2017-2018学年山西省太原市九年级上学期期末考试数学试题含答案解析

数学试卷

考试时间:2018年2月1日 上午8:00—9:30

说明:本试卷为闭卷笔答,不允许携带计算器,答题时间90分钟满分100分

一、选择题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)下列各题给出的四个选项中,只有一个符合要求,请将正确答案的字母代号填入相应的位置

1.一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0,另一根为

A.x=2 B.x=-2 C.x=4 D.x=-4 【答案】D 【解析】

x24x0xx40x10,x24

2

的图象经过点(-2,m),那么m的值为 x

11A.1 B.-1 C D.-

222.若反比例函数y【答案】B

【解析】∵反比例函数y

22的图象经过点(-2,m)∴mm1 x23.把一个正六棱柱如右图水平放置,一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

【答案】B

4.小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏,假设他们每次出这三种手势的可能性相同,则在一次游戏中两人手势相同的概率是 A

1112 B C D 3693【答案】A 【解析】

共有9种等可能的结果，在一次游戏中两人手势相同有3种情况 ∴在一次游戏中两人手势相同的概率是

31 935.如图,△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE//BC,若AD=2DB,则△ADE与△ABC的面积比为 A

2423 B C D

5395【答案】B

【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

=（

）2=（

224）=39

6.下列四个表格表示的变量关系中,变量y是x的反比例函数的是

【答案】C

【解析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案

7.在平面直角坐标系中,将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2,依次连接得到的四个点,可得到一个新四边形,关于所得四边形,下列说法正确的是

A与原四边形关于x轴对称 B.与原四边形关于原点位似,相似比为1:2 C.与原四边形关于原点中心对称 D.与原四边形关于原点位似,相似比为2:1 【答案】D

【解析】在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

8,股市规定:股每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停:当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停,现有一支股票某天涨停,之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x,则x满足的方程是

A.(1+10%)(1-x)2=1 B.(1-10%)(1+x)2=1 C.(1-10%)(1+2x)=1 D.(1+10%)(1-2x)=1 【答案】A

【解析】(1+10%)(1-x)2=1；

9.如图是一个几何体的三视图,则该几何体可能是下列的

【答案】A

【注意】左视图左内右外

10.书画经装后更便于收藏,如图,画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形,装裱后整幅画为矩形ABCD,两矩形的对应边互相平行,且AB与A'B的距离、CD与CD的距离都等于4cm.当AD与AD的距离、BC与B'C'距离都等于acm,且矩形ABCD∽矩形ABCD时,整幅书画最美观,此时,a的值为

A.4 B.6 C.12 D.24 【答案】C

【解析】∵矩形ABCD∽矩形ABCD∴

ABBC9030a12 ABBC902a3024二、填空题(本大题含5个小题,每小题2分,共10分)把结果直接填在横线上 11.反比例函数y-【答案】二、四 【解析】

当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小；

3的图象位于坐标系的第_________________象限 x当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大； 两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.

12.如图,两张宽均为3cm的矩形纸条交又重叠在一起,重叠的部分为四边形 ABCD.若测得AB=5cm,则四边形ABCD的周长为___________cm.

【答案】20 (第12题图) 【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相同，∴AE=AF．

∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形． ∵菱形四边相等∴四边形ABCD的周长为4AB=20

13.如图,正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M,N,P,Q,R,它们分 别是各条对角线的黄金分割点,若AB=2,则MN的长为_________ 【答案】35

【解析】∵M为线段AD的黄金分割点，AM＞DM∴

AM51DM35即 DA2AD2同理可得

MN35DN35MNDM∵∠MDN＝∠ADB∴MNDADB ∴ 即∴MN35 22DB2ABDA14新年期间,某游乐场准备推出幸运玩家抽奖活动,其规则是:在一个不透明的袋子里装有若干个红球和白球(每个球除颜色外都完全相同),参加抽奖的人随机摸一个球,若摸到红球,则可获赠游乐场通票一张.游乐场预估有300人参加抽奖活动,计划发放游乐场通票60张,则袋中红、白两种颜色小球的数量比应为______________ 【答案】1:4

