第7讲 新数学的诞生

第7讲 新数学的诞生

在此前的几讲里，我们通过向大家介绍古代的希腊科学和中国科学，并重点通过科学革命，其中包括哥白尼革命、牛顿革命等事例，对科学的内涵、意义、作用、模式、及其传统进行了部分阐释。从中我们可以看到，对各种基本问题的关注，往往是促成重大科学发现、推动科学进步的一个重要前提。另外，从古希腊毕达哥拉斯学派提出的“万物皆数”观念，遍历哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿探索并构建的宇宙数学模型，直到上一讲我们提及的“笛卡尔之梦”，都从一个侧面说明了作为“科学皇后”的数学，对于整个科学的重要作用。伽利略的话，即宇宙“这本书是用数学的语言写成的”，已为我们所熟知。其实，在此之前，文艺复兴运动的代表人物达·芬奇也曾说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，„„人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。”正是在这种数学化思想认识的指导下，挣脱了中世纪宗教樊篱的科学活动，开始突现出蓬勃发展的趋势，并为数学的复苏提出了新要求，提供了新动力。

1. 代数学的新生

近代代数学的进展

人们习惯上将阿拉伯数学家花拉子米视为代数学的始祖。“代数学”这一术语即来源于他的传世名著《代数学》（al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala。约820年）。该书所讨论的数学问题大都比丢番图和印度人所讨论的数学问题简单，但它在数学思想上有一处明显的进步：它探讨算术问题的一般性解法。而丢番图《算术》中所记载的数学问题，基本上是一题一法，而且多数需要依赖于高度的运算技巧才可获解。有人曾抱怨说，“研究了丢番图的一百道问题之后，人们还是不知道怎样去解第一百零一个问题”。

尽管花拉子米在其《代数学》一书中，运用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次引进了移项、同类项合并等代数运算，并给出了一元二次方程的一般解法及几何论证，还指出了二次方程有无（实）根的条件等。但他在当时，还无法看到这种一般性方法对于数学意味着什么。实际上，他所研究的根本对象仍然是数。按照我们今天的观点，他的研究领域实质上仍然局限于算术。完全意义上的代数学，需要符号系统的引入，才可获得真正的新生。只有等到符号化体系之后，代数才成为一门独立的科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。

数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达，其符号体系的引入导致了代数性质上的重大变革。韦达以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符号性代数称作“类的算术”，并规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。

韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德和奥特雷德所继承。特别是通过后者的著作《实用分析术》，在数学研究中使用符号逐渐成为一种风尚。当然，韦达的符号代数并非没有缺陷，比如，他的符号代数保留了一种齐性原则，即体积与体积相加，面积与面积相加。这一障碍直到笛卡尔解析几何的诞生才得到消除。笛卡尔在其《几何学》中以任意选取的单位线段为基础，定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以独特的字母符号来表示线段，由于他可用线段表示积、幂等，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算术或代数术语，从而将几何问题化为代数问题。笛卡尔还改进了韦达的代数符号系统，他首先用拉丁字母的前几个表示已知量，后几个表示未知量，成为今天的习惯。

继花拉子米一般性地解决了线性方程和二次方程的求解问题之后，三次方程和四次方程的求解问题开始成为数学中一个倍受人们普遍关注的基本问题。然而，截止15世纪末，各种探索皆以失败而告终，这使得有些人开始怀疑三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。直到1515年，波伦亚大学的数学教授费罗（S. Ferro, 1465-1526）终于在此方向上获得了第一个突破。他发现了形如x3 + px = q (p, q > 0)的三次方程的代数解法。1535年，意大利的另一位数学家塔塔利亚宣称自己还可以解形如x3 + px2 = q (p, q > 0)的三次方程。然而，按照当时的风气，学者们多不愿公开自己的研究成果，因此，这些方程的解法仍是一种秘密。1545年，一位米兰学者卡尔丹诺（G. Cardano, 1501-1576）突然

出版了一本专著《大法》（Ars Magna），向世人公开了上述方程的解法。现在我们都习惯于将其称为卡尔丹诺公式。卡尔丹诺还在《大法》中收录了其弟子费拉里（L. Ferrari, 1522-1565）对四次方程的根式解法。因此，《大法》一书包含了三次和四次方程的解法。其中包含的四次方程皆通过一定的代换，转化为可解的三次方程获得根式求解。

