19-20版 第2章 2.3 平均值不等式(选学)

学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．

教材整理 平均值不等式

1．(平均值不等式)设a1，a2，…，an为n个正数，则等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.

(推论1)设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1. 当n＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．

(推论2)设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数，则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an. 当n＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．

2．任意给定n个正数，先求它们倒数的平均 111＋＋…＋a1a2an，然后再作这个平均值的倒数

na1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，n1/20

111，称其为a1，a2，…，an的调和平均． a1＋a2＋…＋ann

(定理2)设a1，a2，…，an为n个正数，则a1a2…an≥1号成立⇔a1＝a2＝…＝an.

3．(定理3)设a1，a2，…，an为正数，则≥1

11，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an. a1＋a2＋…＋an

111

a＋a＋…＋a(推论3)设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)·12n≥n2.

n

a1＋a2＋…＋ann

≥a1a2…an

n

11，等a1＋a2＋…＋annn

1．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] C．[lg 6，＋∞)

B．(－∞，3lg 2] D．[3lg 2，＋∞)

3

x＋y＋z

＝23. [解析] ∵x，y，z为正数，∴xyz≤

3

∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立． [答案] B

bcda

2．若a，b，c，d为正数，则＋＋＋的最小值为_____________.

abcd

2/20

4bcdabcda

[解析] 由平均值不等式可得，a＋b＋c＋d≥4

a·b·c·d＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．

[答案] 4

利用平均值不等式求最值 【例1】 求函数y＝(x2－17)79－x2的最大值． [精彩点拨] 根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值． [自主解答] 根据平均值不等式 x2－17x2－172

＋＋(79－x) 223x2－17279－x2≥3

4

3/20

3y2423＝3，即y≤62×

427.

x2－17175

当且仅当2＝79－x2，即x2＝3时等号成立． 这时ymax＝

124186

. 9

利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．

4/20

2

1．已知x，y，z∈3，＋∞且x＋y＋z＝3，求y＝3x－2＋3y－2＋3z－2

的最大值．

[解]

3x－2＋3y－2＋3z－2

＝3x－2·1＋3y－2·1＋3z－2·1 ≤

3x－2＋13y－2＋13z－2＋13x＋y＋z－3＋＋＝. 2222

3x＋y＋z－3∵x＋y＋z＝3，∴＝3，

2∴3x－2＋3y－2＋3z－2≤3.故ymax＝3.

利用平均值不等式证明不等式 10＋x9

【例2】 若x>0，求证：>2＋x.

9

5/20

[精彩点拨] 由于不等式右边为2＋x ，故将左边拆项，利用不等式证明． 10＋x1＋x[自主解答] 9＝1＋9

9

即原不等式成立．

在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．

6/20

1191

2．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥2. [证明] ∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥ 3

3a＋bb＋cc＋a，

3111111

＋＋≥3 ××， a＋bb＋ca＋ca＋bb＋ca＋c

1131

∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋b＋c＋a＋c≥3a＋bb＋cc＋a×3

3

111

××， a＋bb＋ca＋c

7/20

111

即2(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥9，

1191

＋＋∴(a＋b＋c)a＋bb＋ca＋c≥2. 

平均值不等式的类型与应用条件 [探究问题] 试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系．

[提示] 在课本中已讲过n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分a1＋a2＋…＋ann

别是An＝和G＝a1a2…an. n

n

此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到) Hn＝1

11. a1＋a2＋…＋an

n

平方平均(在统计学及误差分析中用到) Qn＝

22

a21＋a2＋…＋an

.

n

这四个平均值有以下关系：Hn≤Gn≤An≤Qn. 其中等号成立的充要条件都是a1＝a2＝…＝an.

x2x3x1x13x23x33

【例3】 设x1，x2，x3为正数，证明：x＋x＋x≤x＋x＋x.

231123[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必

8/20

须对一边式子进行变形．

x2x2x3

[自主解答] x＝x··1

13x11x23x33

≤＋＋1， 3x3x1

① ② ③ ④

x3x3x11x33x13

1≤3＋＋1，

x2＝x1·x2·x1x2x1x1x21x13x23

1≤3＋＋1，

x3＝x2·x3·x2x3x3x1x21x33x13x231＝x··≤3＋＋.

1x2x3x1x2x3

上述不等式中，当且仅当x1＝x2＝x3时取“＝”号．

33x2x3x11x13x2x3

x＋3x＋3·x＋3]， ①＋②＋③＋④得x＋x＋x＋1≤3[3·231123x2x3x1x13x23x33

∴x＋x＋x≤x＋x＋x.