【解析】设红球m个，白球y个，根据大量反复试验下频率稳定值即概率可得化简得4mn

∴袋中红、白两种颜色小球的数量比应为m:n=1:4 15.如图,点A,C分别在反比例函数y-60m 300mn49

(x<0)与y (x>0)的图象上,若四边形

xxOABC是矩形,且点B恰好在y轴上,则点B的坐标为______________ 【答案】B(0,

136) 6【解析】如图，作AD⊥x轴，垂足为D，CE⊥x轴，垂足为E. 约定Am,49,Cn,（m<0,n>0） mn4mADOD由k字形结论可得即m化简得mn=-6 9OECEnnxBmn00再根据平行四边形坐标特点相邻之和减相对可得 49y0Bmn∴m6,n6,yBDE469136 66∴B(0,

136) 6三、解答题(本大题含8个小题,共60分)解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程 16.解下列方程:(每题4分,共8分) (1)x2-8x+1=0; 解：移项得：x2-8x=-1 配方得：x2-8x+42=-1+42 即（x-4）2=15

直接开平方得x415 ∴原方程的根为x1415,x2415 (2)x(x-2)+x-2=0

解：提取公因式（x-2）得（x-2）（x+1）=0 ∴原方程的根为x12,x21 17.(本题6分)

已知矩形ABCD,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上,求证:四边形ADEF是正方形.

【解析】∵矩形ABCD∴∠D=∠DAB=90°，∵EF⊥AB ∴∠F=90° ∴四边形ADEF是矩形 ∵∠D=90°∴ED⊥DA

∵AE平分∠DAB，EF⊥AB∴ED=EF ∴四边形ADEF是正方形 18.(本题9分)

花园的护栏由木杆组成,小明以其中三根等高的木杆为观测对象,研究它们影子的规律图1,图2中的点A,B,C均为这三根木杆的俯视图(点A,B,C在同一直线上) (1)图1中线段AD是点A处的木杆在阳光下的影子,请在图1中画出表示另外两根木杆同一时刻阳光下的影子的线段;

(2)图2中线段AD,BE分别是点A,B处的木杆在路灯照射下的影子,其中DE∥AB,点O是路灯的俯视图,请在图2中画出表示点C处木杆在同一灯光下影子的线段;

(3)在(2)中,若O,A的距离为2m,AD=2.4m,OB=1.5m,则点B处木杆的影子线段BE的长为___________m 【解析】(1)如图1,线段BE,CF即为所求（太阳光是平行光，考查平行投影）

(2)如图2,线段CG即为所求;（考查点投影）

⑶1.8 ∵DE//AB∴

OAOBOAOB21.5即BE1.8m

ODOEOAODOBBE22.41.5BE19.(本题6分)

王叔叔计划购买一套商品房,首付30万元后,剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还,即贷款金额按月分期还款,每月所还贷款本金数相同,设王叔叔每月偿还贷款本金y万元,x个月还清,且y是x的反比例函数,其图象如图所示 (1)求y与x的函数关系式;

(2)王叔叔购买的商品房的总价是__________万元;

(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元,则至少需要多少个月还清?

k

(k≠0). x

kk根据题意,得点(120,0.5)在y的图象上,∴0.5解得k=60

x12060∴y与x之间的函数关系式为y (x>0)

x【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y(2)90;

∵王叔叔每月偿还贷款本金y万元,x个月还清∴贷款金额xy=60万元 ∴王叔叔购买的商品房的总价为首付与贷款金额的和即30+60=90（万元） (3)2000元=0.2万元 根据题意,得y=0.2,x=300

由图，y≤2000的图像位于Ⅱ区域即x≥300 ∴至少需要300个月还清.

20.(本题6分)

0.2300ⅠⅡ新年联欢会,班里组织同学们进行才艺展示,如图所示的转盘被等分成四个扇形,每个扇形区域代表一项才艺：1-唱歌；2-舞蹈；3-朗诵；4-演奏.每名同学要随机转动转盘两次,转盘停止后,根据指针指向的区域确定要展示的两项内容(若两次转到同一区域或分割线上,则重新转动,直至得出不同结果).求小明恰好展示“唱歌”和“演奏”两项才艺的概率.