在对三次方程的求解过程中，会出现一种所谓的“不可约”情形，这实质上是与复数的不期而遇。卡尔丹诺已认识到三次方程的复数根是成对出现的，并且三次方程有三个根，四次方程有四个根。1572年，意大利数学家邦贝利（R. Bornbelli）在其所著教科书《代数》中引进了虚数，用以解决三次方程的不可约情况，并以dimRq11来表示11。在此基础上，荷兰人吉拉德（A. Girard）在其《代数新发现》（1629）一书中对代数方程的解作出了进一步推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数根）考虑在内，并包括重根，则应有n个根，这就是著名的“代数基本定理”。不过吉拉德没有给出证明。卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于二次项系数的相反数，每两根乘积之和等于一次项的系数等。这种根与系数的关系问题后来先后由韦达（F. Vieta, 1540-1603）、格列高里（J. Gregory,1638-1675）和牛顿（Isaac Newton, 1642-1727）等人作出了系统阐述。

由此可见，对于代数基本问题，实际上也是当时整个数学的一个基本问题之一的关注，虽然在最初只产生了一些零星的结果，但正是这些有限的进展，却成就了后来的数学发展，成为高次代数方程理论一系列漫长而影响深远的探索的起点。

代数方程的可解性

代数学的下一次重大进展，发生在19世纪初，对于整个代数学史而言，该进展可谓是代数学的一次革命性变化，具有划时代的意义。那就是群的发现。它是一代代数学家关注于代数方程可解性的基本问题而获得的最伟大的收获。

在此之前，数学经历了连续两个世纪的开拓与发展，到18世纪后半叶时，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿着新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里得几何中平行公理的证明问题以及牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。

在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破。与上世纪末部分数学家们的悲观预料完全相反，数学在19世纪跨入了一个前所未有的、突飞猛进的历史时期。

中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题。文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。接下来，数学家们自然希望能尽快找到一般的五次或更高次的代数方程的根式解。即在n>5时，对于形如xn + a1xn–1 + …+ a n–1x + an = 0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。所以，代数学在当时面临的基本问题变为：五次或更高次的代数方程是否存在根式解。在解出三次和四次代数方程后的近两个半世纪内，很少有人对此产生过怀疑。然而事实却是，所有寻求这种解法的努力都以失败而告终。于是，数学家们开始从另一方面来思考这一问题。

1770年，拉格朗日发表了他的《关于代数方程解的思考》一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二次、三次、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次方程是不可能发生的。拉格朗日发现三次方程有一个二次辅助方程，其解为原三次方程根的函数并且在根的置换下仅取两个值；四次方程则有一个三次辅助方程，其解在原方程根的置换下仅取三个不同值。他称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图进一步将上述方法推广到五次和五次以上的方程。他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解并试图对这种不可能性作出证明，经过努力，他不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”。拉格朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量发生置换时取值的个数，这蕴含了置换群的概念。

到了18世纪的最后一年，意大利的鲁菲尼（P. Ruffini,1765-1822）用拉格朗日的方法证明了不存在一个预解函数能满足一个次数不低于五次的方程，并明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。在这一问题上，18世纪的数学家可以说已经走到了成功的边缘，他们虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。

拉格朗日的文章发表过后半个世纪，一位在新世纪诞生于挪威的年青人以其才气宣告了人类智慧

的胜利。1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程：证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下事实：如果方程的次数大于等于五，那么任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔彻底解决了。他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼。

五次及更高次方程代数解的存在性问题似乎就这样解决了，然而，数学家们却并未就此停步。以下，我们就来说说代数学在19世纪所发生的那场革命性变革，即群的发现和一位天才数学家伽罗瓦的故事。

群的发现

阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的，但并不妨碍人们去求一些特殊的代数方程，比如阿贝尔方程的根式解。在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的基本问题变为：什么样的特殊方程能够用根式来求解？解决这一问题的是一位与阿贝尔一样年青的法国数学家伽罗瓦（E. Galois, 1811-1832）。伽罗瓦在1829-1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解性这一经历了三百年的难题的彻底解决。

伽罗瓦的思想是将一个高次方程的所有根作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。他在这种置换间定义了一种乘积运算，使得这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍在该集合中。伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义，不过它只是针对一个具体置换群所作的定义，还不是抽象意义上群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。

进一步考虑一个方程的根形成的置换群中某些置换组成的“子群”，这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。其含义如下：考虑由方程系数的有限次加、减、乘、除四则运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合现在叫方程的“基本域”，并记为F = Q(a1, a2, … an)，是为由方程系数a1, a2, … an生成的一个有理数域。以F中的元素为系数，方程的根所形成的全部代数关系，在一些置换之下将保持不变，这些置换所形成的子群，就是伽罗瓦群。

