高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上） 课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。 六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 （一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。 （二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。

（三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得限制条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板 十、【教学过程与设计】(课堂实录) 教学内容 教师活动 师：同学们！上节课我们研究了圆的标准方学生活动 学生活动：回答问题，并填写复习学案： 圆的程，请同学们回忆 一下圆的标准方程，并填题1：圆的标准方程的形式是怎样的？方程写学案， 中圆心的坐标和半径各是什么？ 步明结构 为新 作铺 圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程教师：提出问题，并对学生的回答加以肯定。 么表示？ 学生 疑问 动笔 教师活动：让学生先独立思考，自主探究， 222发现题2：若把标准方程(x-a)+(y-b)=r展引导学生得出方程形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，学生活动：动笔展开方程后，会得出怎样的形式？ 题，提出课题 222(x-a)+(y-b)=r. 题。 师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程． 教师板书：圆的一般方程 、复习引入： 、新课讲解 使学确本的学容。题：圆的一般方程 题3：是不是每个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0教师活动：提出问题. 引导学生思考圆的方方程表示的曲线都是圆呢？ 程的要求，想到利用配方法将展开式化成圆 的标准方程的形式，并引导学生总结在什么情况下，它的轨迹是圆、点或无轨迹。 组织学生分析讨论，给学生充足的时间讨论，并作适当的引导。 【师生互动】：教师巡视指导，参与学生的学生活动：先独立思考，自主让学探究后，再与前后同学合作交历知流。 成的体会生生互动：在教师引导下，合结合作交流，共同探讨方程加深22x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形。 识的共同探讨后，达成共识：先将方程配方，再与圆的标准方程 讨论。 比较。 探讨形成：将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左教师预设：先将方程配方，再与圆的标准方学生活动：在教师的引导下通让学配方 程比较。教师板书： 过观察、分析后发现： 极主D2E2D2E24F(x)(y) 224① 参与当D+E-4F＞0时 22论中为学1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示 一个DE(,)方程①表示一个以圆； 师：请同学们观察方程①，可以看出什么？ 22主人让学历知教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，122DE4F为成的为圆心，再分类讨论。 2体会22当D+E-4F＞0时，方程①表示什么？ 的来半径的圆； 脉， 知识学生回答：当D2+E2-4F = 0解。 教师继续引导：当D2+E2-4F = 0时，又表示时，方程①表示一个点 22什么？ 教师预设：当学生回答不明确时，教师作适当的提示：当D2+E2-4F = 0时，方程① DE,y 22）当D+E-4F = 0时，方程①表示一个 ； (只有实数解x 教师设问：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有没有实数解？． 学生回答：没有，因而它不表示任何图形 DE,) 22 使学会归学生活动：归纳总结：方程22x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形结 22教师活动：教师在学生基础上梳理思路，板当D+E-4F＜0时，方程①不表示任何分别是圆、点或不表示任何图 22书：方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形分别形。 形。 是圆、点或不表示任何图形。 师：根据以上结论，请同学们给出圆的一般 方程的定义。 【教师活动】板书： 学生口答： 22归纳总结： 使学程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别是、点或不表示任何图形． 确圆当D+E-4F＞0时，方程22x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一圆的一般方程的定义 般方程．圆心坐标为： 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E)，半径为：22称为圆的一般方程。 122DE4F 23.提出概念：（圆的一般方程的定义） DE122(,)DE4F 圆心坐标为：，半径为： 222 教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方 般方 定义 求圆心和半径的方法。 教师活动：巡视学生完成情况，对学生的回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。 加强学生活动：独立完成，并回答会通问题。 方法 方程示的和求半径 巩固练习： 教师设问：圆的一般方程有什么特点？ 心坐下列方程各表示什么图形？ 22xy0 y2x4y60 y22axb20 2教师活动：引导学生比较二元二次方程的一 般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的一般学生活动：归纳结论： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。 教师强调：1.条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； 2.只要确定了D、E、F即可写出圆的一般方程。 教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评学生的回答。 教师预设： 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为： (1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0； 求下列各圆的圆心和半径 x2y26x0 2x2y22by0 y2ax23y3a0 22让学过归出圆般方形式体会标准和圆般方自的 题4：圆的一般方程有什么特点？ (x8)2(y3)2r2 ∵圆经过点A（5，-1） ∴(58)2(13)2r2 r213 进一固学 够利【学生活动】： 的标独立完成，认真作答，学生自程求愿到黑板上展示各自解法： 的方加强 标准 与一程的 ∴(x8)2(y3)213 通过圆的教师活动：引导学生尝试利用圆的方程的两 、例题精讲 种形式求解圆的方程，并引导学生小结例1、的两题型一：利用圆的标准方程求圆的方例2：一般说来，如果由已知条件容易求圆 式求心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径的方，并化为一般方程。 学生活动：在老师的引导下，列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果一步认真完成，并体会如何根据题已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，各自目条件,恰当选择圆方程形1 求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，-3)往往设圆的一般方程。 点，式。 待定圆的一般方程，并化为一般方程 法求教师预设： 的方 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意得， F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 型二:求利用圆的一般方程求圆的方： 2 求过三点O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，22 ∴圆的方程为：x+y-8x+6y=0， 的圆的方程。 教师活动：让学生先独立思考，自主完成，教师纠错，并给予适当的点评，出示正确答案. 学生活动：独立完成. 方法 让学一步如何题目恰当圆方式，待定法求的方方法、反馈练习：求过三点A(-1，5)、B(-2，、C(5，5)的圆的方程。 ）知识性小结： 问题5：通过这节课的学习你获得了些知识？ 教师活动：引导学生回顾本节课所学知识要学生活动：回顾本节课的知识通过的小点，点评学生小结，并加以归纳补充： 要点与方法，认真总结，并认深对真听取老师的补充。 识的1.本节课的主要知识点： 通过 的补（1）圆的一般方程及其形式特点； 华本 （2）圆的一般方程与圆的标准方程的转化； （3）用待定系数法求圆的方程。 2.本节课用的数学方法和数学思想: ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想: ① 数形结合的思想； ② 转化的思想； ③ 分类讨论的思想； ④ 方程的思想。 的课 简洁概括）方法性小结： 课的问题6：通过这节课的学习你掌握了些数学思想和方法？ 知识易于记忆 分层作业 巩固型作业：（必做题） 习题7.6 5，6 思维拓展型作业：（选作题） 十一、板书设计

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设分两个层次留作业，第一层次巩固新知置。 要求所有学生都要完成，第二深对层次要求学有余力的同学完识的能在成。 中发弥补中的一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开： 二、新课讲解 课题：圆的一般方程 22提出概念：圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例1、 例2 四、反馈练习 五、课堂小结 （1）知识性小结 （2）方法性小结 六、课后作业 x+y+Dx+Ey+F=0左边配方：D2E2D2E24F(x)(y) 224归纳总结：当D2+E2-4F＞0时， 当D+E-4F = 0时， 当D2+E2-4F＜0时，

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