231123

x2

在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x可变为

1

x2x3

1. x3·x1·9/20

3．已知a，b，c为正整数，且b＋c>a，c＋a>b，a＋b>c. b－cac－aba－bc

··≤1. 求证：1＋

a1＋b1＋cb－cac－aba－bc

·· [证明] 1＋

a1＋b1＋cabc

a＋b－cb＋c－ac＋a－b

·· ＝

caba＋b－ca＋b－c

…·＝

aab＋c－ab＋c－a…· bb

10/20

c＋a－bc＋a－b…

cc

b＋c－ac＋a－ba＋b＋ca＋b－c

a·a＋b·b＋c·c≤ 

a＋b＋c＝1.

即原不等式成立．

11/20

1．设a1，a2，…，an为正数，P＝

a1＋a2＋…＋ann

，Q＝

n111，则

a1＋a2＋…＋an

P，Q间的大小关系为( )

A．P>Q C．PB．P≥Q D．P≤Q

＝n2，

111

[解析] ∵(a1＋a2＋…＋an)a1＋a2＋…＋an≥∴

a1＋a2＋…＋ann

≥n111，

a1＋a2＋…＋an

即P≥Q. [答案] B

2．已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝3，则8a＋1＋8b＋1＋8c＋1的最大值为( )

A．9 C．16 [解析]

B．33 D．43

111

8a＋1＋8b＋1＋8c＋1＝38a＋1·9＋38b＋1·9＋3

8a＋1＋98b＋1＋98c＋1＋98a＋b＋c＋30

8c＋1·9≤＋＋＝＝9.当且仅当a

6666＝b＝c＝1时取等号．

[答案] A

12/20

1

3．当x>0时，y＝3x＋2x2的最小值为( ) 33A．29 53C．25

B．3 D．4

32 13x3x1

[解析] y＝3x＋2x2＝2＋2＋2x2 33313933≥3

2x·2x·2x2＝38＝2 9.

3131

当且仅当2x＝2x2，即x＝3时，等号成立． [答案] A

4．已知x，y，z为正数，且2x＋3y＋5z＝6，则xyz的最大值为________． 112x＋3y＋5z34

＝.[解析] ∵x，y，z为正数，∴xyz＝30×2x×3y×5z≤30×

15322

当且仅当2x＝3y＝5z，即x＝1，y＝3，z＝5时等号成立．

4

[答案] 15 1111

5．证明：设n为正整数，则n[(n＋1)n－1]<1＋2＋3＋…＋n. 1111＋2＋3＋…＋n1

[证明] 原不等式等价于：(n＋1)n<＋1

n1111＋＋＋…＋＋n23n＝.

n1111＋2＋3＋…＋n＋n

n

∵ 111

1＋1＋1＋1＋1＋＋3＋…＋n2

＝

nn＋134

2＋2＋3＋…＋nnn＋134＝>2···…·

n23n

13/20

＝n＋1 1

＝(n＋1)n， ∴原不等式成立．

n

课时分层作业(十) 平均值不等式(选

学)

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

111

1．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c与9的大小关系是( ) 111

A．a＋b＋c≥9 111

C．a＋b＋c＝9

111B．a＋b＋c<9 D．不确定

113

[解析] ∵a＋b＋c＝1，∴1≥3abc，∴abc≤27，又a，b，c为正数，∴abc≥27，

311113

∴a＋b＋c≥3 ≥327＝9.

abc[答案] A

2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) 3A．36 C．12

[解析] ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，

3

∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥32x·22y·23z 3

＝32x＋2y＋3z＝3×4＝12.

14/20 B．22 3D．125

当且仅当2x＝22y＝23z，

2

即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝3时取等号． [答案] C

3．若2a>b>0，则a＋A．3 C．8

4

的最小值是( )

2a－bb

B．1 D．12

bb41

[解析] a＋＝a－2＋2＋bb 2a－bb

a－22≥3

3

1bb

a－2··bb＝3. 2

a－22

1bb

a－22

，即a＝b＝2时等号成立．

bb

当且仅当a－2＝2＝[答案] A

1

4．已知x为正数，有不等式：x＋x≥2

3xx414xx4

x·x＋x2＝2＋2＋x2≥32·x＝2，2·x2a

＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋xn≥n＋1(n为正数)，则a的值为( )

A．nn C．n2

B．2n D．2n＋1

axxxa

[解析] x＋xn＝n＋n＋…＋n＋xn，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.

