人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程——21.2.1 配方法》(第1课时)教案

21.2解一元二次方程 21.2.1 配方法(第1课时)

一、教学目标

1．探索利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤． 2．能够利用配方法解一元二次方程．

二、教学重点及难点

重点：用配方法解一元二次方程．

难点：正确理解把x2ax形式的代数式配成完全平方式．

三、教学用具

多媒体课件。

四、相关资源

《油漆刷盒子》动画，《解方程x2＋6x＋4=0的过程》动画。

五、教学过程

【创设情景，提出问题】

问题1 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

师生活动：学生独立分析题意，发现若设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程106x21500．教师引导学生找出等量关系．

设计意图：创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲．

【合作探究，形成知识】

问题2 你会解上面的一元二次方程吗？是用什么方法？

师生活动：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．

106x21500.

整理，得x225.

根据平方根的意义，得x±5，即x15，x25. 归纳总结：一般地，对于方程x2p， （Ⅰ）

（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根x1p，x2p； （2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1x20；

（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.

设计意图：用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(xm)2n(n≥0)，运用直接开平方法可以解．这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础．

问题3 对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？ （1）(x+3)25；

师生活动：独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到x+35，于是得到2x135，x23+5．

鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的“降次”思想——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．

归纳总结：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成x2p或(mxn)2p(p≥0)的形式，那么可得xp或mxnp．

设计意图：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将xpxq0的形式转化为(xm)2n(n≥0)的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心．

【例题分析，综合应用】 例 解方程 x2-8x+1=0． 解：移项，得x2-8x= -1．

配方，得x28x42142，即(x-4)2=15. 由此可得x415． ∴x1415，x24+15. 教师引导：学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中移项后可以化为x28x1，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到x28x42142，即(x-4)2=15．

归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(xn)2p（Ⅱ）的形式，那么就有：

（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根x1n2p，x2np；

（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1x2n；

（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有(xn)≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握用配方法解一元二次方程． 【练习巩固，能力提高】

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．(x-2)2+3 B．(x-2)2-3 C．(x+2)2+3 D．(x+2)2-3 2．方程x2+4x-5=0的解是________．

3．已知(x+y)(x+y+2)-8=0，求x+y的值．若设x+y=z，则原方程可变为__________，•所以求出z的值即为x＋y的值，所以x+y的值为__________．

4．填空：

（1）x210x___x＿； （2）x212x___x＿；

222（3）x25x___x＿； （4）x25．用配方法解下列方程：

（1）x210x90； （2）x24x92x11. 参考答案：

1．B 2．x1=1，x2= -5 3．z2+2z-8=0，2或-4

222x___x＿. 351514．解：（1）5；5；（2）6；6；（3）；；（4）；.

232322225．解：（1）移项，得x2+10x= -9． 配方，得x2+10x+52=-9+52，即(x+5)2=16． 由此可得x+5=±4． ∴x1=-9,x2=-1． （2）整理，得x2+2x= -2.

配方，得x2+2x+12=-2+12，即(x+1)2=-1． ∵实数的平方不会是负数， ∴原方程无实数根.

设计意图：复习巩固，使学生熟练地掌握解一元二次方程的方法——配方法．

六、课堂小结

1．配方法的定义

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

2．用配方法解一元二次方程的一般步骤

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(xn)2p（Ⅱ）的形式，那么就有： （1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根x1np，x2np；

（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1x2n；

（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有(xn)≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生清楚重点、难点．

2七、板书设计

21.2 配方法解一元二次方程

1．配方法的定义

2．用配方法解一元二次方程的一般步骤