关于《线性代数》课程教学改革的探讨

第１５卷第１２期　南阳师范学院学报　Ｖｏ１．１５　Ｎｏ．１２　２０１６年１２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｄｅｃ．２０１６　关于《线性代数》课程教学改革的探讨　谭　冰，王　阳　（南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳４７３０６１）　摘要：针对线性代数的特征和教学现状，提出相应的教学改革措施：融合和优化教学内容，抽象与直观、理论与实际、　传统教学与多媒体辅助教学、代数理论与数学建模、代数计算与软件计算相结合等．旨在激发学生的学习热情，培养他们的　知识应用能力和创新能力．　关键词：线性代数；教学模式；教学方法；教学改革　中图分类号：Ｇ　６４２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２０１６）１２—００６３—０４　作为理工科学生必修的公共基础数学课程之　能力培养的理工科学生来说有较大难度．此外，由　一，线性代数高度的抽象性、严谨的逻辑性和巧妙　于在课程开设之前，除了简单的线性方程组和向量　的归纳综合性在培养学生的抽象思维能力、逻辑推　外，学生基本没有接触过与线性代数相关的内容，　理能力、知识应用能力等方面起着积极有效的作　在学习过程中难以理解抽象的理论和复杂的运算，　用．随着国民经济和科学、工程技术的飞速发展，求　很难产生学习兴趣．　解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等　线性代数课程的典型教学特点是介绍定义的　问题已成为工程技术人员经常遇到的问题¨　．因　内涵和定理的证明过程，讲解运算法则和计算方　此，相关专业的学生应该熟练掌握线性代数的基本　法，为后续专业课程的开设奠定基础．教师在教学　理论和方法，然而，由于内容繁多、理论抽象、运算　过程中既要考虑到定义的阐述、定理的证明，又要　复杂　“　等原因，该课程的学习过程被公认为枯燥　注意运算法则和计算方法的讲解，但是由于课程中　和乏味，甚至被学生称为“天书”．另外，很多高校　的理论、方法相互交错、渗透，而课时相对较少，虽　为适应社会发展都在向应用型大学转变，不断进行　然目前基本采用多媒体方式教学，教学任务仍旧繁　课程改革，很多专业增设了一些新兴课程，导致线　重，无法丰富教学内容，难以激发学生的学习兴趣．　性代数的教学课时严重压缩，加之该课程的学分较　在课程结束后，学生仅能进行一些简单的理论计　低，学生的整体学习积极性不高，教师的教学效果　算，不能熟练利用所学知识解决实际问题，认识不　不甚理想．因此，更新教学方法和手段，构建以培养　到课程的重要性和应用价值．　理工科学生知识应用能力和创新能力为目标的新　１．２线性代数的教学现状　型教学模式是非常必要的．本文针对线性代数的课　１．２．１课程内容多，教学课时少　程特点和教学现状，结合近年来积累的教学经验，　南阳师范学院目前所用教材为王天泽主编的　对该课程的教学模式、方法和手段进行探讨，并提　《线性代数》　，包含行列式、矩阵、线性方程组、矩　出相应的改革措施．　阵的特征值与特征向量和二次型五大章节．由于学　１　线性代数的特征与教学现状　校转型发展的需求，线性代数的教学计划和大纲被　进行了较大调整，其中最典型的变化为教学内容的　１．１线性代数的特征　增多和教学课时量的减少：授课时间为一学期（一　线性代数的研究对象是有限维空间中的线性　般开设在大一下学期或大二上学期，个别专业开设　问题，其典型特点是内容抽象、理论性强（尤其是　在大一上学期），每周３课时或２课时，除去２～４　向量部分），蕴含丰富的数学思想，需要较强的抽　周的军训、课程设计或野外实习等活动所占时间，　象思维与逻辑推理能力，所以该课程对于侧重计算　正常授课时间约为４０学时．在这种课时少、内容多　收稿日期：２０１６—０９—２６　基金项目：河南省高等学校重点科研项目（１５Ｂ１１０００７）；河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目　作者简介：谭冰（１９８０一），女，河南南阳人，副教授，博士，主要从事数学课程的教学与研究．　・６４・　南阳师范学院学报　第１５卷　且难的情况下，教师在整个教学过程中都处于紧张　的“赶进度”状态，无法细致、透彻地讲解全部内　容，难以调动学生学习的积极性．　１．２．