[答案] A

a＋b＋c3

5．已知a，b，c为正数，x＝3，y＝abc，z＝A．x≤y≤z C．y≤z≤x

[解析] ∵a，b，c为正数，

B．y≤x≤z D．z≤y≤x

a2＋b2＋c2

，则( ) 3

15/20

∴

a＋b＋c3

3≥abc，

2

a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac

∴x≥y，又x＝，

93a2＋3b2＋3c2z＝.

9

2

∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2， ∴z2≥x2，∴z≥x， 即y≤x≤z. [答案] B 二、填空题 6．设a>0，b>0，称

2ab

为a，b的调和平均．如图，C为a＋b

线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，

BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均．

[解析] 在Rt△ABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝ab，故线段CDDE

DC的长度为a，b的几何平均数．又因为△ODC∽△CDE，所以OD＝CD，则CD22abDE＝＝，故线段DE的长度为a，b的调和平均数.

ODa＋b

[答案] DC DE

7．当a＞1,0＜b＜1时，则logab＋logba的范围是________． [解析] ∵a＞1,0＜b＜1， ∴logab＜0，logba＜0， ∴－logab＞0，－logba＞0，

∴－logab－logba≥2－logab－logba＝2.

16/20

1

当且仅当b＝a时取等号， ∴logab＋logba≤－2. [答案] (－∞，－2]

8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．

[解析] 设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3. 1

又∵三角形为直角三角形，S＝2·3·4＝6， 111∴2h1·3＋2h2·4＋2h3·5＝6， 3

∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥360h1h2h3， 6416

∴h1h2h3≤60＝15. 16

[答案] 15 三、解答题

nn＋2

9．证明不等式1×2＋2×3＋…＋nn＋1<2对一切正整数成立． 2n＋1

[证明] ∵nn＋1<2，

2n＋135

∴1×2＋2×3＋…＋nn＋1<2＋2＋…＋2， nn＋2

即1×2＋2×3＋…＋nn＋1<2.

a2b2a＋b2

10．(1)已知a，b是正数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：x＋y≥，

x＋y并指出等号成立的条件．

291

(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝x＋x∈0，2的最小值，指出取最小值时

1－2x的x的值．

[解] (1)证明：由二元均值不等式得

22

yxabx＋y(x＋y)＝a2＋b2＋a2·＋b2·≥a2＋b2＋2

xy

y2xa22

a·b·x·y＝(a＋b)，故x＋

2

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b2a＋b2y≥x＋y.

yx

当且仅当a2x＝b2y， ab

即x＝y时上式取等号．

2＋322232

(2)由(1)知，f(x)＝2x＋≥＝25.

1－2x2x＋1－2x231

当且仅当2x＝，即x＝5时，f(x)取最小值，

1－2x且f(x)min＝25.

[能力提升练]

1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)( )

A．先提价p%，再提价q% B．先提价q%，再提价p% C．分两次都提价

q2＋p2

2% p＋q

D．分两次都提价2% a2＋b2a＋b2

[解析]

2≥2≥ab，由题可知，A，B两次提价均为(1＋p%)(1＋q%)相等，

2p＋q2p＋qp2＋q2

，D提价1＋，C提价1＋

2＜2%2%p＋q2

＜1＋＋q%)＜1＋

2%

[答案] C

116x

2．若x＞1，则函数y＝x＋x＋2的最小值为( )

x＋1A．16 C．4

B．8

D．非上述情况

p2＋q2

2⇒(1＋p%)(1

2

p2＋q2

，则提价最多为C. 2%

18/20

116x116

[解析] y＝x＋x＋2＝x＋x＋1≥216＝8，

x＋1

x＋x11当且仅当x＋x2＝16，x＋x＝4，x＝2＋3时取“＝”．

[答案] B

3．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________．

[解析] (x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(x＋y＋z)＋zx≥2yx＋y＋zzx＝2. [答案] 2

4．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y元表示为速度v千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

s

[解] (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v，全程运输成本sa2sv＋bv. 为y＝a·＋bv·＝svv

a

故所求函数为y＝sv＋bv，v∈(0，c]．

(2)由题意知s，a，b，v都是正数， a

故有sv＋bv≥2sab.

a

当且仅当v＝bv，即v＝若若

ab≤c，则当v＝

a

b时等号成立．

ab时，全程运输成本y最小；

aa

v＋bv在(0，c]上为减函数． >c而v∈(0，c]，y＝s

b

a∴v＝c时，ymin ＝sc＋bc.



19/20

综上可知，为使全程运输成本y最小，当当

aab

行驶速度应为v＝b；

b≤c时，

a

b>c时，行驶速度应为v＝c.

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