均值不等式是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn, 即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。不过在行测考试的数学运算中,涉及均值不等式的考察仅仅用于几何平均数和算术平均数,这个知识点一般是结合几何问题和利润问题来考察的。中公教育专家认为大家在应用过程中不需要死记公式,领会下面两句话就可以快速解题了:
(1)两个数的和为定值时,这两个数越接近,它们的乘积越大。 (2)两个数的乘积为定值时,这两个数越接近,它们的和越小。
规律中的“两个数”可以替换成“多个数”。比如说当a+b=24的时候。a×b可以取到最大值,此时a×b的最大值为144。a=b=12的时候取到最大值。反过来。当a×b=64时,a+b在a=b=8的时候取到最小值16。
例1.现在有一段长为40米的篱笆,要围成一个矩形菜园,菜园的一边是足够长的墙,请问当矩形的长和宽分别人多少的时候,这个矩形菜园的面积最大?
A 100 B 150 C 1600/9 D 200
答案:D。中公解析:假设矩形的长为a,宽为b,根据题意,有a+2b=40,矩形的面积为a×b,这里要注意不是a=b 的时候a×b取得最大值,而应该把2b看作一个整体,即a=2b时候,a×2b取得最大值,同时a×b也取得了最大值。a=2b=20,所以a=20,b=10,矩形的最大面积为a×b=200,故答案选择D。
例2.某商品单价为60元,每周可以卖出160件,经市场调研发现,商品价格每上调一元,销量每周会下降两件,那么要让每周的总收入最大,商品的定价应该多少?此时总收入为多少?
A 70 , 9800 B 75 , 9750 C 78 , 9720 D 80 , 10200
答案:A。中公解析:假设上调x元,则单价变为60+x,销量变为160-2x,则根据公式:总收入=单价×销量=(60+x)×(160-2x),要让这个式子取到最大值。结合前面的规律,两个数乘积要最大,如果两个数的和为定值,就很容易了。而公式中60+x和160-2x这两个数的和不是一个定值。但是可以通过变形,使得变形之后两个量的和没有未知数。(60+x)×
(160-2x)=(120+2x)×(160-2x)/2,当右边的式子取到最大值时。左边的式子也取得了最大值。当120+2x=160-2x。解得x=10,此时商品的定价为70元,每周的收入达到了最大值。最大收入为70×140=9800元,故选A。
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