证明垂直

1．线面垂直：若一条直线垂直于平面内所有直线（垂直于平面中的两条相交直线即可），则直线与平面垂直．

判定定理：若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，直线与平面垂直． 2．线面垂直的证明方法：（1）判定定理；

（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面； （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面； （4）两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面; （5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直;

证明垂直经常用到的知识。 1，勾股定理。

2，等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高线重合。 3，菱形的对角线互相垂直。矩形的临边。 4，圆的直径所对的圆周角为直角。 5，圆的切线垂直于圆心和切点的连线。 6，直棱柱的侧棱与底面垂直。 7，旋转体的旋转轴与底面垂直。

8，一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条。 9，如果一条直线与平面垂直，那么该直线垂直于该平面内的任何一条直线。 10，正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB的中点，则DE和FC垂直。证明之。

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCDA1BC11D1中，

AO平面MBD． 1

2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

3.如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

4.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C A B

5.如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，

A'GA使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

CDEFB6. 如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC; ②SC平面ANM

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A 1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 12设正方体棱长为a，则A1O

323a，MO2a2． 242 在Rt△AC1M11M中，A9222a．∵AO，∴AOOM． ∵MO2AM1114OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

2. 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

AD平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． 3. 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB． 又CFDFF，∴AB平面CDF． ∵CD平面CDF，∴CDAB． 又CDBE，BEABB， ∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，

∴ AH平面BCD． 4. 证明：连结AC BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

A1C平面BC1D同理可证A1CBC1

5. 分析：

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解：

∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC

BDA1C设A'E=a，则ED=2a 由余弦定理得：

A'D=A'E+ED-2•A'E•EDcos60° =3a

2

2

2

2

2

2

∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E

2

∴A'E⊥平面A'BC 6. 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。 证明:

①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A ∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM