实变函数试卷1

试卷代码：1110101701

曲 靖 师 范 学 院

X─X学年第X学期数学与应用数学专业XXXX班

《实变函数》期末考试试卷(1)

任课教师： 负责人： （签字） 题 号 一 二 三 四 总 分 复核人 得 分 36 16 10 38 100 登分人 注意：1. 本试卷共6页，请考生仔细检查，有错、漏、破烂现象及时报告监考教师更换. 2. 考生姓名、班级学号必须写在指定地方.

3. 考试时间: 120分钟. 得 分 阅卷人 一、填空题（共10题，有12空，每空3分，共36分）

1. 设An(n1,n]，n1,2,3,，则An＝ ；

n1An＝ . n12. n1,n1n1nn＝ . 3. 设A2n1(0,1n)，A2n(0,n)，n1,2,3,，则limAnn ；limAn＝ .

n4. 作映射 可满足从正实数集合P到实数集合R的双射. 5. 设集合A的全体子集所成集族的基数为m，则A的基数为 . 6. P0是E的孤立点的充要条件是存在P0的某邻域U(P0)，使 . （实变函数）·第 1 页 共 6 页

7. 任意多个满足EE的集合E的交集是 .

8. 设E1和E2均为有界可测集，则m(E1E2)＋m(E1E2)＝ . 9. 设E为Rn中的点集，E为L可测的充要条件是对于任意一个点集A都满足 .

10. 若fn(x)f(x)，由其定义可知对任意

得 分 阅卷人 二、辨析题（认为正确的给出证明，不对的请给出正确的命题，

0, 满足 . 并作证明. 共2题，每小题8分，共 16分）

1. 任意多个开集之交仍是开集，有限多个开集之交也是开集.

2. 单位圆周与整个数轴一定对等.

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得 分 阅卷人 三、计算题（共1题，满分 10分）

10,2－2n＋11. 设A2n＋1，A2n＋110,1＋2n，n1,2,3,, 求An的上

极限和下极限.

得 分 阅卷人 四、证明题（共4题，第1小题8分，第2、3、4小题各 10分，共 38分）

1. 设A是一个集合，是两个集列，证明：

n

(An1Bn)(An)(Bn )n1n1（实变函数）·第 3 页 共 6 页

2. 有界集E为可测的充要条件是对于0, 存在开集GE和闭集FE, 使得m(GF).

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----------------------------------------班级密----------------------------------------____________________ 学号 封----------------------------------------____________________ 姓名线-------------------------------- ____________________ -----

3. 设E1和E2是两个互不相交的可测集,f1(x)和f2(x)分别是E1和E2上的可测

-----------函数, 令f(x)f-1(x)---f2(x)----- -_-

_--_-_--_-

_--_-_--__线

_-_--_-_--

_-_--_-_--

_-_--名---姓-

--- - -_-_-

-_-_--_-_-

-_-_--_-_--

_-_ _封_--_-

_--_-_--_- _--号-- -学--- - - -_- _--_-_-- _-_--_- _--_-_-- _-_--_-- __密_- _-_--_- _--级--- 班----- ---- ---- ----- ---- ----- ---

xE1xE, 证明: f(x)是E1E2的可测函数.

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（实变函数）·第

4. 设函数列fn(x)在E上依测度收敛于f(x), n1,2,3,且fn(x)乎处处成立, 证明: 几乎处处有fn(x)收敛于f(x).

fn+1(x)几

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