概率不等式证明中的一类错误

第１５卷第１期　高等数学研究　Ｖｏｌ＿１５。Ｎｏ．１　２０１２年１月　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｊａｎ．，２０１２　概率不等式证明中的一类错误　蔺云　（嘉应学院数学系，广东梅州５１４０１５）　摘要　剖析和纠正证明概率不等式时出现的一处“类型式”错误．若不等式含期望或方差，但其两端的随机　变量不同，并且一随机变量是另一随机变量的函数，则在证明过程中一定要注意两个随机变量各自对应的两个实　变量之间的区分与联系，切不可搞混淆．　关键词　概率不等式；随机变量；数学期望　中图分类号　Ｏ２１１　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１２）０１—００４３—０３　文　］４２　关于概率不等式的证明中，对“不等　Ｐ（ｆ　『≥ｅ）一ｐ（ｅ／￣≥ｅ　）一　式含期望（或）方差，但其两端随机变量不同”的情　形列举了３例，其证法中存在着共同的且不易察觉　ｆｅｘ２￣ｅ￣２　）ｄｚ≤　≥　ｚ　）ｄｚ≤　的错误．该书的３个配套习题的答案提示也存在同　ｅｘ２厂（ｚ）　：：：　，　样的错误　１］４　．鉴于这是一种概率证法中的　ｅ　Ｊ一　ｅ　“类型式”错误，又因为该书作为概率论与数理统计　Ｐ（１　Ｉ≥￡）一Ｐ（Ｉ｛Ｉ　≥￡　）一　学习指导书和考研指南，从１９９９年的第一版到２００６　蒯ｚ≤　，　≤　年的第二版，曾多次印刷，印数达数十万册，发行量　颇大，影响范围甚广，故有必要对这类证法进行深入　Ｅ　Ｊ　ｒ　Ｉ　ｘ　　ｆｚ）　一　Ｅ　，　剖析，以求对准确掌握随机变量函数的数学期望概　Ｐ（　≥口）一Ｐ（ｅ　≥　）一　念和公式内涵，深刻理解概率论的思想方法，学会概　率推证提供帮助．　ｊ’　≥　≤』　≥　言　≤　例１Ⅲ　。　设随机变量　的函数ｅ　的期望　ｃ洲ｚ一　．　Ｅ（ｅ　）存在，证明对任意￡＞０，有　以上推证中的错误均发生在第二步和最后一　Ｐ（　≥￡）≤　．　ｅ　步．一维连续型随机变量　的函数叩一ｇ（Ｏ仍是一　例２Ⅲ　∞　证明马尔科夫不等式，若连续型　维连续型随机变量，它在某区间上取值的概率，等于　随机变量　有Ｅ（１　１）＜＋ＯＯ，（ｒ＞０为常数），则对　它的概率密度在此区间上的积分值，然而第二步推　任意ｅ＞０，有　得的积分限是含ｚ的函数不等式，式中的实变量ｚ　Ｐ（　≥￡）≤匹　对应的是随机变量　，而被积函数厂（ｚ）中的实变量　．　ｅ　却对应的是　的函数＇７＝＝＝ｇ（　），作为积分变量的ｚ　例３［１　设随机变量田是另一随机变量｛的函　和积分限中的ｚ表征的对象不是同一个随机变量，　数，　一ｅ膳（　＞Ｏ），若　存在，求证对任何实数ａ，　这与定积分的定义相悖．正是由于上述推证过程中　都有　的第二步隐含了这种不易察觉的错误，导致了最后　Ｐ（　≥ｎ）≤≤ｅ－　Ｅ（ｅ　）　一步推理的结果与函数　一ｇ（｛）数学期望的公式相　文Ｅ１］关于上述３例的证明，分别设了随机变量　悖．因为＇７一ｇ（Ｏ数学期望的公式是　的函数ｅ　，ｆ　Ｉ，ｅ膳的概率密度为厂（ｚ），又因为　Ｅ［ｇ（Ｏ］一Ｉ　ｇ（　），（１ｚ）ｄｘ，　ｅ　，ｅ膳（　＞Ｏ）是单调增函数，于是分别有口］４加　式中的厂（　）是　的概率密度，不应是　一ｇ（Ｏ的概　收稿日期：２０１０—０６—０７；修改日期；２０１１—１２—１２　率密度．　基金项目：广东省普通高校人文社科研究项目（１０ＷＹＸＭ０４５）；广东　为了纠正上述错误，不妨选例３为范例，下面给　省高等教育教学成果奖培育项目（２０１０Ｎｏ３２８）　作者简介：蔺云（１９５６－－），男，甘肃西和人，硕士，教授，从事概率统计　出几种正确的证法．　教学和数学教育研究．Ｅｍａ［［：ｊｉａｙｉｎｌｉｎｙｕｎ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ　证法１　设随机变量ｅ的概率密度为　（ｚ），因　４４　高等数学研究　２Ｏｌ２年１月　Ｙ一　（ｉｔ＞Ｏ）　式内涵不准确的原因之一．下面借助一个引理给出　“求随机变量函数期望的公式”的一个证明．　引理ｌ［　］　。。　对非负连续型随机变量刁，有　一是单调增函数，当　≥ｎ时，有　ｅ　≥ｅ　，　于是得　ｊ。Ｐ（７１＞ｙ）ｄｙ・　（２）　・・Ｐ（　≥ａ）一）一Ｉ　－ｆ√　口　　｝　≤Ｉ（ｘ）ｄｘ≤　√　ｎ　Ｃ　（ｚ）　≤　证明　设　的概率密度为ｆ　（．ｚ），则，有　：ｅｚｒ　ｚ；　．　Ｐ（叩＞　一Ｊ。ｆ￣（ｘ）ｄｘ，　证法２　设随机变量　的概率密度为　（ｚ），因　于是　Ｙ一　（　＞０）　是单调增函数，当Ｘ≥ｎ时，有　ｊ　ｏ　Ｐ（ｒ］＞ｙ＞　一Ｊ）ｄｙ一门　（。（ｊ　，　ｘ）ｄｘ）ｄｙ，，　ｅ　一　＝ｅａ（。广　≥１，　交换等式中的积分次序得　于是得　ｊ’：　Ｐ　ｃ　＞　ｄ　一』：　（ｊ．　ｄ　），　ｃｚ　ｄｚ—　、Ｅ（　）一Ｉ　厂∈（ｘ）ｄｘ≥Ｉ　‘一　（ｘ）ｄｘ≥　、　Ｊ　ｏ　ｘｆ　（ｘ）ｄｘ—Ｅｒ／・　ｒ＋∞　ｅ　Ｉ－厂ｅ（ｚ）ｄｘ—ｅ　（　≥口）．　命题１　若　是一个连续型随机变量，其概率密　两端同乘以ｅ＿。。。，即得　度为　（ｚ），对任意实值函数ｇ（ｚ），若Ｅ［ｇ（　）］存　Ｐ（　≥口）≤ｅ－ａ，Ｅ（ｅ膳）．　在，则　证法３　设随机变量　的概率密度为　（　），因　Ｅ［ｇ（　）］一Ｉ　ｇ（　）　（ｘ）ｄｘ．　（１）　Ｙ—ｅ　（　＞Ｏ）　证明　随机变量１７取值于任意实数集Ｂ中的概　是单调增函数，当ｚ≥。时，有　率计算公式表示为　Ｙ一　≥　，　于是得　Ｐ（＇７∈Ｂ）＝Ｉｆ　（ｘ）ｄｘ．　Ｐ（　≥＆）一尸（　≥　）一Ｐ（ｒ／≥ｅ　）一　若设　ＪＪ　ｒ　厂＋ｅ　∞　　（ｙ）ｄｙ≤Ｊ≤　Ｂ一｛ｚ：ｇ（ｚ）＞Ｙ），　　・Ｊ　ｄ　ｒ　＋∞＾Ｃ　，　（ｙ）ｄｙ则显然有　（　）　＝　ｅｇａ—ｅ　Ｅ（ｅ＊）．　｛ｇ（　）＞Ｙ）一｛　∈Ｂ），　证法４　设随机变量　的概率密度为　（　），因　因此，由引理１并考虑交换等式中的积分次序得　Ｙ—ｅ　（　＞Ｏ）　Ｅ［ｇ（　）］一Ｊｌ　Ｐ（　＞　）ｄ　—　是单调增函数，当　≥ａ时，有　、　叩一ｅ膳≥ｅ　，　Ｉ　Ｐ（　＞ｚ：ｇ（ｚ）＞　）ｄｙ　且当Ｙ≥　时，有　一ｙｆ　（　）≥ｅ　ｆ　（ｚ），　』　（』　：　＞　，　（ｚ）ｄｚ）ｄ　一　于是得　』　：　＞。（　：‘　ｄ　）厂　ｃ　ｄ　＝＝　Ｅ（ｅ　）一ＥＯ１）＝Ｉ　Ｙｆ　（ｙ）ｄｙ≥　Ｉ　ｇ（ｚ），（ｚ）ｄｚ—　ｒ＋∞　ｒ＋∞　√ｅｆ　　ｙｆ　（ｙ）ｄｙ≥ＩＪ　ｅ　ｅ　ｆ　（ｙ）ｄｙ一　Ｉ　ｇ（ｚ）　（ｚ）ｄｘ．　Ｐ（刁≥ｅｚａ）＝＝＝　Ｐ（ｅ　≥ｅ　）一　ｅ　（　≥口），　参考文献　两端同乘以　，即得　Ｐ（　≥口）≤ｅ－肛Ｅ（　）．　［１］毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳［Ｍ］，武　从教学角度反思，多数教科书处理求随机变量　汉：华中科技大学出版社，２００１：４２０—４２１．　函数的期望的内容，都是只叙述有关定理的条件和　［２３罗斯．概率论基础教程［Ｍ］，赵选民，译．北京：机械电子　结论而省略了对定理的证明，这可能是导致理解公　工业出版社，２００６：１０９．　第１５卷第１期　高等数学研究　Ｖｏ１．１５。Ｎｏ．１　２０１２年１月　ｓＴＵⅨＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　３ａｎ．，２０１２　曲面定义的一致性　陶应奇　，王辉　（１．中国人民武装警察部队警官学院数理教研室，四川成都６１０２１３；　二　２．西安邮电学院自动化学院，陕西西安７１０１２１）　摘要　对一个求曲面方程的例题加以推广，数（≠１）的点的轨迹构成球面，次　得到球面的一种定义方式，即到两个任意定点的距离之比为常　从而使得所有常见二次曲面的定义在形式上趋于一致．　、　关键词　二次曲线；二次曲面；一致性　中图分类号０１４３　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１２）０１—００４５—０２　例１　Ｅ　求与原点（）及定点Ｍ。（２，３，４）的距　可得　离之比为１：２的点的全体所组成的曲面方程．　（ｚ—ｚ１）。＋（　—Ｙ１）　＋（　—　１）　一　解　设Ｍ（ｘ，Ｙ，ｚ）是所求曲面方程上的任一　（（ｚ一　）　＋（　—Ｙｚ）　＋（ｚ一　）。），　点，根据题意有　将上式展开，实施化简和配方，并记　１　ｚ１一　ｚ２　一一　’　￣／（ｚ一２）　＋（　一３）　＋（２—４）　一］　’　对上式进行化简即得所求曲面方程　ｂ＝＝　Ｙ１一　ｙ２　１一　０　（ｚ＋吾）　＋ｃ　＋１）　＋（　＋詈）。一　．　。　ｌ—　２　Ｃ：＝：　１一　所得方程表示一个球面．　命题１　到任意两个不同定点的距离之比是一　Ｒ。一　。［（　一ｚｚ）。＋　个常数（≠１）的点的轨迹是球面．　（　１一Ｙ２）　＋（ｚｌ一２２）　］，　证明　设两个不同定点的坐标分别为　则可得动点Ｍ的轨迹满足方程　Ｍ１（ｚＩ，Ｙ１，ｚ１），Ｍ２（ｚ２，Ｙ２，ｚ２），　（ｚ一口）。＋（Ｙ一６）。＋（　—ｃ）　：Ｒ　．　而Ｍ（ｘ，Ｙ，　）是动点，常数为九（　０，九≠１），则由　这显然是一个球面．　一　推论１　在平面上，到任意两个不同定点的距　离之比是一个常数（≠１）的点的轨迹是圆．　收稿日期：２０１０一Ｏｌ一２０；修改日期：２０１１－１２—１７　即设两个不同定点的坐标分别为　作者简介：陶应奇（１９６５－－），男，四川资阳人，硕士，教授，主要从事概　Ｍ１－（ｚ１，Ｙ１），　Ｍ２（ｚ２，Ｙｚ），　率与数学教育研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｉｔａｏｙｉｎｇｑ！ｉ＠１２６．ｃｏｍ　而Ｍ（ｘ，３，）是动点，常数为九（九＞０，九≠１）．则有　Ｓｏｍｅ　Ｍｉｓｔａｋｅｓ　ｉｎ　Ｐｒｏｖｉｎｇ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ＬＩＮ　Ｙｕｎ、　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉａｙｉｎｇ　Ｃｏｌｉｅｇｅ，Ｍｅｉｚｈｏｕ　５１４０１５，ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ａｎａｌｙｚｅｓ　ａ　ｔｙｐｅ　ｏｆ　ｍｉｓｔａｋｅｓ　ａｐｐｅａｒｅｄ　ｉｎ　ｐｒｏｖｉｎｇ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｃｏｒｒｅｃｔ　ｐｒｏｏｆｓ．Ｉｔ　ｉｓ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｔｏ　ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　ｗｈｅｎ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｖａｌｕｅ　ａｎｄ　ｖａｒｉａｎｃｅ　ａｐｐｅａｒ　ｉｎ　ａ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｏｔｈ　ｓｉｄｅｓ　ｍａｙ　ｂｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ，ａｎｄ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅｍ　ｍａｙ　ｂｅ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｓｈｏｕｌｄ　ｔａｋｅ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｔｗ０　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ，ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｖａｒｉａｎｃｅ　一