2014年GCT数学真题及参考答案

1、 将一张正方形纸片沿对角线折叠，在得到的三角形的三个角各挖去一个圆洞，展开正方

形纸片后得到的图形是（ ）

2、甲和乙两人在300米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，2分30秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇，甲的速度是（ ）米/秒。

A、6 B、5.5 C、5 D、4.5 2、【答案】A

【解析】本题考查了简单运动问题中的相遇和追赶问题。【此类题反复考查】

设甲的速度是v1,乙的速度是v2,根据题意得150v1150v2=30030v1+30v2=300vv=2得12v1+v2=10v=6解得1v2=4则甲的速度是6米/秒

3、设a1,a2,a3,a4,a5,a6是由自然数1,2,3,4,5,6,组成的没有重复数字的任意序列，则a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+a5-a6+a6-a1的最大值是（ ） A、20 B、18

C、16 D、14

3.【答案】B

【解析】本题主要考查了绝对值的概念。

因为题目中的表达式是关于a1,a2,a3,a4,a5,a6对称的，所以不妨设a1排在第一个位置，即a1=1.这时a2点的位置应使得a1a2最大，所以a2=6；a3点的位置应使得a2a3最大，所以a3=2；相似的，可以得到a4=5,a5=3,a6=4所以，上式=18

12-22+32-42+52-62+....+20112201222013220144、（ ）

123+4+5+6...2011+2012+2013+2014A、2 B、1 C、-1 D、-2 4.【此类题每年必考】

2【答案】C【解析】12-22+32-42+52-62+....+2011220122201322014

123+4+5+6...2011+2012+2013+2014（12）（1+2）（+34）（3+4）+....+（20132014）（2013+2014）=1+2014201423+4027100720152=12015100720155.两个正数a与b使得a，b,a+b成等比数列，则其公比是（ ）5+33-5 B、 225+15-1C、 D、 22A、

2

6、已知数列an对于任意正整数p和q，都有apaqapq.1若a1=，则a2014=（ ）19A、19 B、38

C、53 D、106

6、【答案】D 【解析】本题考查了数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式。因为数列an对于任意正整数p和q，都有apaqapq.所以，a1an-1an,则anan-1a1,那么an是首项与公差均为1的等差数列。所以19

1a2014=a12013d（1+2013）=10619

7、两张大小相同的矩形纸片，每张都画出7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重叠的顶点记作A，顶点C在另一张纸片的分隔线上，若BC=28，则AB的长是（ ）A、72 B、 62C、52 D、 42

7.【答案】A。本题考查平面几何求长度问题。考查勾股定理。 【解析】设AB的长是7x，C点在AB上的投影为D.在直角三角形BCD中，CD2=CB2-BD2=28-x2，在直角三角形ACD中，CD=AC-AD=(7x)-(6x)则28-x2=(7x)2-(6x)2解得x2=2，所以，AB=7x=72

22222

28、已知i为虚单位，则（i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i10）=（ ）A、-2i B、 2i C、-1+i D、1+i

8.【每年一题】【答案】因为i2=1，所以19、点（Ax1，y1），（Bx2，y2）是反比例函数y=在第一象限图像上的两点，如图所示。x75已知y1+y2=，x2-x1=，则AOB的面积等于（ ）231011A、2 B、 2 11121213C、2 D、2 1314【解析】本题主要考查了虚数单位的概念和复数的简单运算。

9、【答案】B。本题是涉及几何与代数运算的综合问题。【解析】AOB的面积等于矩形ODCE的面积与三个直角三角形的面积之差，这三个直角三角形分别是ODB,OEA,ACB,注意x1y1=1，x2y2=1，则得111SAOBx2y1x2y2x1y1(x2x1)(y1y2)222111x2y1(x2y1x1y22)2221(x2y1x1y2)275又因为y1+y2=，x2-x1=，所以23（y1+y2）（x2x1）=x2y1x1y2+x2y2x1y17535=x2y1x1y2==23613511所以SAOB=22612

10、已知0＜a＜，方程2x22x+cosa0的两个实根，x1，x2满足114+=，则a=（ ）x1x232A、 B、 6335C、 D、 46

10、【答案】 D【解析】主要考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了特殊三角函数值。2cosa因为x1+x2==1，x1x2=,所以2211x1+x212+===x1x2x1x2cosacosa21143根据题意+=，所以cosa，x1x223

5因为0＜a＜，所以a=6

11、一个长方体的对角线长为50厘米，全表面积为94平方厘米，如果这个长方体的长、宽、高都是整数，则该长方体的体积是（ ）立方厘米。A、64 B、 60C、54 D、 48

12.如图所示，两同心圆的半径分别为6厘米和8厘米，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于（ ）厘米

A、 38.6 B、39.2 C、39.8 D、40.4

12.本题主要考查了三角函数的概念和常用的三角关系式，考查了平面几何图形和长方形的面积、周长的求法，是一道计算量大的综合题。 答案B。

如图，OGAD，设OAG=,ODG=,则OG=6sin8sin,AG6cos,DG=8cos矩形ABCD的面积为S26sin(6cos8cos)12(6sincos8sincos)12(8sincos8sincos)96sin()所以，当=时，S最大。2因为6sin8sin，且sin=cos,所以4tan,343从而sin，cos=，所以矩形ABCD的周长为55L2[12sin(6cos8cos)]4341962(1268)39.25555

