增，

9分

令F(t)(t)(2t),t(0,1)，

11t2lnt2t2ln(2t)t2tF(t)(t)(2t)(t1)2(t1)2121ln[t(2t)]t(2t)，∵t(0,1)，∴0t(2t)1，令(t1)2H(x)1111lnx(0x1)，H(x)20，∴H(x)在(0,1)单调递增，∴xxxF(t)0，∴F(t)在(0,1)单调递减，

∵t1(0,1)，∴Ft1F(1)0t12t1，∵t1t3，∴

t32t1，

∵(t)在(1,)单调递增，∴t32t1t1t32，∴x1x2x33

222222212分

5分

22．（1）曲线C1和C2曲线的直角坐标方程分别为xy4,(x2)y9

2（2）曲线C2的极坐标方程为4cos5，令62235，

10分

∵0322，∴|AB|2322．

5分

23．（1）不等式的解集为[1,5]；

（2）f(x)|x1||x3|2，当且仅当1x3时，f(x)min2，

7分

∴

4f(x)42424b2a(ab)6642，当且仅当1x3、ababababa2b时，

∴4f(x)642，∴642，∴实数的取值范围是(,642]．

bmina10分