两次相遇行程问题的基本解法

两次相遇行程问题的基本解法

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例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是： 240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、

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乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。 [分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是： （24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

寻找最佳的解题方法

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样

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做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。

例 某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？

解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。 6÷6×12－96＝96（吨）

解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆汽车每天运的吨数。 96×（12÷6）－96＝96（吨）

解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。

96÷6×（12－6）＝96（吨） 答：第二天比第一天多运48吨。

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你认为哪种算法最好？

我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？

例 某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？

解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。

120×2－210＝30（千克）

解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。 120－（210－120）＝30（千克）

解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。

210－（210×2－120×2）＝30（千克）

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解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。

210－（210—120）×2＝30（千克）

解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。 （120－210÷2）×2＝30（千克） 答：油桶重30千克。

我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？

解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。

（3080－280）÷（280÷4）＝40（天）

解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。 3080÷（280÷4）－4＝40（天）

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解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。

4×（3080÷280）－4＝40（天）

解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。

4×［（3080－280）÷28] ＝40（天） 答：加工剩下的零件还需要40天。

一道思考题的三种解法

题目是这样的：选择＋、－、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。 （1） 2 2222＝0 （2） 2 2222＝1 （3） 2 2222＝2 （4） 2 2222＝3

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（5） 2 2222＝4 （6） 2 2222＝5 （7） 2 2222＝6 （8） 2 2222＝7 （9） 2 2222＝8 （10）2 2222＝9

下面向你介绍三种解这道题的方法，希望你能受到启发，从而举一反三，学会解更多的思考题。

猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如（1）题，先试2×2÷2＋2－2≠0，后试2÷2＋2－2＋2≠0……最后试得2÷2＋2÷2－2＝0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。

逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（2）题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上

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减号或者除号。如添上减号，使原题变成2 222＝3。同理又因3＞2，故可在等号左边第二个2的前面添上加号，使原题变成2 22＝1。这时就很容易看出2－2÷2＝1了。综合前两步逆推，就得到2－2÷2＋2－2＝1的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三……种解法。

前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。 下面请看第三种解法。

凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（3）题，可以让等式左边的5个2两两相减得0，剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了，即2－2＋2－2＋2＝2。

从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？

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怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大提高的。 好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。

选择适当的运算符号和括号，使下式成立。 （1）2 3 5 7 1＝2 （2）2 3 5 7 1＝4 （3）2 3 5 7 1＝6 （4）2 3 5 7 1＝8

找出等量关系解决复杂应用题

同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。

[题目]修一多公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题） [分析与解］

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解法一：这道题的条件是：再修300米后，已修和未修长度的比是1: 2，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的长度为x米，那么未修的长度为3x米。

利用双向思考解决奥数题

早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题）

此题可以用三种方法来解。 解法一：画线段图来解。

由图可见，小明比妈妈跑的路程长。 解法二：用方程解。

设小明跑了100米，爸爸跑的路程就是100×2－20＝180（米），再设妈妈跑了x米，

列出方程：2x＋10＝180 x＝85（米）

即妈妈跑了80米，可见小明比妈妈跑的路程长。

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解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为x米、y米、z米，根据题意可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：

y＝2x－20→y＝2x＋20

y＝2x＋10→y＝2x－10（x＞z） 即小明比妈妈跑的路程长。

画图法解决奥数难题

一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下8条鱼。

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第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？

这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意，启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。

由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8÷2条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×3条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（8÷2×3）÷2；同样可得知小明拿走的鱼是［（8÷2×3）÷2×3］÷2条。所以打的鱼一共是［（8÷2×3）÷2×3］÷2×3＝27（条）。

当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道，每人平均拿了8÷2＋5条，所以打的鱼一共是（8÷2＋5）×3＝27（条）。

小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。

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一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。 你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢？ 可以按照上次的方法，先画出下面的图。 然后列出算式： ［（ 5＋l）×2＋1]×2 ＝[6×2＋1］×2 ＝26（个）

答：筐里一共有26个山梨。

你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来，对于复杂的题目，可以根据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系，也就比较容易列出算式、求出结果。

逆向思维的巧妙运用

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逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来，用对立的、看上去似乎不可能的办法解决问题的思维方法。利用这种思维方法，可以巧妙地解决一些我们正常思维所不能解决的问题。

比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。

小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共100张，一共花了17元钱。他买了1角和2角邮票各多少张？

解这一题目，假设买来的100张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×100＝200（角）＝20（元）。

可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票。若有一张1角邮票，总钱数就相差1角。

由此可求出1角邮票张数为：3元＝30角，30÷1＝30（张）。

2角邮票张数为：100－30＝70（张）。 请你用这种方法算出下面的题目：

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三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只，如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？

利用周密的推理解决难题

解答奥数习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我们要善于挖掘题中所隐含的条件，把它作为推理的依据，有次序地进行，使前面得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。 有这样的一道题：甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有：100米、4OO米、800米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得5分、2 分、l分；乙800米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲22分，乙、丙各得9分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？

由题中条件可知：乙800米赛跑得第一名，乙得5分；而甲总分是22，只有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得22分，很显然，甲只能是800米得第二名，其余四项均为第一名；由于参加比赛的只有三

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人，每人每项至少能得第三名，拿1分；乙只有除8OO米外四项都得第三名，才会获得9分（5＋l＋1＋1＋1）；那么剩下的名次皆为丙的，即丙除800米得第三名外，其余四项都得第二名。如下表所示：

甲 乙 丙 总分 22 9 9 100米 5 1 2 400米 5 1 2 800米 2 5 1 跳高 5 1 2 跳远 5 1 2 有这样的思考题：两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

因为被除数、除数、商和余数的和是225，所以被除数、除数的和应为：225－21－3＝201；如果要使被除数和除数相除的商是21，且没有余数，则它们的和应是：201－3＝198，那么由和倍问题的特点可得： 除数：198÷（21＋l）＝9 被除数：9×21＋3＝192

所以被除数是192，除数是9。

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