五年级奥数专题-定义新运算

五年级奥数专题-定义新运算

定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a☆b=3a-3b,新运算使用的符号是☆,而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。

值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导

例1. 设 ab都表示数,规定a△b表示a的4倍减去b的3倍,即a△b=4×a-3×b,试计算5△6,6△5。

解5△6-5×4-6×3=20-18=2

6△5=6×4-5×3=24-15=9

说明 例1定义的△没有交换律,计算中不得将△前后的数交换。

例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7,5☆（6☆7）。

思路导航：

先做括号内的运算。

解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95

5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79

说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。

例3. 已知2△3=2×3×4,4△2=4×5,一般地,对自然数a、b,a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.

计算（6△3）-（5△2）。

思路导航：

原式=6×7--5×6

=336-30

规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x.

思路导航：

（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050

（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,

所以

10X+(1+2+3+…+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

二、巩固训练

1. 若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。

求（1△4）☆2的值。

分析 注意本题有两种运算,由（1△3）☆3=1△（3☆3）,可求出x.

解 因为（1△3）☆3=1△（3☆3）,所以（1×x）

即

（x+3）÷2=x

x+3=2x

x=3

因为（1△4）☆2

=（1×4）☆2

=（4+2）÷2

=3

2. 如果规定：③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,……,⑨=8×9×10,求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解题思路

依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积,而且,⑤里的数就是三个连续数中的中间的哪个数,即③是2,3,4三个连续的乘积,④是3,4,5三个连续睡的乘积,从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4

=720+504+-339+210-120+60-24

=1014

三、能力提升

答案