新课标下数形结合思想的几点应用

新课标下数形结合思想的应用

【摘 要】新课标下，我们把课堂变成学生探索世界的窗口。数形结合思

想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.

【关键词】新课标 数形结合思想 应用

数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来, 在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。 新课标下，考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。”下面就高三复习谈一谈新课标下数形结合思想的几点应用 。 一、数形结合思想在函数与方程中的应用

1、方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化。其基本思想是先把方程两边

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的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数。而准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提。

例1、已知方程x24x3m有4个根，则实数m的取值范围 。 【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决。

解析：方程x24x3m根的个数问题

就是yx24x3x221与函数y=m图象的交点的个数。

作出抛物线yx24x3x221的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，得到yx24x3的图象，再作直线y=m，如图所示：由图象可以看出，当01x例2、函数f(x)＝()－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为___

2 解析 : 本题考查了函数与方程之间的关系．

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1

函数f(x)＝()x－sin x在区间[0,2π]

21

上的零点个数即为方程()x－sin x＝0在区

2

间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函

1

数y＝()x与y＝sin x交点的个数．根据图象可得交点个数2，即零

2点个数为2. 2. 解决函数的单调性

例3、确定函数yxx2x的单调区间.

画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］，

［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］。 3. 比较数值的大小

例4、已知定义在R上的函数y=f（x）

满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②对任意的0≤x1- 3 -

此，画出示意图便可比较大小. 显然，f（4.5）例5、设f（x），g（x）分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间［a，b］（a0，且f（x）·g（x）有最小值－５.则函数y=f（x）·g（x）在区间［－b，-a］上 Ａ. 是增函数且有最小值－５ Ｂ. 是减函数且有最小值－５ Ｃ. 是增函数且有最大值５ Ｄ. 是减函数且有最大值５ 【解析】f'(x)g（x）+f（x）g'(x)=［f（x）·g（x）］′>0 ∴ y=f（x）·g（x）在区间［a，b］（a又∵ f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数. ∴ y=f（x）·g（x）是奇函数。因此它的图象关于原点对称，作出示意图，易知函数y=f（x）·g（x）在区间［-b，-a］上是增函数且有最大值５，因此选Ｃ.

二、数形结合思想在不等式中的应用 1、 解不等式

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例6、已知f（x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞）上是减函数， f（a）＝０（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是（ ） Ａ. ｛x|0a｝ Ｃ. ｛x|-a解：依题意得f（x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞）上是减函数，f（a）＝０（a>0），可得到f（x）图象，又由已知xf（x）<0，可知x与f（x）异号，从图象可知，当x∈（-a，０）∪（a，+∞）时满足题意，故选Ｂ. 2、求参数的取值范围

3x＋6， x≥－2例7、y＝f(x)＝

－6－3x， x<－2

，若不等式f(x)≥2x－m恒

成立，则实数m的取值范围是_______________． 解析 在平面直角坐标系中作出函数

y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，

所以函

数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图象的下方，因此，当x＝－2时，

y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范

围是[－4，＋∞)．

三、数形结合思想在求目标函数最值、代数式或参数范围的应用

例8、已知实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0

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有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求： (1)点(a，b)对应区域的面积； b－2(2)的取值范围； a－1(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．

解 (1)方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．

f(0)＞0，

由此可得不等式组f(1)＜0，

f(2)＞0b＞0，

a＋2b＋1＜0，a＋b＋2＞0.

⇒

a＋2b＋1＝0，由a＋b＋2＝0a＋b＋2＝0，由b＝0a＋2b＋1＝0由b＝0

解得A(－3,1)．

解得B(－2,0)．

解得C(－1,0)．

∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平

11

面区域为△ABC(不包括边界)．△ABC的面积为S△ABC＝×BC×h＝(h22为A到Oa轴的距离)．

b－2(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率． a－1

2－112－0∵kAD＝＝，kCD＝＝1，

1＋341＋1

b－21b－2

由图可知kAD＜＜kCD，∴＜＜1，

a－14a－1

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即

b－21

∈(，1)． a－14

(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方， ∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．

b－n归纳拓展 型表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率，

a－m(a－m)2＋(b－n)2表示这两点间的距离，解决此类问题时，一定要注意观察，联想数与形的对应类型，就能自然地运用数形结合的思想方法．

四、数形结合思想在解析几何中的应用

解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的。

例9、若直线y=x+k与曲线x1y2恰有一个公共点，求k的取值范围. 解：曲线x1y2是单位圆x2y21的右半圆（x≥0）， k是直线y=x+k在y轴上的截距. 由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-由图形：可得k=-，或-1，

例10、求抛物线y2=4x上到焦点F的距离与到点A（3，2）的距离之和为最小的点P的坐标，并求这个最小值.

【分析】要求PA+PF的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题.

解：P′是抛物线y2=4x上的任意一点，过P′作抛物线的准线l的垂线，垂足为D，连P′F（F为抛物线的焦点），

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由抛物线的定义可知：PFP'D ∴P'AP'FP'AP'D

过A作准线l的垂线，交抛物线于P，垂足为

Q，显然，直线AQ之长小于折线AP′D之长，因而所求的点P即为AQ与抛物线交点.

∵ AQ直线平行于x轴，且过A（3，2），所以方程为y=2，代入y2=4x得x=1.

∴ P（1，2）与F、A的距离之和最小，最小距离为4.

以上是我在教学中借助几道例题简要归纳说明用数形结合解决的几类数学问题。学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，所以要带领学生认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。

总之，我们老师要通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。

【参考文献】

①张连延. 谈数形结合思想在解题过程中的巧用, 学科探究.

②章水云 新课标下高中数学“有效教学”的策略探究《中学数学研究》 ③任庆娥，张萍. 数形结合思想在解题中的应用,

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