２教学模式单一，教学方法不灵活，教学手段　不完善　・　目前我校的线性代数教学仍旧采用传统的　“概念一定理一例题一习题”模式，虽然基本实现　了多媒体化，在一定程度上凸显了代数理论的系统　性，但过于注重课程自身理论的讲授，忽略了与其　他领域的相互渗透，导致学生在听讲过程中虽然大　致能够理解所学内容，在面对习题时却很迷茫，更　不会利用所学知识思考和解决相关的专业或实际　问题．另外，由于课时较少，教学过程基本以“教师　讲、学生记”的“填鸭”模式进行，师生之间缺乏必　要的交流，学生不懂的内容、不会的习题越积越多，　最终产生倦怠、厌恶情绪．　１．２．３重理论轻应用，忽视学生应用能力和创新　能力的培养　由于抽象的概念、结论及其证明过程、繁杂的　运算法则和计算过程都需要详细讲解，教师把大部　分课堂时间都用在理论推导上，过度注重学生对　“纯”数学方法、技巧的掌握，严重忽略相关理论在　其他领域的应用，即课程的“工具”作用，课堂教学　缺乏实用性和趣味性，导致学生体验不到“学以致　用”的乐趣，感到课程枯燥、无用，进而失去学习　热情．　２　线性代数课程的教学改革　对线性代数课程的教学进行改革，首先要求任　课教师具有较高的学术造诣和一定的工程应用背　景，能够明确相应专业的培养目标，并依据培养目　标整合和优化教学内容；其次要求教师积极开展教　学改革，改进教学方法、手段，促进学科渗透，使抽　象的理论直观化、单一的教学多样化、复杂的计算　简单化、枯燥的学习趣味化，继而激发学生的学习　兴趣，培养其知识应用能力．　２．１　教学内容的融合与优化　由于线性代数课程中既有大量的抽象数学概　念，例如：矩阵（向量组）的秩、线性空间、线性变　换、惯性指数等，又有复杂的具体计算（行列式计　算、矩阵初等变换、线性方程组求解、线性空间求　基、二次型化标准型等），教师必须统筹规划整个　教学过程，恰当融合相关章节的内容．例如，在讲克　拉默法则时，首先以二元线性方程组为例，利用消　元法求出方程组的解，启发学生找出解的表达式特　征，并引导他们结合二阶行列式的定义给出解的行　列式表达形式，并引导学生思考如何利用行列式的　方法求解三元、四元线性方程组，进而引导他们利　用行列式形式表达ｎ元线性方程组的解，即克拉默　法则；在此基础上提出问题：如果线性方程组中的　某个方程可由其余方程表示，则克拉默法则是否成　立？并以三元线性方程组为例，启发学生找出使用　克拉默法则时方程组必须满足的条件，进而简单介　绍矩阵、线性变换、线性相关性、线性空间等概念；　最后师生结合实例进行总结，加深对克拉默法则的　理解．这种引入实例的方式不仅能够基于学生所熟　知的消元法将抽象的内容简单化，而且可以通过　“解线性方程组”这条主线将课程的主要概念联系　起来，使学生较好地理解和掌握相关理论，逐步激　发其求知欲，增强其学习兴趣．另外，可以合理地将　高等数学等课程的相关内容融合到线性代数的教　学过程中．例如，在讲向量内积和正交时，启发学生　思考空间中两个向量垂直的条件，引导他们发现两　个ｎ维向量正交的实质是它们的内积为零．通过教　学内容的融合、优化使学生从多种角度理解线性代　数课程，培养他们的发散性思维和发现问题、解决　问题的能力．　２．２教学方法和手段的改革　２．２．１　将相关理论与专业应用相结合　重视抽象定义、结论及其证明过程的讲解，忽　视与实际应用的联系是学校线性代数课程教学的　典型特征．实践证明，这种教学方式很难使学生对　课程产生学习兴趣，不利于提高他们的学习积极　性．因此，在教学过程中，针对不同专业的学生，在　讲课之前，教师应该简要介绍该部分内容在后继课　程和实际问题中的应用，并将理论知识与相关应用　适当结合，使学生在学习过程中体会到“学有所　用、学以致用”，进而调动其学习的自觉性和主动　性．例如，针对经管类专业的学生，在讲矩阵乘法运　算时，引入投入产出模型，使学生通过具体实例掌　握矩阵乘法的运算法则，加深他们对专业知识的理　解．针对计算机类专业的学生，将图形学或生活中　的一些有趣案例融入矩阵概念、运算的讲解过程　中，使学生深刻认识到所学知识在专业、生活中的　广泛应用．对于化学类专业的学生，利用引人一些　常见、实用的化学反应构造相应的线性方程组，并　利用解方程组的方法得出方程组中各物质前的系　数，引导学生认识到线性方程组及线性代数课程的　重要性．对于物理、通信和自动化等专业的学生，在　讲线性方程组时，融人电路分析、密码学等中的应　用实例；在讲矩阵的特征值时，介绍其在量子力学　相关方程中的应用；在讲二次型时，介绍其在相对　第１２期　谭　冰，等：关于《线性代数》课程教学改革的探讨　论中的应用．针对土木建筑专业的学生，在矩阵特　征值和特征向量的讲解过程中引入梁的弯曲、航天　器的定位问题等，突出线性代数知识在工程中的重　要作用．