需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦指出，方程的群与方程是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键。伽罗瓦证明了，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。

这里不打算详述伽罗瓦理论的细节，不过我们对于伽罗瓦解决方程根式可解这个难题的思路已经有了一个大致的了解。在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过根的置换并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他却未能继续前进。只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括欧拉、拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题。

被伽罗瓦彻底攻克虽然是三百年前的老难题，但他的思想却大大超出了他的时代。像阿贝尔一样，伽罗瓦的工作在他生前完全被忽视了，而且和阿贝尔相比，伽罗瓦的身世更为悲惨。伽罗瓦出生在巴黎附近一个小镇的镇长家庭，家境本很优裕，但他生逢法国大革命的动荡时代，自18岁丧父之后，各种不幸便接踵而至。他先是报考向往已久的巴黎综合工科大学而遭失败。后虽考进巴黎高等师范学校，但第二年却因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被校方开除，再后更因参加政治活动而两度被捕入狱。1832年5月的一天，伽罗瓦在一场决斗中被杀身亡。死时尚不足21岁。

伽罗瓦的数学研究，就是在这种激烈的动荡和遭受种种打击的情况下利用极为有限的时间进行的。他的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。伽罗瓦的有关文章在他被杀14年后，才于1846年首次获得公开发表。随之，在1849-1854年间，凯莱（A. Caylay）在其影响下指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群。人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类对于型的合成运算也构成群。1868-1869年间，约当（C. Jordan）在物理学家布拉维斯（A. Bravais）关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统研究。约当的工作又影响克莱因（F. Klein）关于几何分类中的无限变换群的研究。克莱因在1872年发表的《爱尔朗根纲领》正是基于这项工作，提出了几何学统一的思想。1874-1883年间，挪威数学家李（S. Lie）又研究了无限连续变换群。至此，数学家们终于完全认识到了伽罗瓦群理论的重要意义，而且“群”不再被局限于“置换”的概念，它可以是一个更加普遍的概念。

到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。

在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。而且，这种运算关系不再仅仅局限于我们熟知的加法或乘法。这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。事实上，在19世纪末，群论已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。

伽罗瓦理论现在已经被公认为19世纪数学的最突出的成就之一。群概念的划时代意义在于，代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。19世纪中叶以后，这种抽象的“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。这种观念向数学其他领域的渗透，催生了众多的数学分支，代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论等新方向构架起了代学数庞大的新体系。

2. 几何学的变革

近代几何学的进展

几何学中创造性活动的复兴晚于代数学。其最初的动力除天文学之外，更来源于艺术。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。而文艺复兴时期，描绘现实世纪成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世纪绘制到二维画布上时，面临着这样两个值得思考的基本问题：其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。

对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是德沙格（G. Desargues,1591-1661）。他原是法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，靠自学成名。他的主要著作则是1639年发表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》。该书充满了创造性的思想，其中之一就是他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无穷远线的概念。德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发首次研究了调和点组理论，并以其理论解决了许多几何问题。

继德沙格之后，法国数学家帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）、拉伊尔（P. de La Hire, 1640-1718）等，也先后在射影几何方面取得了不少新成果。然而，令人遗憾的是，德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在17世纪人们对这二种几何学并不加任何区分。但不可否认的是，在当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点。那就是一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；变换与变换不变性；仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量的几何新方法。

17世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代数方法处理数学问题一般更为有效，也特别容易获得实践所需的定量结果。而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其他学科。德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人们所重新发现。 近代数学本质上可以说是变量数学。从16世纪起，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，因而变量数学的兴盛并不足为奇。变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系。以这种方式可以将一个代数方程与平面上的一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。

解析几何的真正发明者首推笛卡尔。他在1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录，《几何学》即是其中之一，解析几何的发明就包含在这篇附录中。笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题，即帕波斯问题。该问题是求与空间若干条直线具有某种确定关系的点的轨迹。根据帕波斯给出的条件，他曾宣称，当给定的直线为三条或四条时，所得的轨迹是一条圆锥曲线。笛卡尔在《几何学》第二卷中，证明了四线问题的帕波斯结论。他的做法在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系。在《几何学》第三卷中，我们还可以看到笛卡尔也给出了直角坐标系的例子。有了坐标系

和曲线方程的思想，笛卡尔又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；曲线的分类等等。

“笛卡尔之梦”已经是我们熟悉的一个故事，一种方法，甚至一种哲学。笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法。可以看出，笛卡尔《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭。笛卡尔在《方法论》中尖锐地批判了经院哲学特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”。他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短。”而解析几何正象一座沟通的桥梁，使得两个彼此相隔的领域，即几何与代数在笛卡尔那里达到了完美的统一。

非欧几何的诞生

解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。可以说，直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。

许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理，然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然相信欧几里得几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，那就是欧几里得第五公设，也称平行公设。在欧几里得的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊。它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法。但直到18世纪中叶，历史上关于第五公设的每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。因此，达朗贝尔无奈地将其称为“几何原理中的家丑”。但就在这一时期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里（G. Saccheri）、德国数学家克吕格尔（G. S. Klügel）和瑞士数学家兰伯特。

萨凯里最先使用归谬法来证明平行公设。他在一本名叫《欧几里得无懈可击》（Euclides ab omni naevo vindicatus，（Euclid Freed of all Blemish）1733）的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，即假设四边形有一对对边相等，且它们皆与第三边垂直。不用平行公设也可以证明，这对等边与第四边所夹的角相等，而该夹角无非有三种情况，即直角、钝角、锐角。显然直角是与第五公设等价的。萨凯里的计划是证明后两种情形可以导致矛盾。根据归谬法就只剩下直角一种情形。这样就证明了第五公设。萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中，他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。1763年，克吕格尔首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论，从而开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明。他的见解启迪了兰伯特对这一问题进行了更加深入的探讨。

1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书。在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设。由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它。与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看作是非欧几何的先行者。然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退，或则徘徊不前。突破具有两千年根基的欧几里得几何传统的束缚，创立新的几何观念，还需要高斯、波约（J. Bolyai, 1802-1860）和罗巴切夫斯基（Н. И. Лобачевский）的出场。

高斯第一个认识到，非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧几里得几何一样正确的新几何学。从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年（时年22岁）开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。也许是由于自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，从而担心世俗的攻击，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。就在数学声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚名不见经传的匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世。1832年2月

14日，波约通过父亲将一篇题为《绝对空间的科学》的26页文章寄给高斯。其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何。然而高斯的回信却令波约深感失望。1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后，更使波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文。在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定的宣传和捍卫自己的新思想的一位。他先是于1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。

罗巴切夫斯基几何的基本思想与高斯、波约的相一致，即用与欧氏第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交，作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学——非欧几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。

1854年，非欧几何得到进一步发展。时年28岁的德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。即曲面无需置于欧几里得空间内考察，它本身就构成一个空间。它的许多性质（如曲面上的距离、角度、总曲率等）并不依赖于背景空间。

黎曼在1854年将高斯关于曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何。他把n维空间称作一个流形，n维流形中的一个点，可以用n个参数的一组特定值来表示，这些参数称做流形的坐标。黎曼从定义两个邻近点的距离出发，假定这个微小距离的平方是一个二次微分齐式。在此基础上，定义了曲线的长度，两曲线在一点的交角等，所有这些度量性质都是仅由称作“黎曼度量”的二次微分齐式中的系数确定的。

在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。

在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设。但黎曼区分了“无限”与“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的。可以证明，在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何。这第二种非欧几何，人们习惯上称之为（正常曲率曲面上的）黎曼几何。作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何。普通球面上的几何就是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直线”，容易看出，任意球面“直线”都不可能永不相交。

黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。但黎曼的理论仍然难以被同时代的人所理解。他的上述演讲是在他出任哥廷根大学讲师一职时按规定所作的。为了照顾大多数听众，黎曼在其演讲中已经去掉了许多技术性的细节，尽管如此，据说除了年迈的高斯之外，没有人能听懂黎曼的意思。

对于非欧几何的广泛理解和认可，需要等到19世纪70年代以后，当意大利数学家贝尔特拉米（E. Beltrami）、德国数学家克莱因（F. Klein）和法国数学家庞加莱（H. Poincaré）等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示了非欧几何的现实意义之后。至此，非欧几何才真正获得了普遍接受。

以克莱因的模型为例。在普通欧几里得平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部。他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（端点除外）。可以证明，这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。当然，为了进一步将罗巴切夫斯基几何定理翻译成欧几里得几何语言，克莱因定义了不同于普通欧几里得几何的测度概念。

在克莱因之后，庞加莱也对非欧几何给出了相应的欧几里得模型。这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。因为我们可以设想，如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来，也就是说，只要欧几里得几何没有矛盾，那

么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了。

射影几何学的繁荣

非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。

在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何框架下被研究的。其早期开拓者德沙格、帕斯卡主要以欧氏几何的方法处理问题，并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展的洪流而被人遗忘。到18世纪末与19世纪初，蒙日的《画法几何学》以及蒙日的学生卡诺等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣。不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的庞斯列，他于1822年以《论图形的射影性质》一书掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时期。

与德沙格和帕斯卡不同，庞斯列并不限于考虑特殊问题。他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也成为自他以后射影几何研究的基本问题。由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列选择并发展了对合与调和点列理论而不是以交比概念为基础。与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而非平行投影，并将其提高为研究问题的一种方法。在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两个基本原理扮演了重要角色。

首先是连续性原理，它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性。用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一样地一般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性质第二个图形也有。”这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形。因此，我们总可以说两条直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者是一个无穷远点。除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理来引入虚元素。例如两个相交的圆，其公共弦当两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚的。无穷远元素与虚元素在庞斯列为完成射影几何的一般性工作中发挥了重要作用。

庞斯列强调的另一个原理是对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理。

在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯（A. F. Möbius, 1790-1868）和普吕克（J. Plücker, 1801-1868）开创了射影几何研究的解析（或代数）途径。麦比乌斯在《重心计算》（1827）一书中第一次引进了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的有效工具。

到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧几里得几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对这两种几何的逻辑关系仍不甚明了。即使是综合派的著作中也依然在使用长度的概念，如作为射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度来定义的。但长度在射影变换下会发生改变，因而不是射影概念。施陶特在1847年出版的《位置几何学》中提出一套方案，通过给每个点适当配定一个识别标记（也称坐标）而给交比作了重新定义。从而避免了射影几何学对于长度概念的依赖，使之摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧几里得几何概念，因而射影几何比欧几里得几何更基本。

施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（A. Cayley, 1821-1895）和普吕克的学生克莱因（F. Klein, 1849-1925）进一步在射影几何概念基础上建立欧几里得几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧几里得几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学辅平了道路。

几何学的统一

在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”。这是因为非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。

首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。高斯曾一度把他的

非欧几何称为“星空几何”，而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧几里得公理可能只是物理空间的近似写照。他们的预言，在20世纪被爱因斯坦的相对论所证实。正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性。

其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述的罗巴切夫斯基几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们思考的新的基本问题。

统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，年仅23岁的克莱因应聘为爱尔朗根大学数学教授，并发表了后以《爱尔朗根纲要》而著称的演讲。在此，克莱因基于代数学中群论方面的有关知识，阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。

例如就平面的情况而论，欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质。平面中的平移和旋转构成一个变换群。如果对平面的这两种刚性变换放宽限制，那么得到的新变换群所对应的几何中，长度和面积不再保持不变，不过一个已知种类的圆锥曲线经过变换后仍是同一种类的圆锥曲线。这样的变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何。因此，按照克莱因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特殊。仿射几何则是更一般的几何——射影几何的一个特例。一个射影变换下的不变量有线性、共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等。在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何和拓扑学。克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限小变形组成的变换的不变性”。这里“无限小变形”就是一一对应的双方连续变换。拓扑学在20世纪才获得独立的发展并成为现代数学的核心学科之一。并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。

另一对现代数学影响深远的统一几何学的途径，由希尔伯特（D. Hilbert, 1862-1943）提出，即公理化方法。公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重建欧几里得几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理的观点下进行的。在所有这些努力中，希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。

公理化方法是从公理出发来建造各种几何。希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。《几何基础》中提出的公理系统包括了20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平行公理，而保持其余所有公理不变，就可以得到双曲几何；如果在抛弃欧几里得平行公理的同时，添加任意两条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭圆几何，等等。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。

希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远起出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。公理化思想与集合论观点一起，在整个20世纪里，逐渐发展成为数学抽象的范式，它们相互结合，将数学的发展引向了高度抽象，高度统一的道路。这方面的发展，导致了实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。而这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展。

参考文献：

1、 李文林：数学史教程。高等教育出版社

2、 [美]H.伊夫斯：数学史概论。山西人民出版社 3、 [美]M.克莱因：古今数学思想。上海科学技术出版社 4、 [美]M.克莱因：数学，确定性的丧失。湖南科学技术出版社 5、 B. L. van der Waerden. A History of Algebra. Springer-Verlag, 1985, 6、 Howard Eves, A Survey of Geometry, Boston: Allyn and Bacon, 1965