《图形的相似与解直角三角形》阶段测评
(时间：40分钟 分值：50分)
一、选择题(每小题3分，共15分)
1．(2015眉山中考)如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( C )
A．4 B．5 C．6 D．8
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．(2015成都中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2015兰州中考)如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标为( B )
A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)
,(第3题图)) ,(第4题图))
4．(2015南充中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是( C )
A．2海里B．2sin55°海里 C．2cos55°海里D．2tan55°海里
5．(2015苏州中考)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( B )
A．4kmB．(2＋2)km
C．22kmD．(4－2)km 二、填空题(每小题3分，共6分)
6．(2015天津中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD＝3，DB18＝2，BC＝6，则DE的长为__5__.
,(第6题图)) ,(第7题图))
7．(2015扬州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__.
三、解答题(共29分)
8．(7分)(2015益阳中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
7
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝8，求线段OE的长．
解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD；(2)在Rt△AOB中，AO7749AB7
cos∠OAB＝AB＝8，AB＝14，∴AO＝14×8＝4，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝AE＝8，AB＝14，84915
∴AE＝7AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－4＝4.
9．(7分)(2015天津中考)如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上．小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC＝21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数点后一位)．
(参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.)
解：如图，根据题意，DE＝1.56, EC＝21，∠ACE＝90°，∠DEC＝90°.过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠DFC＝90°，∠ADF＝47°，∠BDF＝42°.可得四边形DECF为矩形．∴DF＝EC＝AF
21，FC＝DE＝1.56.在Rt△DFA中，tan∠ADF＝DF，∴AF＝DF·tan47°≈21×1.07＝22.47.在Rt△BF
DFB中，tan∠BDF＝DF，∴BF＝DF·tan42°≈21×0.9＝18.9.于是，AB＝AF－BF＝22.47－18.9＝3.57≈3.6，BC＝BF＋FC＝18.9＋1.56＝20.46≈20.5.答：旗杆AB的高度约为3.6m，建筑物BC的高度约为20.5m.
10．(7分)(2015长春中考)在矩形ABCD中，已知AD＞AB，在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__AF＝DE__.
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．
,图①)
2
探究：AF＝DE.证明略；应用：BG＝3. ,图②)
11．(8分)(2015连云港中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD.过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
(1)求BD·cos∠HBD的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．
ACBC
解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，△ABC∽△DHC，∴CD＝CH，∵AC＝3CD，BH
BC＝3，∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝BD，∴BD·cos∠HBD＝BHBCAB
＝4；(2)解法一：∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴HD＝BH，∵△ABC∽DHDC133DH
△DHC，∴AB＝AC＝3，∴AB＝3DH，∴DH＝4，DH＝2，∴AB＝6.解法二：∵∠CBD＝∠A，CDBD
∠BDC＝∠BDC，∴△CDB∽△BDA，∴BD＝AD，BD2＝CD·AD，∴BD2＝CD·4CD＝4CD2，∴BDCDBCCD3
＝2CD，∵△CDB∽△BDA，∴BD＝AB，∴2CD＝AB，∴AB＝6.
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