【解析】转动转盘两次所有可能出现的结果列表如下:

由列表可知共有12种结果,每种结果出现的可能性相同

小明恰好展示“唱歌”和“演奏”才艺的结果有2种:(1, 4),(4,1) 所以小明恰好展示“唱歌”和“演奏”才艺的概率是21.(本题6分)

为了弘扬山西地方文化,我省举办了“第三届山西文化博览会”,博览会上一种文化商品的进价为30元/件,售价为40元/件,平均每天能售出600件.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种商品的售价每上涨1元,其每天的销售量就减少10件,为使这种商品平均每天的销售利润为10000元,这种商品的售价应定为多少元? 解:设这种商品的涨价x元，根据题意,得 （40-30+x）（600-10x）=10000

即（10+x）（60-x）=1000 10x60x70(205070,20501000) 解得x1=10,x2=40

∴售价为40+10=50或40+40=80

∵售价在40元至60元范围内∴售价应定为50元 答:售价应定为50元. 22.(本题12分)综合与实践:

21. 126问题情境:

如图1,矩形ABCD中,BD为对角线,

ADk ,且k>1.将△ABD以B为旋转中心,按顺时针方向旋转,得到△FBE(点DAB的对应点为点E,点A的对应点为点F),直线EF交直线AD于点G

(1)在图1中连接AF,DE,可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△ABF相似,这个三角形是_______,它与△ABF的相似比为______(用含k的式子表示); 【答案】(1)△DBE;

ABGFDEk21:1

C【解析】本题考查子母牵手模型 由旋转性质可得△ABD≌△FBE ∴BA=BF,BD=BE ，∠ABD=∠FBE ∴

ABBF,ABFDBE ∴△ABF∽△DBE BDBEBDAD∵k∴△DBE与△ABF相似比为ABAB数学思考:

k21 1ABGFDCE(2)如图2,当点E落在DC边的延长线上时,点F恰好落在矩形ABCD的对角线BD上,此时k的值为______ 【答案】3

【解析】由旋转性质可得△ABD≌△FBE

∴BD=BE ，AD=FE ∵ 矩形ABCD∴AD=BC ∴EF=BC ∵BDFEDEBC(等面积转换) ∴BD=DE ∴等边三角形BDE

AD∴tan603 AB实践探究

(3)如图3,当点E恰好落在BC边的延长线上时,求证:CE=FG; 【解析】(首推方法2) 方法1：常规法 设EF与BD交于点O

ABGFDCE由旋转性质可得△ABD≌△FBE∴∠ADB=∠FEB,BD=BE,AD=FE,

∵四边形ABCD是矩形,AD//BC,AD=BC∴∠ADB=∠DBC,∠FEB=∠EGD ∠ADB=∠EGD,∠FEB=∠DBC OD= OG, OE=OB

OD+OB=OG+OE,即BD=GE ∵BD=BE∴BE= EG

∵CE= BE- BC, GF= GE- EF, E 且BC= AD=FF ∴CE= GE 方法2面积法

由旋转性质可得△ABD≌△FBE∴∠BAD=∠BFE,BA=BF,AD=FE, ∵四边形ABCD是矩形,AD//BC,AB=DC ∴SBDESBGEBEDCGEBF ∵BA=BF, AB=DC∴DC=BF ∴BE=GE

∵CE= BE- BC, GF= GE- EF, E 且BC= AD=FF ∴CE= GE (4)当k=

43时,在△ABD绕点B旋转的过程中,利用图4探究下面的问题 请从A,B两题中任选一题作答,我选择 A:当AB的对应边FB与AB垂直时,直接写出

DG【答案】1AAB的值. 3mGmD3或73

【解析】如图 3m B3mFC

B:当AB的对应边FB在直线BD上时,直接写出

DGEAB的值 AGFDOBCEAGFDBCEEG3mA4mD3mF3mB4mCAGD3mF2m3m【答案】或5610 3【解析】如图 情况1：

cosADBADFD42m5GDmBDGD5GD25mDG25AB3m6情况2：

GEA3m4mD5mADFD48mcosADBGD10mBDGD5GD

DG10m10AB3m323.(本题12分)

