《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：S平行四边形底高
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S菱形＝底高＝对角线对角线
24．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S矩形＝长宽
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S正方形=边长×边长＝
1×对角线×对角线 24．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF； （2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC． 【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=11BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF； 22（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B． 【答案与解析】 证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF=BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE=111BC，∴EF=DF-DE=BC-CB=CB， 222∴DE=EF； （2）∵DB∥CF， ∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D为边AB的中点， ∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA， ∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°， ∵∠DCB+∠DCA=90°， ∴∠1=∠DCB=∠B， ∵∠A+∠ADG=∠1， ∴∠A+∠G=∠B．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
类型二、菱形
2、（2019•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
【思路点拨】 连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 【答案与解析】 证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE．
【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相
垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱
形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．
【答案】四边形ABCD是菱形；
证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,
过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F． ∴∠CFB＝∠AEB＝90°．
∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴AB＝BC,
∴四边形ABCD是菱形.
类型三、矩形
3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 【答案与解析】 证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC＝∠NCA， 在△AMD和△CMN中，
DACNCA∵MAMC， AMDCMN∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD＝CN， 又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD＝AN；
②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC，
由①知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD＝MN＝MA＝MC， ∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形．
【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．
4、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.
【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．
【答案与解析】 解：设EF＝x，
由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6， 又∵ 在Rt△ADC中，AC628210． ∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－x． 在Rt△AEF中，AE2AF2EF2， 即(8x)242x2，
解得：x＝3 ∴ EF＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若
AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________cm2．
【答案】5.1.
提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，DC2FC2DF2，
解得x＝
811，BF＝DE＝3.4，则S△DEF=DEAB＝×3.4×3＝5.1. 522类型四、正方形
5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明
理由.
【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE＝EF
证明：∵△BHE为等腰直角三角形, ∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.
又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形， ∴∠FCE＝
1∠DCE＝45°， 2 ∴∠H＝∠FCE.
由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB, 而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB， ∴∠HAE＝∠FEC.
由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC， ∴HA＝CE,
∴△AHE≌△ECF （ASA）, ∴AE＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.
举一反三： 【变式】（2018•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 ．
【答案】 65°。
类型五、综合应用
6、如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．
(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． (2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． (3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【思路点拨】本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形． 【答案与解析】四边形EFGH为平行四边形； 解：(1)AC＝BD，
理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，
此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝
11BD，HG＝AC，得EH＝GH， 22故四边形EFGH为菱形．
(2)AC⊥BD，
理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直， 此时四边形EFGH为平行四边形．
易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形． (3)AC＝BD且AC⊥BD，
理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．
【总结升华】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 举一反三：
【变式】已知，在四边形ABCD中，ABC90，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________. 【答案】AB=BC或 BC=CD或 CD=DA或DA=AB（答案不唯一）
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）巩固练习
【巩固练习】
一.选择题 1. 如图，□ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长等于（ ）. A.2cm B.1cm C.1.5cm D.3cm
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.
A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
3.如图所示，将一张矩形纸ABCD沿着GF折叠(F在BC边上，不与B，C重合)，使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足( )．
A．90°＜α＜180° B．α＝90°
C．0°＜α＜90° D．α随着折痕位置的变化而变化
4.（2018•武进区一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（ ）
A．
32 B．232 C． D．2
575.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A. 对角线相等； B. 对角线互相垂直；
C. 每条对角线平分一组对角； D. 对角线互相平分.
6.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（ ）.
A．4cm B.6cm C.8cm D.10cm
7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（ ）.
A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（ ）.
A．16a B．12a C．8a D．4a
二.填空题
9．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．
10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．
12.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是 cm.
13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.
14．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm． 15. （2019•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为 ．
16.（2018春•昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为 ．
三.解答题
17. （2019•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
18.（2018春•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E． （1）证明：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∠AB且OD=AB．
19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．
20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．
（1）求证：BE ＝ DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形
AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案与解析】
一.选择题 1．【答案】B； 2．【答案】C；
【解析】它们都是特殊的平行四边形，所以共有的性质就是平行四边形具有的性质. 3.【答案】B；
【解析】由△GCF≌△GEF得∠GFC＝∠EFG，又有∠EFH＝∠BFH，
所以∠GFH＝
4.【答案】D； 5.【答案】A； 6.【答案】A； 【解析】由折叠知
，四边形
为正方形，
1×180°＝90°，所以α＝90°． 2CD=CE=BC-BE=10-6=4（cm）.
7.【答案】C； 8.【答案】C；
【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a. 二.填空题 9．【答案】45； 10．【答案】24； 11．【答案】(22,2).；
【解析】过D作DH⊥OC于H，则CH＝DH＝2，所以D的坐标为(22,2). 12.【答案】48； 13.【答案】16；
【解析】证△ABE≌△ADF，四边形AECF的面积为正方形ABCD的面积. 14．【答案】13；
【解析】设BD＝x，
14x12,x6，所以边长＝223213. 215.【答案】24．
【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA， ∴△AOD为直角三角形．
∵OE=3，且点E为线段AD的中点， ∴AD=2OE=6．
C菱形ABCD=4AD=4×6=24． 故答案为：24． 16.【答案】6.
【解析】∠纸条的对边平行，即AB∠CD，AD∠BC，
∠四边形ABCD是平行四边形， ∠两张纸条的宽度都是3，
∠S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∠AB=BC，
∠平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE∠BC，垂足为E， ∠∠ABC=60°，
∠∠BAE=90°﹣60°=30°， ∠AB=2BE，
在∠ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2
，
×3=6
．
∠S四边形ABCD=BC•AE=2故答案是：6．
三.解答题 17.【解析】
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形， ∴四边形AODE是矩形． 18.【解析】 证明：（1）∠AB=AC，AD是∠ABC的角平分线， ∠AD∠BC，且BD=CD， ∠AE∠BC，CE∠AD，
∠四边形ADCE是平行四边形， ∠四边形ADCE是矩形；
（2）∠四边形ADCE是矩形， ∠OA=OC，
∠OD是∠ABC的中位线， ∴OD∴AB且OD=
12AB. 19.【解析】
证明：∵DF⊥AE于F，
∴∠DFE=90°
在矩形ABCD中，∠C=90°， ∴∠DFE=∠C，
在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE=∠DEC， ∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED， ∴∠AED=∠DEC， 又∵DE是公共边， ∴△DFE≌△DCE， ∴DF=DC．
20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°． ∵AE ＝ AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF． ∴BE＝DF．
（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，
∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF． ∴OE＝OF．
∵OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
A
D F
O
B
E
C
M
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