“命题的否定”与“否命题”辨析

命题的“否定”与“否命题”的辨析

（邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组 黄树华

数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。

一、命题的“否命题”

关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。

二、命题的“否定”

“非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，

第 1 页 共 6 页

就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。以下分别举例说明：

（一）简单命题的否定。简单命题是不含逻辑联结词的命题。常见的有：

1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。如命题“e是无理数。”的否定为“e不是无理数。”

例1．写出下列命题的否定：

(1)若x2+y2=0， 则x、y全为0；(2)三角形两边之和一定大于第三边；

(3)正方形的四条边都相等；(4) 实数的绝对值一定都是非负数。

解：(1)的否定：若x2+y2=0，则x、y不全为0；

(2)的否定：三角形两边之和一定不大于第三边；

(3)正方形的四条边不都相等（而不是正方形的四条边不相等）；

(4)实数的绝对值一定不都是非负数。

一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有。对“全”、“都”的否定，只需在前面加一个“不”。而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定区别。在对“一定”、“一定都”等否定时，可分两步，

第 2 页 共 6 页

先将“一定”两字拿下，对剩下的命题进行否定，再将“一定”两字放在“不”的前面。如对命题(2)的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得命题(2)的否定；对命题(4)的否定可先得否定命题“实数的绝对值不都是非负数”，再放上“一定”得命题(4)的否定。

2．全称命题和存在命题（也叫特称命题）的否定。含有“一切”、“任意”、“所有”、“全部”、“都”、“任何”、“每一”等全称量词的命题称为全称命题，命题形式为：x∈A，p(x)成立。全称命题的否定为：x∈A，p(x)不成立；含有“存在”、“某个”、“一些”、“有的”、“至少有一个”等特称量词的命题称为存在命题（也叫特称命题），命题形式为：x∈A，p(x)成立。特称命题的否定为：x∈A，p(x)不成立。

例2．写出下列命题的否定：

(1)所有分数的平方是正数；(2)有些质数是奇数；

(3)等圆的面积相等，周长相等；(4)x∈R，使得x2+x+1≤0。

解：(1)的否定：有些分数的平方不是正数；(2)的否定：所有的质数都不是奇数。

(3)的否定：存在一对等圆其面积不相等或周长不相等；

(4)的否定：x∈R，使得x2+x+1>0。

(二)复合命题的否定。由简单命题用逻辑联结词“且”、“非”、“或”等联结而成的命题称为复合命题。其否定形式如下：

(1)命题“非p”是对命题“p”的否定，命题“非p”与命题“p”的真假正好相反，故

第 3 页 共 6 页

“非p”的否定是p。如命题“3不是9的约数”的否定是“3是9的约数”；

(2)用联结词“且”联结构成“p且q”型的复合命题称为联言命题。其否定是：非p或非q。如命题“96是48与16的倍数。”的否定为“96不是48的倍数或不是16的倍数。”

(3)用联结词“或”联结构成“p或q”型的复合命题称为选言命题，其否定是：非p且非q。如命题“1是合数或质数”的否定为“1既不是合数也不是质数”；

(三)“若p则q”的命题。用联结词“若…则…”联结的“若p则q”型的命题称为p、q的假言命题。其否定是：若p则非q。如命题“若一个数是质数，则这个数是奇数。”的否定是“若一个数是质数，则这个数不一定是奇数。”

三、否命题与命题的否定的区别

“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念。区别在于：一、两者研究对象的范围不同，任何命题，无论是真命题还是假命题均有否定；而否命题仅针对命题“若p则q”提出来的，并非所有命题都有否命题；二、命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是“一真一假”或“一假一真”；而否命题与原命题可能是“同真同假”，也可能是“真假相反”；三、命题的否定是对命题的结论加以否定，即命题的“非P”形式，而否命题是对一个命题的条件和结论都加以否定。即原命题是“若p则q”，那么这个命题的否定是“若p则非q”，而这个命题的否命题是“若非p则非q”。以下举例说明：

例3.写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性：

(1)若x、y都是奇数，则x+y是偶数；(2)若xy=0，则x=0或y=0；

第 4 页 共 6 页

(3)对顶角相等；(4)若a、b是奇数，则ab必是奇数。

解：(1)的否定：若x、y都是奇数，则x+y不是偶数；(假命题)；

(1)的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数；(假命题)；

(2)的否定：若xy=0，则x≠0且y≠0；(假命题)

(2)的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0；(真命题)

(3)的否定：对顶角不都相等（或“存在一对对顶角不相等”或“有些对顶角不相等”）；(假命题)；(3)的否命题：不是对顶角不相等；(假命题)；

(4)的否定：若a、b是奇数，则ab必不是奇数；(假命题)；

(4)的否命题：若a、b不都是奇数，则ab必不是奇数；(真命题)；

例4.写出下列命题的否定和否命题：

（1）无理数的平方是正数；（2）方程都是不等式；

（3）相似三角形是全等三角形。

解：（1）原命题的否定：无理数的平方不都是正数。原命题的否命题为：若一个数不是无理数，则它的平方不是正数；

第 5 页 共 6 页

（2）原命题的否定：存在方程不是不等式。原命题的否命题：不是方程的式子不都是不等式；

（3）原命题的否定：相似三角形不都是全等三角形。原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形。

评析：“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个都没有”；“所有的”的否定是“某些”；“任意的”的否定是“某个”；“至多有一个”的否定是“至少有两个”；“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”；“任意两个”的否定是“某两个”。像这类否定我们不妨探究一下。

在教学中，务必理清各类型命题形式结构，性质关系。才能真正完整准确地表达出命题的否定和否命题，才能避免犯逻辑性错误，更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

以上是本人教学经验的肤浅认识，不足之处尚请同仁批评指正。

第 6 页 共 6 页