总之，通过相关应用问题在教学过程中的　适当融入，不但可以突出线性代数知识的“工具”　作用，丰富教学内容，还能使学生更好地掌握基本　理论和方法，深刻认识到课程的应用价值，进而产　生兴趣，变被动学习为主动学习．　２．２．２将抽象理论与几何直观相结合　中小学数学内容和教学的典型特征是具体和　直观，而线性代数的教学过程偏重于抽象理论的讲　解，与中小学的教学、思维方式严重脱节，使得学生　的思维出现“断崖”，学习过程中难以建立抽象概　念、结论与已有知识之间的联系，对于习题更是无　从下手，加之各专业学生的数学基础参差不齐，教　学效果很不理想．因此，在讲述课程的抽象理论时，　应适当引入一些形象的比喻或类比，将几何直观融　入线性代数的课堂教学中，建立起直观与抽象之间　的“桥梁”．例如，对于行列式的定义部分，利用二　阶行列式的２个列向量在平面上构成的平行四边　形的有向面积讲解该行列式的值，利用三阶行列式　的３个列向量在空间中生成的平行六面体的有向　体积表示该行列式的值，引导学生寻找二阶、三阶　行列式值的表达式特征，在此基础上引入ｎ阶行列　式的定义．另外，可以借助二维或三维空间中向量　是否共线或共面来解释向量组的线性相关性；利用　线性变换在特定方向将某些向量伸缩一定倍数来　讲解矩阵的特征值、特征向量等．这些从低维到高　维、从直观到抽象的方式不仅可以在教学过程中有　效融人直观性，制造生动、有趣的课堂教学氛围，而　且能加深学生对抽象理论的理解，培养其抽象思维　能力和逻辑推理能力．　２．２．３　将传统教学与计算机辅助教学相结合　由于转型发展和教学改革的需要，学校各专业　线性代数的学时越来越少（４０个学时左右），而课　程中大量的重要定义、结论需要详细解释、推导，如　果不注意教学方法，很容易使学生觉得枯燥乏味，　严重影响教学质量．多媒体作为一种辅助教学手段　不仅可以使抽象的内容直观化、简明化，而且可以　起到联系新旧相关知识的作用，有效解决课程内容　多、理论难和课时少的矛盾．然而，教师在教学过程　中必须处理好传统教学和多媒体教学之间的关系，　采用“传统板书教学为主，多媒体教学为辅”的教　学模式，既保留传统教学法的特点，又利用多媒体　课件对概念、结论和相关实际问题进行直观演示，　配合对运算法则、计算方法和应用的讲解，增加课　堂教学内容的容量，最终达到节时、直观、有效的教　学目的．另外，由于电子化、信息化的发展，学生接　受新事物的能力不断增强，能够经常从网上搜集丰　富的学习资源．因此，可以利用网络资源（例如：慕　课、微课）和相关数学软件（ＭＡＴＬＡＢ、ＭＡＴＨ—　ＥＭＡＴＩＣＡ和Ｒ软件等）进行辅助教学，为学生提　供丰富的学习资料，使他们充分了解课程的知识背　景及其在所学领域中的最新应用，进而激发他们的　求知欲．　２．２．４将代数理论与数学建模相结合　线性代数课程的教学偏重于数学理论的讲解，　与实际应用脱节严重，学生在学习过程中常常抱怨　“学了不会用，学了也没用”，教学效果一直不太理　想．由于数学建模可以通过分析、建模和求解有效　解决各种工程技术问题（例如：资源开发、电路设　计、信号处理等），教师应该将数学建模思想和方　法融入教学过程中，给出一些与学生专业相关的实　际问题，引导他们对问题进行观察、分析和讨论，并　利用线性代数的相关知识解决问题，加深他们对相　关内容的理解．例如，将数学建模思想融入矩阵概　念和基本运算讲授过程，利用简单的投入产出问　题，引导学生用矩形表将问题中数据按规律表示出　来（即矩阵），并设置相应的问题，启发他们在矩形　表上进行加法、数乘、乘法等基本运算．另外，还可　以在课外作业中补充一些与线性代数相关的数学　建模问题，让学生思考和讨论，培养其设计、分析和　解决问题的能力．　２．２．５将代数计算与软件计算相结合　随着国民经济和工程技术的发展，大型的科　学、工程计算日趋重要，从实际问题中提取的行列　式、矩阵都是千阶、万阶的，用笔算的方法解决显然　是不现实的，需要利用计算机才能有效实现．目前，　学校的线性代数课程在教学过程中还没有给学生　提供任何利用计算机进行编程、计算的机会．因此，　必须将计算机编程和计算方法等引入课程教学中，　对ＭＡＴＬＡＢ、ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ和Ｒ软件等数据计　算软件进行介绍，并在教学中增设实验课，设计一　些基于软件计算的习题，指导学生合理、有效地利　用这些软件解决相关问题，提高学生的动手能力和　科学计算能力．