B3mCF如图1,平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(-2,4)、(-5,0).将△OAB沿OA翻折,点B的对应点C恰好落在反比例函数y

k

(k≠0)的图象上 x

(1)判断四边形OBAC的形状,并证明. 【解析】(1)四边形OBAC是菱形 证明:过点A作AE⊥x轴于点E

∵A(-2,4)∴ OE=2, AE=4 ∵B(-5,0)∴BE= OB- OE= 3 在Rt△ABE中,由勾股定理得AB=∴ AB= BO

AE2BE2=5

∵△AOB沿AO折叠,点B的对应点是点C∴AB= AC, OB= OC∴AB= OB= AC = OC. ∴四边形OBAC是菱形 (2)直接写出反比例函数y【答案】yk

(k≠0)的表达式. x

12 x【解析】xCxAxOxB20(5)3,yCyAyOyB4004 ∴C（3,4）

∵C恰好落在反比例函数y

kk12的图象上∴4k12∴y xx3(3)如图2,将△OAB沿y轴向下平移得到△OA'B',设平移的距离为m(0请从A,B两题中任选一题作答,我选择___________ A:若点B的对应点B’恰好落在反比例函数y【解析】连接BB’

△OAB沿y轴向下平移得到△OA’B', BB’∥y轴,BB’=m

∵B(-5,0)∴点B'的横坐标为-5将x=-5代入yB'(-5,-2,4),BB’=2.4,即m=2.4 B:若S=

k

(k≠0)的图象上,求m的值,并直接写出此时S的值 x

12.得y=-2.4 x1SOAB,求m的值; 2【解析】连接AA′并延长AA’交x轴于点H,设A'B',A’O′交OB 于点M,N则AA′=m,

由平移可知∠MAN=∠BAO,AH⊥OB,A’M∥AB, ∴△A’MN∽△ABO

SAMNAH1AH1∵AH=4, ∴AH22 SABOAH2AH2∴AA’=AH-A’H=4- 22,即m=4- 22 (4)如图3,连接BC,交AO于点D,点P是反比例函数y

2k

(k≠0)的图象上的一点, x

请从A,B两题中任选一题作答,我选择____________

A:在x轴上是否存在点Q,使得以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在,说明理由; 【答案】存在,点P与Q的坐标如下:

P1(6,2)与Q1(7,0); P2(6,-2)与Q2(-7,0); P3(-6,-2)与Q3(-7,0);

【解析】由题意D为AO中点∵A(-2,4) ∴D（-1,2）设Q（t，0），P（m,12） mxQxOxPxDt0m1m6OP为对角线：∴P1(6,2)与Q1(7,0) 12t7yQyOyPyD00m2xPxOxDxQm0(1)t1tm6OD为对角线：∴P2(6,-2)与Q2(-7,0); 12yPyOyDyQ0202t7mxQxPxDxOtm(1)0m6PD为对角线：∴P3(-6,-2)与Q3(-7,0) 12t7yyyy020QPDOmB:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,说明理由

【答案】存在,点Q的坐标如下

Q14,2Q2262,64,Q310,5,Q4(262,64)

【解析】先求P点坐标，分别过O、A作直线交yP1，P2，P3，P4

设P2P4所在直线为y=kx，P2（m，n）∴n=mk 由A(-2,4)易得tan∠1=tan∠2=

12于 x1n1 则k

m22112x26x26,直线yx与y联立解得 ∴P226,6,P426,6

2xy6y6xQ2xAxP2xO2260262,yQ2yAyP2yO46064

∴Q2262,64 同理Q4(262,64)

设P1P3所在直线为y1x+b将A(-2,4)代入可得b=5 2x12x2112∴Pyx5与y联立解得,12,6,P312,1

x2y1y6xQ1xP1xOxA2024 yQ1yP1yOyA6042 ∴Q14,2

同理Q310,5

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