九年级数学综合性专题

中考系列复习——综合性专题

一、中考要求

1、知道中考综合性问题的常见题型；

2、能灵活运用数学知识及相关学科的知识求解常见的综合性问题；

3、通过本专题的复习，进一步提高综合运用知识发现、提出、分析和解决问题的能力. 二、知识网络图（如下图所示）

代数综合题 单科综合题 几何综合题 综合性问题 圆或三角函数的综合题 函数与方程的综合题 函数图象中的几何图形 代数几何综合题 函数与几何综合题 几何图形中的函数关系 跨学科综合题 数学与理化的综合题 三、基础知识整理

本部分知识是中考的重点内容，一道试题同时考查多个重要知识点（含常用数学思想方法）或多学科的知识已成为近几年中考命题的一大特色，压轴题更是以综合性面孔出现. 全国各地中考试卷中，综合性问题平均占35%，其中函数与几何问题占综合性问题的七成左右. 综合性问题的题型以多种形式出现，以考查综合素质和创新能力为目标，与应用性问题、开放性问题“联姻”者增多，一般不会出现繁、难、偏的试题，所用知识以重点知识为主，而不会过分追求覆盖率，人为地刻意编造难题.

其中，考查的重点是代数（通常为函数、方程）与几何相综合的知识. 难点是不同知识之间的联系与转化. 解题时，几乎用到初中涉及到的所有数学思想方法：方程与函数、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想，待定系数法、构造法、极端法等都经常用到.

四、考点分析 1、代数综合题

代数各知识点之间，以函数与方程的综合题为主，有时还可以与不等式的知识相结合，用来确定自变量的取值范围. 函数与方程的综合题中，二者的联系表现在：

（1）求函数值，或由函数值求自变量的问题，转化为相应的方程问题； （2）求函数的解析式，往往要根据题意列出方程或者方程组求解；

（3）以x为自变量的函数y，其图象与x轴(y轴)的交点问题，即为求当y=0(x=0)时的方程的解的问题；

（4）两个函数图像的交点问题，就是由两个函数解析式组成的方程组的解的问题. 例1（福建南平）已知一次函数y = - x + 4 与反比例函数y = k / x在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是（ ）

A.k>0; B.k<4; C.k> - 4; D.k>4.

分析：由两个函数解析式组成方程组，可得k / x = - x + 4.

2

去分母，得 x – 4x + k = 0.

两个函数的图象没有交点，说明以上方程没有实数根，则

2

△ = (- 4 ) - 4 k = 16 – 4k < 0. 解得k>4. 故选D. 2、几何综合题

几何知识大致可以分成直线形（包括线与角、三角形、四边形）、相似形、三角函数、圆四个知识块，各知识块之间的联系较为密切，都能形成综合题. 其中，与圆或三角函数的几何综合题为主. 对于几何各知识之间相结合形成的综合题，既要能从复杂的图形背景中分离出基本图形，又要善于发现各基本图形以及相关定理之间的联系.

例2（浙江宁波）如图1，PA切⊙O于A，割线PBC经过圆心O，交⊙O于B、C两点，若PA4，PB2，则tanP的值为（ ）

A．

5435 B． C． D．

4433ACOBP(第18题图）图1 22

分析：由切割线定理，得PA = PB·PC，则4 = 2 PC，解得PC = 8，所以 BC=PC-PB=8-2=6，OA = OB = BC/2 =3，PO = PB+OB = 2+3 =5.

0

连结AO，由于PA切⊙O于A，所以∠OAP = 90.

22

在Rt△POA中，OA = OP - AP = 3, tanP = OA/AP = 3/4. 故选B.

3、代数与几何的综合题

代数与几何的综合题主要呈现两种主要类型：

（1）在平面直角坐标系中，由图象构成的几何图形作为研究对象命题. 解此类问题，数形结合思想是关键. 通常要求出特定点的坐标、特定线的解析式，利用函数的方法解决几何问题. 另外，还需熟悉一些常用的解题思路，比如，求坐标系中几何图形的面积，常以一条坐标轴作为底边，或通过坐标轴对图形进行割（补）构造，使之转化为便于求解的面积问题.

（2）以几何为主要载体，借助函数与方程的数学思想方法，研究几何元素间的数量关系. 求几何图形中的函数解析，通常根据相似形或圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论）的知识，列出含有变量的等式，然后转化为函数解析式的形式. 自变量的取值范围一般由图形存在的极端情况来确定最大值或最小值. 对于“动点型”的综合题，要学会化动为静，静中求解，动中检验.

例3 (江苏连云港) 如图2，直线ykx4与函数ym/x(x0,m0)的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．

（1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

CABOMPND图2

分析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)， 由SCOD2SAOB，得SCOD2(SAODSBOD) ∴

111OD·y1·OD2(··OC·OD·y2)，OC2(y1y2)， 222又OC4，∴(y1y2)28，即(y1y2)24y1y28， mm由y可得x，代入ykx4可得y24ykm0 ①

yx ∴y1y24，y1y2km， ∴164km8，即k2． m又方程①的判别式164km80，

2∴所求的函数关系式为k(m0)．

m（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)． 则APBP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵MAP与BPN都与APM互余，∴MAP BPN．

AMMP∴RtMAP∽RtNPB，∴． PNNBy12x1mm∴，∴(x12)(x22)y1y20， ∴(2)(2)y1y20， x22y2y1y2即m22m(y1y2)4y1y2(y1y2)20 ②

由（1）知y1y24，y1y22，代入②得m28m120，

m22m61， ∴m2或6，又k，∴或

kk1m3

m2m61． ∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且或kk13例4（北京石景山）已知：如图3，等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程

x24mx1E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°，xm20的两个实数根. 若D、

2设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值.

图3

分析：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴cosBcos601 211AB4m22∴ 1ABm22解得：m10,m22 ∵

1ABm20 2∵m=0不合题意，舍去 ∴m=2即AB=8 （2）∵∠ADE=60°

∴∠ADB+∠CDE=1又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=1∴∠BAD=∠CDE 又∵∠B=∠C=60° ∴△ABD∽△DCE ∴

ABBD DCCE8x 8x8y设BD=x，EA=y则DC=8-x，CE=8-y ∴

∴y121xx8(x4)26 88∴当BD=4，即D为BC的中点时，EA有最小值6.

4、跨学科综合题

跨学科的综合题中，与物理相结合得最多，另外与化学、地理、生物、医药、政治等学科的综合题也时常出现. 多数跨学科试题中，所用的其他学科专业知识很少或者是最基本的. 解题时，主要是运用相关学科中的基本公式或原理分析各种现象.

例5（湖北宜昌）天象图片欣赏：

如图4-1是5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程．

图4-1

数学问题解决：

用数学的眼光看图4-1，可以认为是地球、月球投影(两个圆)的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化：2时48分月球投影开始进入地球投影的黑影(图4-2)；接着月球投影沿直线OP匀速地平行移动进入地球投影的黑影(图4-3)；3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的黑影(图4-4)．

设照片中的地球投影如图2中半径为R的大圆⊙O，月球投影如图2中半径为r的小圆⊙P．求这段时间内圆心距OP与时间t(分)的函数关系式，写出自变量的取值范围．

R O P r O P 图4-2 2rr，即， 6432rt， 32图4-3 图4-4 分析：从2时48分到3时52分共64分钟，点 P运动的路程为2r， ∴点P运动的速度为：

∴P点t分钟运动的路程为：∴OP=R+r—

rt，（6分），（0≤t≤64） 32五、创新题一隅 1、如图5-1，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数yxt的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.

⑴当t何值时，S=3？

⑵在平面直角坐标系下（图5-2），画出S与t的函数图象.

图5-1 图5-2

2、如图6，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB=3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

E y C Q A O1 F x

O O2 B 图6 求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1、分析：⑴设l与正方形的边AD、CD相交于M、N，易证Rt△DMN是等腰三角形，只有当MD=2时，△DMN的面积是1，求得t42. 容易验证，此时的S=3.

∴当t42时，S=3. ⑵当0t2时，S

当2t4时，S12t； 21(t4)24； 2当4时，S4.

根据以上解析式，作图如下（图7）

图7

2、(1)在Rt△ABC中，OC⊥AB， ∴△AOC≌△COB. ∴OC2=OA·OB.

∵OA∶OB=3∶1,C(0,3), 2OB. ∴(3)3OB·OB∴OB=1.∴OA=3.

∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为yaxbxc.

29a3bc0,则abc0, c3.

3a,323, 解之，得b3c3.∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y322x3x3. x3(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.

证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE=QO. ∴∠1=∠2.

∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切.

(3)如图8，作MP⊥OA于P，设MN=a,由题意可得MP=MN=a.

y E M 3 1 2 4 N C Q F x

A O1 P O O2 B 图8 ∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO.

MNCN.∴AOCO a3a∴. 33解之，得a333. 2333. 2此时，四边形OPMN是正方形. ∴MNOP∴P(333,0). 2考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形， 且P(333,0)或P(0,0). 2