免费：初中数学竞赛：13、分式总复习

【知识精读】

A定义：（A、B为整式，B中含有字母）BAAM通分：(M0)BBM性质约分：AAM(M0)BBM51分式定义：分母含有未知数的方程。如x1x3思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母分式方程解法依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用

【分类解析】 1. 分式有意义的应用

例1. 若abab10，试判断 分析：要判断

11是否有意义。 ，a1b111是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因，a1b1式分解，即可判断a1，b1与零的关系。 解：abab10 a(b1)(b1)0 即(b1)(a1)0 b10或a10 11，中至少有一个无意义。 a1b1

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

a2a1a23a1 例2. 计算：

a1a3 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。 解：原式a(a1)1a(a3)1 a1a311a(a)a1a3

11a1a3(a3)(a1)(a1)(a3)2a2(a1)(a3)



1x25x5 例3. 解方程：12 x7x6x25x6 分析：因为x7x6(x1)(x6)，x5x6(x2)(x3)，所以最简公分母为：(x1)(x6)(x2)(x3)，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于

22x25x5x25x611故可得如下解法。 1x25x6x25x6x25x6x25x611 解： 122x5x6x5x6 原方程变为111 1x27x6x25x61122x7x6x5x622 x7x6x5x6

x0 经检验，x0是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知a6a9与|b1|互为相反数，求代数式

24aba2ab2b2b(22)2的值。 222aabababab2ab 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为

a26a9(a3)20，|b1|0，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。

解：由已知得a30，b10，解得a3，b1

4aba2ab2b2b 原式[]

(ab)(ab)ab(ba)ab(a2b)a(ab)2a2b2abb2b[]ab(ab)(ab)ab(a2b)a(ab)2ab(a2b)b ab(ab)(ab)(ab)(a2b)a1aabb1 12

把a3，b1代入得：原式

4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解：设这列火车的速度为x千米/时

45014503x 3x212.x 方程两边都乘以12x，得540042x450030x 解得x75

经检验，x75是原方程的根

根据题意，得

答：这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例6. 已知x2y3，试用含x的代数式表示y，并证明(3x2)(3y2)13。

3y2 解：由x2y3，得3xy2x2y3

3y23xy2y2x3 (3x2)y2x3

y2x33x2(3x2)

3(2y3)6y96y41323y23y23y2

(3x2)(3y2)136、中考原题：

M2xyy2xy 例1．已知2，则M＝__________。 222xyxyxy 分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出

M。

2xyy2xy 解：2 xyxy22xyy2x22xyy2x2y2x2 2xy2Mx2y22

Mx

(x1)3x21 例2．已知x3x20，那么代数式的值是_________。

x12 分析：先化简所求分式，发现把x3x看成整体代入即可求的结果。 解：原式(x1)(x1)x2x1x1x3x x3x20 原式x3x2

7、题型展示：

例1. 当x取何值时，式子

222222x23x2

2|x|2有意义？当x取什么数时，该式子值为零？

x23x2 解：由x3x2(x1)(x2)0 得x1或2

所以，当x1和x2时，原分式有意义 由分子|x|20得x2 当x2时，分母x3x20

当x2时，分母x3x20，原分式无意义。

22 所以当x2时，式子

|x|2的值为零

x23x21x2(mn)xmnx2m2 例2. 求2的值，其中。 x2m3n222x(mn)xmnxn 分析：先化简，再求值。 解：原式(xm)(xn)(xm)(xm) (xm)(xn)(xn)(xn)(xm)2  2(xn)x2m3n

1211x2m，x3n，m，n46

(xm)2(2mm)2 原式 (xn)2(3nn)21()2m94  21164n4()262

【实战模拟】

1. 当x取何值时，分式

2x1有意义？ 11x 2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是t0，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）

4y24x2y2 3. 计算：x2y 2x2y4yx 4. 解方程：

x2x4x6x8 x1x3x5x7 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？

6. 已知4x3y6z0，x2y7z0，xyz0，求

xyz的值。

xy2z

【试题答案】

x0 1. 解：由题意得 110x 解得x0且x1

当x0且x1时，原式有意义 2. 解：设温度降为t，由已知得：

Qmc(t0t)

t0tQmctt0Qmc

答：温度降为(t0Q)。 mc 3. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。

(x2y)(x2y)4y24x2y 解：原式 x2y(2yx)(2yx)x24x2yx2y(x2y)(x2y)x32x2y4x2y(x2y)(x2y)x(x2y)(x2y)(x2y)2

x2x2y1111 111x1x3x5x71111  x1x3x5x7 4. 解：原方程化为1 方程两边通分，得

22 (x1)(x3)(x5)(x7) (x5)(x7)(x1)(x3)

化简得8x32 解得x4

经检验：x4是原方程的根。

说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。

5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为11，乙的工作效率为，工作总量x为1

解：设规定日期为x天 根据题意，得2(1x1x3)x2x31 解得x6

经检验x6是原方程的根 答：规定日期是6天。 6. 解：4x3y6z0(1)，x2y7z0 由(1)(2)解得x3zy2z

xyz3z2zxy2zz3z2z2z43

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x3(2)