本单元是在学生已经学习了用画图和列表,以及列举、倒推、替换和假设等策略解决问题的基础上,教学用转化的策略解决相关的实际问题。转化是一种常见的、极其重要的解决问题的策略。更是一种最常见、最基础的思维方法,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,具有灵活性和多样性。在应用转化策略解决问题时,没有一个统一的模式去进行。因而,教学不应仅仅停留在能够解决某一类问题、获得某一类问题的结论和答案,而应超越具体问题的解法和结论,指向策略的形成和应用意识。转化是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使原问题得以解决的一种策略。转化的关键是要能根据具体的问题,确定转化后要实现的目标和具体的转化方法。教材主要安排了数与代数领域的实际问题,引导学生运用转化的策略加以解决。如例1,让学生用转化的策略解决有关分数的实际问题,体会转化策略可以使问题化难为易,提高灵活的思考和解决实际问题的能力。
学生已经学习了用画图和列表,以及列举、倒推、替换和假设等策略解决问题的基础上,教学用转化的策略解决相关的实际问题。在此之前,学生已经初步积累了一定的用转化策略解决问题的经验,也掌握了一些技巧和方法,但当时这些技巧和方法更多是针对解决具体问题而言的,因而是零散的、无意识的。
1. 使学生在解决实际问题的过程中,学会用转化的策略寻求解决问题的思路,并能根据具体的问题确定合理的解题方法,从而有效地解决问题。
2. 使学生在解决实际问题的过程中,通过把转化策略与以前学过的相关的解决问题的方法进行比较,体会转化策略的内在价值,进一步增强解决问题的策略意识,提高从不同角度
分析问题的能力。
3. 使学生进一步积累解决问题的经验,获得解决问题的成功体验,提高学好数学的自信心错误！未找到引用源。
1. 突出转化策略的实际价值。一方面注意精心选择数学问题,这些问题学生利用已有的知识经验大多能够解决,但是解决问题的过程相对比较烦琐,而运用转化的策略来思考,就可以简捷的得到问题的结果。通过比较用已有的知识经验解决问题和用转化的方法解决问题,有助于学生体会转化的策略在解决问题中的价值。另一方面,注意引导学生回顾在过去的学习中,曾经运用转化的策略解决过的问题,从策略的角度重建相关知识的联系,即解决一个新的问题通常是想办法把它转化成熟悉的、已经解决的问题,从而使学生逐步深化对转化策略的认识。
2. 合理突破运用转化策略的关键。运用转化的策略解决问题的关键是确定转化后要实现的目标和转化的具体方法,而转化后要实现的目标又是首先要考虑的。通常我们是把新的问题转化成熟悉的、能够解决的问题,把非常规的问题转化成常规的问题等,但要根据问题的具体情况具体分析。教学时注意通过适当的提示,启发学生用转化的策略进行思考并明确转化后要先实现的目标。其次,要考虑转化的具体方法,教学时注意为学生提供主动思考的空间,放手让学生在转化后要实现的目标指引下,自己探索转化的具体方法。
3. 借助直观图启发转化的具体方法。教学时注意安排一些富有挑战性的问题,让学生应用转化的策略进行思考,以不断提高他们运用转化策略解决问题的能力。
1 解决问题的策略 2 练习五
1课时
1课时
解决问题的策略。(教材第27~29页)
1. 指导学生学会用转化、列表、假设等策略解决生活中的实际问题。 2. 通过运用这些策略解决问题,提高学生解决问题的能力。
重点:指导学生学会用转化、列表、假设等策略解决生活中的实际问题。 难点:提高学生解决问题的能力。
课件。
师:同学们,回想一下在以前的学习中,有没有运用转化策略解决过问题呢?
学生可能回忆并列举出:平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、圆形面积公式的推导过程,圆柱体积公式的推导过程。老师适时课件或学具演示,并在黑板上将转化关系用图示表示出来。
师:转化策略曾经帮助我们解决过这么多新问题,像这样的例子还有很多,你们每个人手里都有一组题,动笔算算,体会哪里运用了转化策略。有发现,可以和组内的同学交流一下。
四人小组内每个学生的题纸各不相同,学生独立计算、观察,体会到转化后,四人小组进行交流。
师:举个例子说说你的发现。 学生可能举例:
·计算分数除法是把除法转化成乘法。
·计算小数除法是把小数除法转化成除数是整数的除法。
·计算异分母分数加法是把异分母分数加法转化成同分母分数加法。 ·计算83+83+83+83+83是把相同加数的和转化成乘法。 ……
师:这里都用了转化策略,有什么共同地方?
引导学生观察并思考,体会到转化的实质——转化前和转化后计算结果不变。 小结:这么多地方用到转化的策略,说说你有什么体会?
学生可能体会到:转化策略应用很广泛;转化策略能解决新问题;转化策略能把复杂的问题变简单。
师:转化是常见的解决问题的策略之一,解决问题的策略还有很多要具体问题具体分析。 【设计意图:引导学生体会转化的策略,为下面探究解决问题的策略做准备】
1. 教学例1。
师:请看下面的问题,分析题中的数量关系,说说准备怎样解答,跟小组同学讨论一下。(课件出示:教材第27页例1)
学生进行小组活动,教师巡视了解情况。 师:说说你们的讨论情况吧! 学生可能会说:
·通过画图,可以看出男生人数有2份,女生人数有3份,已知女生有21人,所以男生人数是21×错误！未找到引用源。=14(人)。
·还可以根据分数与比的关系,把“男生人数占总人数的错误！未找到引用源。”转化成男、女生人数的比是2:3,这样就转化成一道按比例分配的问题。所以男生人数是21×错误！未找到引用源。=14(人)。
·还可以直接按分数问题来解决,男生人数占总人数的错误！未找到引用源。,所以女生占总人数的1-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,已知女生有21人,总人数是21÷错误！未找到引用源。=35(人),男生人数是35×错误！未找到引用源。=14(人)。
师:解决上面的问题,你选择了什么策略?是怎样想的? 生1:选择画图的策略,画图能使数量关系更直观,更清楚。
生2:把分数转化成比,更容易理解数量之间的关系。
生3:选择按分数问题直接解答,关键就是找准单位“1”,以及数量之间的对应关系。 2. 教学例2。
师:解决下面的问题,你准备选择什么策略?试一试。(课件出示:教材第28页例2) 学生尝试用自己选择的策略解决问题;教师巡视了解情况,发现学生存在的问题,及时指导。
组织学生交流想法:
·我们可以用画图的策略解决问题。(如下所示)
先画10只大船,每只大船坐5人,这样就坐50人;实际全班只有42人,就多出了8人。这是因为,每只小船只坐3人,比每只大船少2人,如果去掉多出的8人,就需要从8÷2=4只大船上去,这样这4只船每只上面坐3人,所以就是4只小船,6只大船。
·我们还可以用列表的方法进行有序列举,从9只大船和1只小船开始。
大船只数 小船只数 9 8 7 6 5 1 2 3 4 5 乘坐的总人数 9×5+3=48 8×5+3×2=46 7×5+3×3=44 6×5+3×4=42 5×5+3×5=40 和42人比较 多了6人 多了4人 多了2人 同样多 少了2人 由表中数据可以知道,需要6只大船和4只小船。
·我们也可以用假设法解决问题。假设大船和小船的只数同样多,再根据总人数调整。
大船只数 小船只数 5 6 5 4 乘坐的总人数 5×5+3×5=40 6×5+3×4=42 和42人比较 少了2人 同样多 由表中数据可以知道,需要6只大船和4只小船。 师:选择你喜欢的方法解答并检验,再与同学交流你的解题策略。 学生进行解答、检验并交流;教师巡视,个别指导有困难的情况。 师:回顾解决问题的过程,你有什么体会?
