课时作业(二十) [第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公
式]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．下列各式的值为1
4的是( )
A．2cos2
π12
－1 B．1－2sin2
75° C.
2tan22.5°
1－tan2
22.5°
D．sin15°cos15° 2．若cosα＝－3
4，则cos2α的值为( )
A.118 B．－8 C．－716 D.916
3．[2012·石家庄模拟] 1－tan15°1＋tan15°的值为( )
A．1 B.33
C.
2
2
D.3 4．[2013·珠海测试] cos75°cos45°－sin75°sin45°＝________． 能力提升
5．cosπ9cos2π9cos4π
9＝( )
A.11
3 B.4 C.16 D.18
6．[2012·豫北六校联考] 函数y＝2cos2
x－π4－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
1
π
C．最小正周期为的奇函数
2π
D．最小正周期为的偶函数
2
75
7．已知α，β都是锐角，cos2α＝－，cos(α＋β)＝，则sinβ＝( )
2513A.C.
8．[2012·江西师大附中模拟] 已知圆O：x＋y＝4与x轴的正半轴相交于A点，C，D108
两点在圆O上，C在第一象限，D在第二象限，C，D的横坐标分别为，－，则cos∠COD135＝( )
1616
A．－ B.
65655656C．－ D.
6565
4
9．[2012·银川一中模拟] 已知sinθ＝，sinθ－cosθ>1，则sin2θ＝ ( )
52412A．－ B．－ 2525424C．－ D.
525
10．tan40°－tan70°＋
3
tan40°tan70°＝________． 3
5
2
2
1613 B. 65655633 D. 6565
11
11．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，那么log
23tanα
的值是________． tanβ
π4π12．[2012·江苏卷] 设α为锐角，若cosα＋＝，则sin2α＋的值为6512________．
sinxπ13．函数y＝在，π上的最小值是________．
1＋cosx2
3
14．(10分)已知a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈π，π，且a⊥b.
2(1)求sinα的值； π
(2)求tanα＋. 4
2
15．(13分)[2012·潍坊质检] 如图K20－1，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜
34π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为－，. 55
sin2α＋cos2α＋1(1)求的值；
1＋tanα→→
(2)若OP·OQ＝0，求sin(α＋β)的值．
图K20－1
难点突破
16．(12分)已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，
B，C的大小．
3
课时作业(二十)
【基础热身】 1．D [解析] 2cos
2
ππ332
－1＝cos＝；1－2sin75°＝cos150°＝－；12622
2tan22.5°11
＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝sin30°＝. 21－tan22.5°24
132．A [解析] cos2α＝2cosα－1＝2×－－1＝.
84
2
2
1－tan15°tan45°－tan15°3
3．B [解析] ＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝. 1＋tan15°1＋tan15°tan45°31
4．－ [解析] cos75°cos45°－sin75°sin45°＝cos(75°＋45°)＝cos120°＝－
21. 2
【能力提升】
π2π4π
5．D [解析] coscoscos 999＝
1
2sin＝
1
2sinπcosπcos2πcos4π
9999π
9
2sin
sin2πcos2πcos4π 999π
9
8π
sin
94π14π
sincos＝＝ 99ππ
4sin8sin
99πsin91＝＝，故选D.
π88sin
9
πππ26．A [解析] y＝2cosx－－1＝cos2x－＝cos2x－＝sin2x，故选A. 4427．A [解析] ∵cos2α＝2cosα－1，cos2α＝－
2
73
，α为锐角，∴cosα＝，sin255
4512
α＝，∵cos(α＋β)＝，∴(α＋β)为锐角，sin(α＋β)＝，
51313
1235∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×
13513
4
416＝. 565
123
8．B [解析] 设OC，OD与y轴正半轴的夹角分别为α，β，则cosα＝，cosβ＝，
1351235416
cos∠COD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝. 13513565
419222
9．A [解析] －cosθ>1，则cosθ<－.又sinθ＋cosθ＝1，则cosθ＝，所以
5525324
cosθ＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝－.
525
10．－
33
[解析] tan40°－tan70°＋tan40°tan70° 33
3
tan40°tan70° 3
＝tan(40°－70°)(1＋tan40°tan70°)＋
＝tan(－30°)(1＋tan40°tan70°)＋
33tan40°tan70°＝－. 33
1
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，2
11．2 [解析] 由
1
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝3，51tanα
得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，两式相除得＝5，∴log1212tanβ＝2.
12.
π3π24172 [解析] 由条件得sinα＋＝，从而sin2α＋＝，
6562550
5
tanα
＝logtanβ
5
5
π167cos2α＋＝2×－1＝， 62525
πππ24272172从而sin2α＋＝sin2α＋－＝×－×＝.
123425225250
2sincos
22xxππxπ13．1 [解析] y＝＝tan，∈，，∵y＝tan在，π上单调递增，
2242222x2cos
2π
∴x＝时，ymin＝1.
2
14．解：(1)依题意a⊥b，故可知a·b＝0， 又a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)， ∴－2cosα＋sinα＝0，即sinα＝2cosα，① 又sinα＋cosα＝1，②
2
2
xx 5
sinα＝255，
sinα＝－2
5
5，
由①②解得cosα＝5或
5
cosα＝－5
5
.
依题意α∈π，32
2π，∴sinα＝－55.
(2)由(1)可知sinα＝2cosα，解得tanα＝2， 故tanα＋πtanα＋tan
π42＋1
4＝＝＝－3.
1－tanαtan
π1－2×1
4
15．解：(1)由三角函数的定义得cosα＝－34
5，sinα＝5
，
2
则原式＝2sinαcosα＋2cosα＝2cosα（sinα＋cosα）2
1＋
sinαsinα＋cosα＝2cosαcosαcosα
2
＝2×－35＝18
25
. (2)∵→OP·→
OQ＝0，∴α－β＝ππ2，∴β＝α－2，
∴sinβ＝sinα－π23＝－cosα＝5，
cosβ＝cosπα－24＝sinα＝5. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝4435×5＋－5×35＝7
25. 【难点突破】
16．解：方法一：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0， 得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.
所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0， 即sinB(sinA－cosA)＝0.
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，从而cosA＝sinA. 由A∈(0，π)知，A＝π4，从而B＋C＝3π
4.
由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2
3π4－B
＝0，
即sinB－sin2B＝0.即sinB－2sinBcosB＝0，
6
由此得cosB＝12，B＝π3.所以A＝ππ5π
4，B＝3，C＝12.
方法二：由sinB＋cos2C＝0得 sinB＝－cos2C＝sin
3π2－2C
.
因为0 即B＋2C＝3ππ 2或2C－B＝2. 由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0， 得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0. 即sinB(sinA－cosA)＝0. 因为sinB≠0，所以cosA＝sinA. 由A∈(0，π)，知A＝π 4 . 从而B＋C＝34π，知B＋2C＝3π 2不合要求． 再由2C－B＝1π5π 2π，得B＝3，C＝12. 所以A＝π4，B＝π5π 3，C＝12. 7 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容