指数函数zy

实例1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x有怎样的关系.

实例2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x次后绳子剩余的长度为y米,试写出y与x之间的关系

1.分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到42个细胞,分裂三次得到82,所以分裂x次以

23后得到的细胞为2个,即y与x之间为y2.

xx11111232. 第一次剩下绳子的2,第二次剩下绳子的42,第三次剩下绳子的82,那么剪了x次

11yxy2 以后剩下的绳长为2米,所以绳长与x之间的关系为

思考：问题1：写出1、2中所给出y与x的函数关系式? 问题2：上面两个关系式能否都构成函数呢?

问题3：这两个函数是不是以前学过的？若是属于哪一类？ 问题4：这两个函数有什么共同特征？

xya我们可以抽象出一个数学模型就是我们今天要讲的指数函数.

xya定义:一般地,函数 (a0,a1)叫做指数函数,它的定义域

x是R.

xya概念解析1:同学们思考一下为什么中规定 a0,a1?(引导学生从定义域

为R的角度考虑).（先把a0，a0，a1显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）

探究1：为什么要规定a0，且a1？

（1）若a0，ax有时会没有意义，如：当a2,x,则在实数范围内无意义；

（2）若a0，ax有时会没有意义，如x1， 则在实数范围内无意义； （3）若a1,对任意xR，ax1，对它没有研究的必要.

xya概念解析２:我们知道形如（a0,a1）的函数称为指数函数．通过观察我们发现：

12⑴a前没有系数，或者说系数为１．既1a； ⑵指数上只有唯一的自变量x； ⑶底是一个常数且必须满足：a0,a1。 函数的图象及性质

xx⑴提出两个问题（约3分钟）

①目前研究函数一般可以包括哪些方面；

【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】

②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？

可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究；

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

⑵分组活动，合作学习（约8分钟）

师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；

②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】

【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。】

⑶交流、总结（约10～12分钟） 师：下面我们开一个成果展示会!

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是

否还有其它性质？

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一

1些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），yax与y()x的图象关于y轴对

a称）

【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报； ②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报； ③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】

【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。

②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】

师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪yax的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

图 象 01 定义域 值 域 性 质

R 过定点（0，1） 非奇非偶 在R上是减函数 在R上是增函数 例1.下列函数中是指数函数的是_____________.（填序号）

(1)yx2;(2)y3x;(3)y4x;(4)y(5)x;(5)yxx;

(6)y32x;(7)y22x1;(8)y(2a1)x(a

例1.比较大小

1且a1) 21.52.5,1.53.2

0.51.2,0.51.5 1.50.3,0.81.2

例2．⑴已知33，求实数x的取值范围； ⑵已知0.225，求实数x的取值范围

xx0.5