生1:画图、列举、先假设再调整都是解决问题的有效策略。 生2:分析和解决同一个问题,可以用不同的策略。 生3:要学会根据具体问题灵活选择策略。
【设计意图:通过唤醒学生的“解决问题策略”的已有经验,引入综合运用“转化”“画图”“列表”等策略解决问题的学习,做好教学的衔接与迁移,可以激发学生的学习兴趣】
师:用转化的策略解决了这么多问题,说说你有哪些收获和体会? 学生自由交流各自的收获体会。
解决问题的策略
新问题
1.教学本部分要强调独立进行,让学生在直观图形的启发下,独立进行转化。
2.通过唤醒学生的“解决问题策略”的已有经验,引入“转化”策略的学习,做好教学的衔接与迁移,可以激发学生的学习兴趣。
已经解决的问错误！未找到引用源。
A类
1.一列客车和一列货车同时从甲、乙两站相向开出,客车与货车速度的比是3:2,客车行驶6小时到达乙站,货车行驶多少小时到达甲站?
2.如图,正方形的边长是4厘米,求阴影部分的面积。
3.童乐幼儿园共有150本图书,其中的40%分给大班,剩下的图书按4:5分给小班和中班,小班和中班各分到多少本图书?
4.一辆汽车从甲地驶向乙地,已经行了4.5小时,已行的和未行的路程比是3:7,已知汽车每小时行40千米,还需要多少小时才能到乙地?
(考查知识点:解决问题的策略;能力要求:有策略地解决实际问题)
B类
将一张三角形纸片沿虚线折叠成右图,它的面积与原三角形面积之比为2:3,已知阴影部分的面积为5平方厘米。求原三角形的面积。
(考查知识点:解决问题的策略;能力要求:有策略地解决实际问题)
课堂作业新设计
A类:
1. 9小时 2. 8平方厘米 3. 小班:40本 中班:50本 4. 10.5小时 B类: 15平方厘米 教材习题
教材第28页“练一练”
30÷(7-4)×4=40(只) 教材第29页“练一练” (1)画图略 ④5 3 (2)
鸡的只数 4 5 兔的只数 4 3 腿的总条数 4×2+4×4=24 5×2+3×4=22 和22条比较 多了两条 正好
练习五。(教材第30~32页)
1. 使学生进一步熟练灵活地运用解决问题的策略解决生活中的实际问题。 2. 使学生进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的信心。
重点:进一步熟练灵活地运用解决问题的策略解决生活中的实际问题。 难点:进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的信心。
课件。
师:同学们,我们都学习过哪些解决问题的策略?举例说明。
生1:我们学过“转化”的策略,如在探究圆的面积计算公式时,就是把圆形转化成了近似的长方形,然后借助长方形面积的计算公式得出了圆形面积的计算公式。
生2:我们学过“画图”的策略,如在解决应用题时,尤其是分数、百分数问题,可以借画图帮助我们分析数量之间的关系,从而解决问题。
生3:我们学习过“替换”和“假设”的策略,如解决“鸡兔同笼”的问题时,可以采用假设的方法解决问题;在购买商品时,如果出现“几支圆珠笔的价钱与几支钢笔的价钱相等”这样类似的情况,就可以采用等量替换的策略,进行解决问题。
……
师:解决问题的策略是多种多样的,在具体解决问题时要灵活运用,具体问题具体分析。
师:请看下面的问题,首先说说你打算用什么策略解答?(课件出示:教材第32页第8题) 生1:我首先想到的是用画图的策略帮助我们直观地进行分析(如图所示):
从图中可以看出,如果第二堆的黑子与第三堆的白子互换,就会出现一堆白子(60枚)和一堆黑子(60枚)的结果,又已知第一堆有错误！未找到引用源。是白子,这样根据“求一个数的几分之几用乘法计算”,就可以算出第一堆白子的数量,再加60枚,就是白子的总数。
生2:也可以说是采用假设的策略解决问题,因为我们可以假设把第二堆的黑子与第三堆的白子进行等量交换,这样就出现了一堆白子和一堆黑子的结果;然后计算第一堆白子的数量,加60枚就是白子的总数。
师:请同学们进行计算。 学生完成计算后,进行交流订正。
【设计意图:本课的重点要放在让学生体会策略的价值,并主动运用策略解决问题上,不把解决某一具体问题作为教学的主要目标。在教学的过程中,教师要及时地引导学生对解决
问题的过程进行反思,用自己的语言解释结果的合理性;鼓励学生认真倾听同伴的想法,在交流中进一步体会有关策略的特点,加深对策略的进一步理解】
师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获体会。
练 习 五
解决问题的策略错误！未找到引用源。
1. “形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准(实验稿)》确定的课程目标之一,为了在教学过程中有效落实这一目标,策略因有了思维的层层渗透与逐步深入而使学生印象深刻,它不再是可有可无的摆设,而是深入到学生的意识中,为策略的形成起了推波助澜的作用,成了策略的一部分。
2. 新课程标准指出:努力使学生“形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神”。通过解决问题的策略的教学,使我更加明白了“数学方法是数学的灵魂。”数学的学习,对学生来说,能使其终身受用的,绝不仅仅是知识,数学思想方法的获得是更重要的。
A类
赵叔叔买了1张餐桌和6把椅子,一共用去1080元。已知1张餐桌的价钱相当于3把椅子的价钱。1张餐桌的价钱是多少元?1把椅子的价钱是多少元?
(考查知识点:解决问题的策略;能力要求:灵活运用解决问题的策略解答生活中的实际问
题)
B类
学校买来两筐苹果共110千克。取出甲筐苹果的错误！未找到引用源。和乙筐苹果的错误！未找到引用源。共25千克送给幼儿园。求甲、乙两筐原来各有苹果多少千克。
(考查知识点:解决问题的策略;能力要求:灵活运用解决问题的策略解答生活中的实际问题)
课堂作业新设计
A类:
方法一 把餐桌换成椅子 1080÷(6+3)=120(元) 120×3=360(元)
答:1张餐桌的价钱是360元,1把椅子的价钱是120元。 方法二 把椅子换成餐桌 6÷3=2(张)
1080÷(1+2)=360(元) 360÷3=120(元)
答:1张餐桌的价钱是360元,1把椅子的价钱是120元。 B类:
假设两筐中都取出苹果的错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。=50(千克) 110-50=60(千克)
答:甲筐原来有苹果50千克,乙筐原来有苹果60千克。 教材习题
教材第30~32页“练习五”
1. (1)错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 2:3 (2)5:7 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 2. (1)画图略 140÷(1-30%)×30%=60(千米) (2)画图略 12÷(5-3)×(5+3)=48(只)
3. 由题意可得男、女运动员的人数比是3:4,即参赛运动员的总人数是(3+4)7的倍数且在170~180人之间,可知参赛总人数是175人。
男运动员:175×错误！未找到引用源。=75(人) 女运动员:175×错误！未找到引用源。=100(人)
4.
大展板块数 小展板块数 蝴蝶标本总件数 和78件比较 5 6 4 3 5×10+4×6=74 6×10+3×6=78 少了4件 同样多 大展板有6块,小展板有3块。 5.
1元的枚数 5角的枚数 总元数 和10元比较 1 12 1+12×0.5=7 少了3元 3 10 3×1+10×0.5=8 少了2元 5 8 5×1+8×0.5=9 少了1元 7 6 7×1+6×0.5=10 同样多 1元的硬币有7枚,5角的硬币有6枚。 6. 画图略 中层:100÷5×6=120(本) 下层:100÷5×4=80(本)
7. 画图略 客车:300÷(2+3)×3=180(千米) 货车:300-180=120(千米) 8. 白子:60+60×错误！未找到引用源。=80(枚)
9. 他投中了2分球6个,3分球3个。 2分球个数 3分球个数 总得分 和21分比较 3 6 3×2+6×3=24 多了3分 4 5 4×2+5×3=23 多了2分 5 4 5×2+4×3=22 多了1分 6 3 6×2+3×3=21 同样多 思考题:先假设单打和双打的桌数相同,再通过试验调整找出答案。 双打桌数 单打桌数 相差人数 和6人比较 6 6 4×6-6×2=12 多了6人 5 7 5×4-7×2=6 同样多 双打的有5张乒乓球桌,单打的有7张乒乓球桌。
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