解法2：利用长方形的面积、周长和勾股定理及导数的知识来解答。设AB=2x,则AD=AG+GD=36x2+64x2所以矩形ABCD的面积为S2x(36x2+64x2),x(0,6)求导得到：S'4(令S'0，解得22424x2=2.所以x=是唯一驻点，也是最值点，这时55183222AD=36x64x=+=105596矩形ABCD的周长为4x2AD=+20=39.2518x236x232x264x2)

13.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k0，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)=x(x-2)，则f(1)f(52)=（ ）A、344 B、 3C、-344 D、 3

13.【答案】A质和运算。因为f(x)=kf(x+2)，且f(x)=x(x2)(x(0,2])所以，f(1)=kf(1+2)=kf(1)=k1(12)=k，f(52)=111113kf(2)k2(22)4k所以f(1)f(5332)=k(4k)4

14.若函数f(x)在（-1,1）内有定义，且满足limf(x)1x0x1,则有（A、f'(0)1 B、 limf'(x)1x0C、f(0)1 D、 limf(x)1x0

15、设正方形ABCD的中心为点O，在以点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）

A、47 B、12 C、37 D、314

【解】本题主要考查了函数的简单性 ）15.本题考查了简单几何图形的关系，考查了等可能事件概率的计算公式和简单的计数问题。

3从A、B、C、D、O五个点中任意取3个，能构成三角形的个数为：? C5-2=8?面积相等的三角形共有两组，每组有4个，所以任取2个三角形，它们面积相等的概率为22C4+C4123 ==?C82287

x2y216.椭圆1如图所示，以点B1为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A1A2于259点C1和C2，P为椭圆上的一点，若PC1C2的面积为9，则PC1C2的内切圆的面积为（ ）3A、2 ? B、2C、 D、 2本题主要考查了椭圆的基本关系，余弦定理和平面图形的面积公式。

16.【答案】【解析】根据题意，得

x2y2椭圆1如图所示，以点B1为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A1A2于259点C1和C2，P为椭圆上的一点，若PC1C2的面积为9，则PC1C2的内切圆的面积为（ ）3A、2 ? B、2C、 D、 2

17、点（1,3）到曲线y=2xx2上各点的最短距离为（ ）。A.1 B.2C.3 D.2

17、【答案】D.本题考查了平面几何中圆外一点到圆周上点的距离最大、最小值问题，考查了两点间的距离公式和圆的方程。【解析】曲线y=2xx2是圆心在点A(1,0),半径为1的上半圆周，连接点P(1,3)与点A(1,0)的直线与圆周相交于点B(1,1)，线段PB的长度PB=2就是点P(1,3)到曲线y=2xx2的最小距离。

18、若g(x)=ex1x22x1,则（ ）A、limg(x)不存在B、limg(x)存在，但在x=1处g(x)不连续

x1C、在x=1处g(x)连续，但不可导D、在x=1处g(x)导数存在19、设函数f(x)=x21,g(x)kx,若方程f(x)g(x)=0有2个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）。11A（.0，） B.（，1）22C.（，12） D.（2，+）

19.【答案】B。本题主要考查了简单函数的图形，考查了方程存在实根的几何意义，是典型的数形结合问题。【解析】y=f(x)的图像由点（A2,1）为起点的两条射线，方程分别为y=3-x及y=x1组成,yg(x)是过原点且斜率为k的直线。101,与直线y=x1平行的直线OB的斜率等于1.2021当直线yg(x)=kx的斜率满足＜k＜1时，y=kx与yf(x)x21有两个交点，2即方程f(x)g(x)=0有2个不相等的实根。直线OA的斜率k

20、定积分e01xdx等于（ ）。

12A.1- B.1-ee4C.2- D.2e20、答案B.本题考查了定积分的换元积分法和分部积分法。在e01xdx中，令x=t,则xt2,dx2tdt且当x0时t=0；当x1时t=1；所以1x0edx=2te01

12A.1- B.1-ee4C.2- D.2e21.若F(x)xtsintdt,则F'(0)（ ）。0xA.4 B.2C.2 D.4导数公式和牛顿-莱布尼茨公式。

21.A.本题考查了定积分的性质，考查了变限积分函数的因为F(x)xtsintdt(xt)sintdt(tx)sintdt-xxxsintdttsintdttsintdtxsintdtxxxx

F'(x)sintdtxsinxxsinxxsinxsintdtxsinxxxsintdtsintdtxxF'(0)sintdtsintdtcosx000cosx40

x122.若g(x)10A.2 B.1C.1 D.21x01,则g(x)的极大值点x=（ ）。1x12a0T23.设=1是矩阵A=001的特征值，（22b）是属于该特征值的特征向量，100则其中a与b分别等于（ ）A.1与2 B.1与-2C.3与2 D.3与-223.答案为C。本题考查了特征值和特征 的概念，考查了向量相等的概念和矩阵的乘法运算。2a0-2-20012=-2，根据题意，100bb42a2b2,所以42a=2，b=22b因此，a=3，b=2.

12024.若3阶矩阵A,B满足ABAB,且A=112，则B的第1行是（ ）001A.(111) B.(111) C.(111) D.(111)

24.答案：D。本题考查了矩阵方程的解法，考查了矩阵的减法、乘法、和求逆矩阵的运算。

-1由ABAB,得（AE）B=A，所以B=（AE）A.0020-11因为AE=102，所（AE）=20020-1100，1020-111201-111=***. -1从而B=（A-E）A=00-11-2200-1***100-2所以B的第一行是(111)答案选D.25.若向量组a1(102a)T,a2(21a4)T,a3(0a56)T线性相关,则其中a=（ ）A.1 B.3C.3 D.5