《相似》全章复习与巩固--巩固练习(提高无答案)

【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；

3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】

【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）2）若a:b=b:c ，则b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似三角形相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

2（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点三、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 要点四、黄金分割

1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即

PBAP（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫APAB黄金分割．

2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 要点五、射影定理

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）∴CD2ADBD； AC2ADAB； BC2BDAB（射影定理）； ACBCABCD（等积）．

例一例一变式

【典型例题】类型一、相似三角形样的关系时，这两个三角形相似？ 1. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎

【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.

举一反三【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于

O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度.

2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC

＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（ ）A．63 D．243 B．123 C．183

CMNAP3

2

ADBBDFEGC

总结升华本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大. 类型二、相似三角形的综合应用

3. 如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点

，如果，1//BE（点P、E在直线AB的同侧）

BDAB4（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP

求△PBC的面积与△ABC面积之比.

总结升华】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决本题的关键，

4.如图所示，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.

(1)求证；(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相

交于点F，求证： 是否成立(不必证明).

；(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断

结升华】本题考查了圆有关的性质和相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想，即将等积式转化为比例式． 举一反三：【变式】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

5

5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变． 设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．

【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题. 举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y． (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?

6

类型三、黄金分割

6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．

举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°． 求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．

《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①

； ②

；③

； ④

.

其中单独能够判定的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

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2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、 MN，则下列叙述正确的是( )

A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( ) ①

； ②

； ③

；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC.

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似

5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( ) A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥

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6. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）A．1

B．2

C．3

D．4

27. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( ) A.增大1.5米 B.减小1.5米 C.增大3.5米 D.减小3.5米 8. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，

A.若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）

5151 B. C. 3 D. 2 22891012

二、填空题

9. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________.

10. 如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___ __. 11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________.

12. 如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，•幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是__ ____.

13.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_______cm时，四边

2

形ABCN的面积最大，最大面积为__________.cm．

14.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为__________________． 15. 如图，

ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则ABCD中的面

2AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，3积为 .(用a的代数式表示)

16. （2012•岳阳）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=则四边形DBCF的面积为_______________. 14 15 1617

三、解答题17. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

18.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，

（注解

=

EP）． EM（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

19. （1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P．求证： （2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF

分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN．

B ．

20

Q D A E

P C 20. 已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运

动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

(1)当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； (2)在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

(3)在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；