另外，作为适用于工程计算的高级　语言，ＭＡＴＬＡＢ和ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ软件在绘图方　面的功能也是非常强大的．在教学过程中，还应适　当利用这些软件的绘图功能把抽象内容转化成直　观、有趣的图像．例如，在讲授利用正交变换化二次　型为标准型时，可以针对实例利用ＭＡＴＬＡＢ或　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ的绘图语句实现转换过程，使学　・６６・　南阳师范学院学报　第１５卷　生从视觉上感受到正交变换的实质，增强内容的直　观性和趣味性，推动课程的实践教学，培养学生的　科学计算能力．　效果．　参　考　文　献　［１］　陶霞，张映辉．《线性代数》课程新型教学模式探讨　［Ｊ］．湖南理工学院学报（自然科学版），２０１５，２８　（２）：８８—９０．　－　３　结语　结合教学实践，对线性代数的教学方法和手段　进行了探讨．建议根据授课专业的特征对教学内容　进行融合和优化，寻找可行、有效的教学方法，例　如：运用理论与应用、抽象与直观、传统教学与多媒　体辅助教学、代数理论与数学建模、代数计算与软　［２］　王建鹏，马会礼．工科线性代数课程教学改革研究　［Ｊ］．高师理科学刊，２０１５，３５（１）：７１—７３．　［３］　吴海燕．线性代数课程中采取案例式教学研究［Ｊ］．　高师理科学刊，２０１４，３４（３）：２７．　［４］　王天泽．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１３．　件计算等相结合的方法，以激发学生的学习热情，　培养学生的应用能力和创新能力，实现良好的教学　Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ａｌｇｅｂｒａ　ＴＡＮ　Ｂｉｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｙａｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ　４７３０６　１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ａｎｄ　ｃｕｒｒｅｎｔ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ａｌｇｅｂｒａ，ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ｓｏｍｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅ—　ｆｏｒｍｓ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｅｎｔｓ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｐｒａｃｔｉｃｅ，　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ　ｔｅａｃｈｉｎｇｓ，ａｌｇｅｂｒａ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ａｎｄ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ａｎｄ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｐｕｒｐｏｓｅ　ｉｓ　ａｒｏｕｓｅ　ｔｈｅ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｅｎｔｈｕｓｉａｓｍ　ｏｆ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ，ａｎｄ　ｃｕｌｔｕｒｅ　ｔｈｅｉｒ　ａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｒｅａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｌｉｎｅａｒ　Ａｌｇｅｂｒａ；ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｏｄｅ；ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ；ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｒｅｆｏｒｍ