矩阵论复习题 第二章

一、基本要求

1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．

2、掌握线性无关组的Schmidt正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．

3、理解Hermite二次型的定义．

4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．

5、了解欧氏子空间的定义．

6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．

7、掌握对称矩阵与Hermite矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．

8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．

二、基本内容

1、内积空间

设数域F上的线性空间Vn(F)，若Vn(F)中任意两个向量,都有一个确定的数与之对应，记为(,)，且满足下列三个条件

(1) 对称性：(,)(,)，其中(,)表示对数(,)取共轭； (2) 线性性：(k11k22,)k1(1,)k2(2,)； (3) 正定性：(,)0，当且仅当0时，(,)0，

则称(,)为向量与的内积．当FR时，称Vn(R)为 欧氏空间；当FC时，称Vn(C)为酉空间．

注意：在Rn中，(,k)k(,)；在Cn中，(,k)k(,)． 通常的几个内积：

(1) R中，(,)xiyiTT

nni1 C中，(,)xiyiH．

nni1其中(x1,x2,,xn)T,(y1,y2,,yn)T．

(2) Rmn中，A(aij)mn,B(bij)mn，(A,B)tr(AB)aijbij．

Hi1j1mn(3) 在实多项式空间Pn[x]及[a,b]上连续函数空间C[a,b]中，函数f(x),g(x)的内积为

b(f(x),g(x))f(x)g(x)dx

a2、向量的长度、夹角、正交性

定义 (,)，称为的长度，长度为1的向量称为单位向量，

0是的单位向量．

长度有三个性质：

(1) 非负性：0，且(,)00； (2) 齐次性：kk,k表示数k的绝对值； (3) 三角不等式：．

定理(Cauchy-Schwarz不等式)(,)．

与的夹角定义为arccos(,)．

当(,)0时，称与正交，记．

若非零向量组1,2,,s两两正交，即(i,j)0，称1,2,,s是一个正交组；又若i1,i1,2,,s，则称1,2,,s为标准正交组，即

ij1,ij, (i,j)0,ij.定理(勾股定理) 222(,)0，即．

3、标准正交基

标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．

构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对

正交基进行单位化可得标准正交基．

把线性无关向量1,2,,s正交化为1,2,,s正交向量组： 设

11,

k1kk再把i单位化：i(k,i)i,k2,3,,s.(,)i1ii1ii,i1,2,,s，则1,2,,s为标准正交组．

在标准正交组1,2,,n下，向量可表为：

x11x22xnn(,1)1(,2)2(,n)n，

坐标xi(,i)表示在i上的投影长度． 4、基的度量矩阵

度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵．

设欧氏(酉)空间V的一个基为x1,x2,,xn，令aij(xi,xj)(i,j1,2,,n)，则该基的度量矩阵为A(aij)nn．

基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维

数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．

设酉空间V的一个基为x1,x2,,xn，该基的度量矩阵为A，x,yV在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积(x,y)TA．当V为欧氏空间时，(x,y)TA．

当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积(x,y)T，欧氏空间V的

x与y的内积(x,y)T．

设欧氏空间Vn的两个基分别为(Ⅰ)x1,x2,,xn和(Ⅱ)y1,y2,,yn，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C，基(Ⅰ)的度量矩阵为A，基(Ⅱ)的度量矩阵为B，则有：

(1) BCTAC．

(2) 基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是AI．

(3) 若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C是正交矩阵．

(4) 若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．

5、正交变换与对称变换

(ⅰ) 关于正交变换，下面四种说法等价：

1) T是欧氏空间Vn的正交变换，即对于任意的xVn，有

(Tx,Tx)(x,x)；

2) 对于任意的x,yVn，有(Tx,Ty)(x,y)； 3) T在Vn的标准正交基下的矩阵为正交矩阵； 4) T将Vn的标准正交基变换为标准正交基． (ⅱ) 关于对称变换，下面两种说法等价：

1) T是欧氏空间Vn的对称变换，即对于任意的x,yVn，有(Tx,y)(x,Ty)； 2) T在Vn的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．

(ⅲ) 若T是欧氏空间Vn的对称变换，则T在Vn的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．

(ⅳ) 在欧氏空间Vn中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换． 6、相似矩阵

(1) ACnn相似于上(下)三角矩阵． (2) ACnn相似于Jordan标准形矩阵． (3) ACnn酉相似于上三角矩阵．

(4) 设ACnn，则AHAAAH的充要条件是存在酉矩阵P，使得

PHAP(对角矩阵)．

(5) 设ACnn的特征值都是实数，则ATAAAT的充要条件是存在正交矩阵Q，使得QTAQ．

(6) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵．

三、典型例题

例1、在Rn中，设(1,2,,n),(1,2,,n)，分别定义实数(,)如下：

(1) (,)(i2i2)2；

i1n1(2) (,)(i)(j)；

i1j1nn判断它们是否为Rn中与的内积．

解 (1) 设kR，由

(k,)((ki)2i2)i1n12

k()2i2ii1n12k(,)

知，当k0且(,)0时，(k,)k(,)．故该实数不是Rn中与的内积．

(2) 取(1,1,0,,0)0，有

i1ni0,(,)0

故该实数不是Rn中与的内积．

例2、Rn中，向量组1,2,n线性无关的充要条件是

(1,1)(1,2)(1,n)(2,1)(2,2)(2,n)0．

(n,1)(n,2)(n,n)证 方法一 设A(1,2,n)，则

(i,j)nniTjnnATAATAA0

2A01,2,,n线性无关．

方法二 设x11x22xnn0，则

(x11x22xnn,i)0,i1,2,,n，

即

x1(1,1)xn(1,n)0,x(,)x(,)0,121n2n x1(n,1)xn(n,n)0,齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式(i,j)0，即

1,2,,n线性无关．

例3、设欧氏空间P[t]3中的内积为

(f,g)f(t)g(t)dt

11(1) 求基1,t,t2的度量矩阵．

(2) 采用矩阵乘法形式计算f(t)1tt2与g(t)14t5t2的内积． 解 (1) 设基1,t,t2的度量矩阵为A(aij)33，根据内积定义计算aij(ij)

a11(1,1)dt2，a12(1,t)tdt0，

11122a13(1,t)tdt，a22(t,t)t2dt，

1133112a23(t,t2)t3dt0，a33(t2,t2)t4dt．

11521211由度量矩阵的对称性可得aijaji(ij)，于是有

0232． A023023025(2) f(t)和g(t)在基1,t,t2下的坐标分别为(1,1,1)T,(1,4,5)T，那么

0231240． (f,g)TA(1,1,1)0230230255例4、欧氏空间P[t]3中的多项式f(t)和g(t)的内积为

(f,g)f(t)g(t)dt，

11取f1(t)t，记子空间WL(f1(t))．

(1) 求WT的一个正交基；

(2) 将WT分解为两个正交的非零子空间的和．

解 (1) 设g(t)k0k1tk2t2WT，则有(f1,g)0，即

11f1(t)g(t)dtt(k0k1tk2t2)dt0，

11也就是k10．于是可得

WT{g(t)g(t)k0k2t2,k0,k2R}．

取WT的一个基为1,t2，并进行正交化可得

g1(t)1,(t2,g1)1

g2(t)tg1t2,(g1,g1)32那么，g1(t),g2(t)是WT的正交基．

(2) 令V1L(g1(t)),V2L(g2(t))，则V1与V2正交，且WTV1V2． 例5、已知欧氏空间V2的基x1,x2的度量矩阵为

54， A45采用合同变换方法求V2的一个标准正交基(用已知基表示)．

解 因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得QTAQ(对角矩阵)，计算得

10,09Q11111, 2CQ1213131, 32则有CTACE．于是，由(y1,y2)(x1,x2)C可得V2的一个标准正交基为

y112(x1x2),y2132(x1x2)．

例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：d(,)，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？

答 不一定，例如R2中向量的平移变换：

(x,y)R2,T(x,y)(x1,y1)，

1(x1,y1),2(x2,y2)R2,T(1)(x11,y11),T(2)(x21,y21)，

d(T(1),T(2))T(1)T(2)(x1x2)2(y1y2)212d(1,2)．

虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．

例7、设1,2,,n与1,2,,n是n维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T，使T(i)i,i1,2,,n的充要条件是

(i,j)(i,j),i,j1,2,,n．

证 必要性 因为T是正交变换：(T(i),T(j))(i,j)，又已知T(i)i，故有(i,j)(i,j)．

充分性 定义变换T，使得T(i)i,i1,2,,n，则T是线性变换，且是唯一的．下证T是正交变换．已知(i,j)(i,j)，则有(Ti,Tj)(i,j)，设,Vn，xii,yjj，

i1j1nn则

(,)(xii,yjj)xiyj(i,j)，

i1j1i1j1nnnn(T(),T())(xiT(i),yjT(j))xiyj(T(i),T(j))i1j1i1j1nnnn

xiyj(i,j)．

i1j1nn即,Vn，(T(),T())(,)，故T是正交变换．

例8、设1,2,3是欧氏空间V3的一组标准正交基，求出V3的一个正交变换

T，使得

1T()(21223),13 1T(2)(21223).3解 设T(3)x11x22x33，使得T(1),T(2),T(3)是标准正交的，因T(1),T(2)已标准正交，则只要满足

(T(3),T(1))0,(T(3),T(2))0,T(3)1，即

2x12x2x30,2x1x22x30, x2x2x21.2311解得x113,x223,x323，即T(3)(12223)，得

3T(1),T(2),T(3)是标准正交基．因T把标准正交基变为标准正交基，故T是正交变换．

另法 设T(3)的坐标为(x1,x2,x3)T，由

2323x1(,,)A． (T(1),T(2),T(3))(1,2,3)2313x21231323x3T是正交变换A为正交阵．由ATAE，解得

1x113,x2x323，则T(3)(12223)．

3例9、设x0是欧氏空间V中的单位元素，定义变换

T(x)x2(x,x0)x0 (xV)

(1) 验证T是线性变换；

(2) 验证T既是正交变换，又是对称变换；

(3) 验证x0是T的一个特征向量，并求其对应的特征值． 证 (1) 设x,yV，k,lR，则有

T(kxly)(kxly)2(kxly,x0)x0=k[x2(x,x0)x0]l[y2(y,x0)x0]

=k(T(x))l(T(y))， 故T是线性变换．

(2) 因为

(T(x),T(x))(x,x)4(x,x0)(x,x0)4(x,x0)2(x0,x0)(x,x)

所以T是正交变换．设yV，则T(y)y2(y,x0)x0，于是有

(T(x),y)(x,y)2(x,x0)(x0,y),(x,T(y))(x,y)2(y,x0)(x,x0)(T(x),y).故T也是对称变换．

(3) 直接计算可得

T(x0)x02(x0,x0)x0x02x0(1)x0.

故x0是T的对应于特征值1的特征向量．

例10、证明欧氏空间Vn的线性变换T为反对称变换，即

(T(x),y)(x,T(y)),(x,yVn)的充要条件是T在Vn的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵．

证 设Vn的一个标准正交基为x1,x2,,xn，线性变换T在该基下的矩阵为

A(aij)nn，即

T(x1,x2,,xn)(x1,x2,xn)A．

则有

T(xi)a1ix1a2ix2anixn,(T(xi),xj)aji,T(xj)a1jx1a2jx2anjxn,(xi,T(xj))aij.

必要性 设T是反对称变换，则有(T(xi),xj)(xi,T(xj))，即ajiaij，

(i,j1,2,,n)，故ATA．

充分性 设ATA，则对任意的x,yVn有

11,T(x)(x,,x)A， x(x1,,xn)1nnn11,T(y)(x,,x)A． y(x1,,xn)1nnn因为x1,x2,,xn是标准正交基，所以

11(,,)A(x,T(y)). (T(x),y)(1,,n)AT1nnn故T是反对称变换．

例11、设欧氏空间Vn的正交变换T的特征值都是实数，证明存在Vn的标准正交基，使得T在该基下的矩阵为对角矩阵．

分析 正交矩阵是实的正规矩阵，当它的特征值都是实数时，它能够正交相似于对角矩阵．

证 设Vn的一个标准正交基为x1,x2,,xn，正交变换T在该基下的矩阵为

A，那么A是正交矩阵，也是实的正规矩阵．因为T的特征值都是实数，所以A的特征值都是实数．于是存在正交矩阵Q，使得

QAQdiag(1,2,,n)，

Tdef其中i(i1,2,,n)是A的特征值．令

(y1,y2,,yn)(x1,x2,,xn)Q，

则y1,y2,,yn是Vn的标准正交基，且T在该基下的矩阵为

Q1AQQTAQ

【评注】 本例结果表明，特征值都是实数的正交变换是对称变换． 例12、设T是欧氏空间V的正交变换，构造子空间

V1{xT(x)x,xV},V2{yyxT(x),xV},

证明V1V2．

证 先证V1V2．任取x0V1，则有T(x0)x0．对于任意的yV2，有

(x0,y)(x0,xT(x))(x0,x)(x0,T(x))

(x0,x)(T(x0),T(x))(x0,x)(x0,x)0 所以x0V2,故V1V2.

再证V2V1，任取x0V2，那么(x0T(x0))V2，从而有

(x0,x0T(x0))0，

(x0T(x0),x0T(x0))(x0,x0)2(x0,T(x0))(T(x0),T(x0))(x0,x0)2(x0,T(x0))(x0,x0)2(x0,x0T(x0))0.所以x0T(x0)0，即T(x0)x0，也就是x0V1，故V2V1．

例13、设ACmn，酉空间Cm中的向量内积为通常的，证明

[R(A)]N(AH)．

分析 设Cm中的向量(1,2,,m)T与向量(1,2,,m)T的内积为

(,)1122mmT，

则T0的充要条件是H0，或者H0．

证 划分A(a1,a2,,an)，则有

R(A)L(a1,a2,,an)，

[R(A)]{(k1a1knan),kjC,Cm}

{aj,j1,2,,n,Cm}

m {aH0,j1,2,,n,C} j {AH0,Cm}N(AH)．

例14、设A,BCmn，酉空间Cm中的内积为通常的，证明：R(A)与R(B)正交的充要条件是AHB0．

证 划分A(a1,a2,,an)，B(b1,b2,,bn)，则有

R(A)L(a1,a2,,an)，R(B)L(b1,b2,,bn)

根据例15结果可得，R(A)与R(B)正交的充要条件是

R(B)[R(A)]N(AH)，

即

bjR(B)N(AH) (j1,2,,n)，

或者

AHbj0 (j1,2,,n)，

也就是AHB0．

例15、在R4中，求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1)及(2,1,1,3)均正交． 解 设x(1,2,3,4)和已知向量正交，即

12340,12340, 230.2341该齐次线性方程组的一个非零解为x(4,0,1,3)，单位化可得

y1413x(,0,,)，即y为所求的单位向量． x262626例16、设A为n维欧氏空间V的一个线性变换，试证：A为正交变换的充分必要条件是

A()A()．

证 必要性

A()A()(A()A(),A()A())

(,)(,)(,)(,) (,)．

充分性 取0，于是有A()，即A保持V中的向量长度不变，所以A为正交变换．

2221T254PAPPAP例17、对于矩阵A，求正交(酉)矩阵，使P245为对角矩阵．

解 可求得det(IA)(1)2(10)，于是A的特征值为

121,310．对应121的特征向量为

x1(2,1,0)T,x2(2,0,1)T．

24正交化可得y1(2,1,0)T,y2(,,1)T；再单位化可得

55p1(25,15,0)T,p2(2353535,4,5)T．

1对应310的特征向量为x3(,1,1)T，单位化可得

2122p3(,,)T，

333故正交矩阵

251P50235435535132 323使

1． PTAP110例18、设A是n阶实对称矩阵，且A2A(即A是幂等矩阵)，证明存在正交矩阵Q使得

Q1AQdiag(1,,1,0,,0)．

证 设A的属于特征值的特征向量为x，即Axx，则有A2x2x．因为A2A且x0，所以20，即0或1．再由A实对称知，存在正交矩阵Q使得

Q1AQdiag(1,,1,0,,0)．

例19、设V1,V2是欧氏空间V的两个子空间，证明

(V1V2)V1V2,(V1V2)VV.12

证 先证第一式．设x(V1V2)，即x(V1V2)．于是xV1且xV2，

或者xV1且xV2，即xV1V2．故

(V1V2)(V1V2)．

又设xV1V2，即xV1且xV2．于是xV1且xV2，或者x(V1V2)，即x(V1V2)．故

(V1V2)(V1V2)．

因此第一式成立．

对V1与V2应用第一式，有

(V1V2)(V1)(V2)V1V2，

故(V1V2)V1V2，即第二式成立．

例20、(1) 设A为酉矩阵且是Hermite矩阵，则A的特征值为1或1． (2) 若A是正规矩阵，且A的特征值1，则A是酉矩阵．

证 (1) 因A为酉矩阵，则A的所有特征值具有1；又A是Hermite矩阵，则A的特征值皆为实数，故A的特征值为1或1．

(2) 因A是正规矩阵，且A的特征值1，则有酉矩阵U，使得

11,UHAHUUHAU， nn12UHAHAUn故有AHAE，即A是酉矩阵．

1E. 21例21、A为n阶正规矩阵，i(i1,2,,n)是A的特征值，证明AHA与AAH的特征值为i,i1,2,,n．

证 由A正规，则

211,UHAHUUHAU， nn1UHAHAU22HHUAAU，

2n22故AHA与AAH的特征值皆为1,2,,n．

例22、设A为n阶正规矩阵，证明 (1) 若对于正数m，有Am0，则A0． (2) 若A2A，则AHA． (3) 若A3A2，则A2A．

证 (1) 若Am0，则A的特征值皆为零，又A是正规矩阵，A可酉对角化，即有

00H， UAU0故有A0．

(2) A2A，则A的特征值为1或0，假定r(A)r；A可酉对角化为：

ErUHAU00ErHH,(UAU)000ErHH,UAU00H0， 0可得AHA．

211,(UHAU)2(3) A3A2，且UHAU， n2n2311H3UHA2U,UAU，

23nn2由A3A2，得3ii,i0或i1，不妨设

ErUAU0H0ErH2，也有UAU000， 0故有A2A．

例23、A为n阶Hermite矩阵，设A的n个特征值为12n，证明

XHAXmaxn,HXCnXXXHAXmin1． XCnXHX证 对于Hermite二次型fXHAX，必有酉变换XUY，使化为标准形

XAX1y12y2nyn，

又X2HXUY222XHXY2y1y222yn，则

2222XHAXn(y1y2yn)n． 222XHXy1y2yn设Xn为A对应于n的特征向量，即AXnnXn，则

XnHAXnnXnHXnn， HHXnXnXnXn故有

XHAXmaxn． HXCnXX同理有

XHAXmin1． HXCnXX例24、A是正规矩阵，证明

(1) A的特征向量也是AH的特征向量． (2) XCn，AX与AHX的长度相等． 证 (1) A为正规矩阵，则有酉矩阵，使得

1HUAU,n1UHAHU， n22其中U[1,2,,n]，由上两式可见Aiii，1,2,,n为A的特征向量，

AHiii，故A与AH有相同的特征向量．

(2) 由AHAAAH，

AHX2(AHX)H(AHX)XHAAHX

2 XHAHAX(AX)H(AX)AX． 证得

AHXAX．

例25、A,B为n阶实对称矩阵，B为正定矩阵，证明存在同一可逆矩阵P，使

PHBPI,u1． PTAPun证 B为正定矩阵，必有可逆矩阵Q，使

QTBQE.

因A为对称矩阵，则QTAQ也是对称矩阵，所以存在正交矩阵C，使得

u1， CTQTAQCun令PQC，就有

u1． PTAPun又CTQTBQCCTECCTCE，即有PTBPE，故存在同一可逆矩阵P，使

PTBPE,PTAP．

例26、(1) 设ACnn，则AUnn的充要条件是A的n个列(或者行)向量是标准的正交向量组．

(2) U1Urnr的充要条件是U1HU1E． 证 (1) 必要性 设

1HHA[1,2,n],AH2．

Hn由于AHAE，所以有

1H1H11H21HnHHHH222n2[,,,]21E， 12nHHHHnn1n2nn于是可得

Hij0,ij Hij1,ij这表明矩阵A的n个列向量是一个标准的正交向量组．同样可以证明A的n个行

向量是一个标准的正交向量组．

充分性 设矩阵A的n个列向量1,2,,n是一个标准的正交向量组，那么有

Hij0,ij Hij1,ij从而可知

1H1H11H21HnHHHH222n2[,,,]21E， 12nHHHHn2nnnn1此即AHAE，进一步也有AAHE，这表明A为一个酉矩阵．类似地可以证明行的情况．

(2) 必要性 设矩阵U1的r个列向量1,2,,r是一个标准的正交向量组，那么有

Hij0,ij H1,ijij由此可得

1H1H11H21HrHHHH222rU1HU12[1,2,,r]21Er． HHHHrr1r2rr充分性 设

1HH2. HrU1[1,2,,r],U1H由于U1HU1Er，所以有

1H1H11H21HrHHHH221222r[,,,]E．

12rrHHHHrr1r2rr于是可得

Hij0,ij H1,ijij这表明矩阵U1的r个列向量1,2,,r是一个标准的正交向量组．

例27、已知

083， A316205试求酉矩阵U，使得UHAU是上三角矩阵．

解 首先求出其特征多项式EA(1)3．

当1时，求出属于特征值1-1的一个单位特征向量

1[解与1内积为零的方程

26,16,16]T．

2x1x2x30，

求得一个单位解向量

2[333T,,]． 333解与1,2内积为零的方程

2x1x2x30 xxx0123又求得一个单位解向量

3[0,于是取

261U161622T,]． 2233333302， 222经过计算可得

7212U1HAU104056273356． 36记

4A1562563， 6可得

EA1(1)2．

对于1时，求得一个单位特征向量

1[再求得一个与1正交的向量2

1015T,]， 552[令

1510T,]． 55V1105155155， 105经计算可得

256VA1V116．

10H1令

1010U2051505记

261UU1U2616015， 5105550， 25530153063030则

1UHAU0030151071520256．

61例28、设A,B均为n阶正规矩阵，试证A与B相似的充要条件是A与B酉相似．

证 必要性 由于A与B均为正规矩阵，所以分别存在正规矩阵U1,U2，使得

1HU1AU11HU2BU22 n n2其中i0(i1,2,,n)为A的特征值，i0(i1,2,,n)为B的特征值．又A与

1H1H于是有ii,U1HAU1U2此时(U1U2这表明A)AU1U2B，BU2，B相似，

与B相似．

充分性 显然．

例29、已知A为实矩阵，且有ATAAAT，证明A必为对称矩阵． 证 由ATAAAT可知，A为正规矩阵，那么存在酉矩阵U，使得

11,UHAHUUHAU， nn从而有

1HTUAAU2．

2n又ATA为实矩阵，由上式可知其特征值也是实数，从而矩阵U是一个正交矩阵，即UHUTU1，从而有

1， U1AUn其中1,,n一定为实数．同样也有

1． U1ATUn由此可得ATA，即A为实对称矩阵．

例30、设A,B均为正规矩阵，且有ABBA，证明： (1)A,B至少有一个公共的特征向量；

(2)A,B可同时酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵W，使得WHAW以及

WHBW均为上三角矩阵；

(3)A,B可同时酉相似于对角矩阵； (4)AB与BA均为正规矩阵．

证 (1) 设V是矩阵A的属于特征值的特征子空间，若V，即

A，则BAB，由于ABBA，所以有A(B)(B)，这表明

BV，从而V是B的不变子空间，故在V中存在B的特征向量，它也是A的特征向量．

(2) 对A,B的阶数用归纳法证明．当A,B的阶数均为1时，结论显然成立．设单位向量1是A,B的一个公共特征向量，再适当选取n1个单位向量2,,n，使得{1,2,,n}为标准正交基，于是U[1,2,,n]为酉矩阵，且有

B1b1,HBU[b1,B2,,Bn]．

b进一步可得UBUB,这里是1(n1)矩阵，B1是一个n1阶矩0B1a阵，另外也有UHAU0矩阵．

由ABBA又有(UAUH)(UBUH)(UBUH)(UAUH)，于是可得ABBA，由此可推得A1B1B1A1．故由归纳法假设，存在n1阶酉矩阵V1，使得

A，这里是1(n1)矩阵，A1是一个n1阶A1V1HB1V1，这里为一个上三角矩阵，记

10V,0V1于是有

WUV.

10b10bV1， WHBWVH(UHBU)VH0V10B10V10显然WHBW是一个上三角矩阵．容易验证W是酉矩阵．同样可得，WHAW也是一个上三角矩阵．

(3) 由(2)可设WHAWR，这里R是一个上三角矩阵，那么WHAHWRH，从而可得

AAHWRWHWRHWHW(RRH)WH，

AHAWRHWHWRWHW(RHR)WH．

又AAHAHA，所以可得RRHRHR，从而知R为一个对角矩阵．同样可证

WHBW也是一个对角矩阵．

(4) 由(3)可设

1,WHAWnu1， WHBWun于是有

11． WHABWnn由正规矩阵结构定理可知AB为正规矩阵，那么BA也为正规矩阵．

【评注】教材中已给出一种证明方法，但是与这里的证明方法完全不同，这里主要运用Schur引理的证明思想．

例31、已知下列正规矩阵，求酉矩阵U，使得UHAU为对角矩阵．

01i 100(1)Ai004i62i43i 4i43i26i(2)A062i26i11(3)A 11解 (1) 首先求出矩阵A的特征多项式为EA(22)，所以A的特征

值为12i,22i,30．

对于特征值2i，求得一个特征向量X1[2,i,1]T． 对于特征值2i，求得一个特征向量X2[2,i,1]T． 对于特征值0，求得一个特征向量X3[0,i,1]T．

由于A为正规矩阵，所以X1,X2,X3是彼此正交的，只需分别将X1,X2,X3单位化即可

2i12i12i21,,,2,,,30,,，

22222222TTT于是取

22iU[1,2,3]21222i21202i， 222而且有

2i00UHAU02i0．

000(2) 首先求出矩阵A的特征多项式为EA(281)(9)，所以A的特征值为19i,29i,39．

i对于特征值9i，求得一个特征向量X1[,1,1]T．

21对于特征值9i，求得一个特征向量X2[i,,1]T．

21对于特征值9，求得一个特征向量X3[i,1,]T．

2由于A为正规矩阵，所以X1,X2,X3是彼此正交的，只需分别将X1,X2,X3单位化即可

i222i122i211,,,2,,,3,,．

333333333于是取

TTTi32U[1,2,3]3232i313232i32， 313从而有

9i00． UHAU09i0090(3) 首先求出矩阵A的特征多项式为EA222，所以A的特征值为11i,21i．

对于特征值1i，求得一个特征向量X1[i,1]T． 对于特征值1i，求得一个特征向量X2[i,1]T．

由于A为正规矩阵，所以X1,X2是彼此正交的，只需分别将X1,X2单位化即可

221i,,22TT222i,．

2222ii22， 2222于是取

U[1,2]从而有

1i0UAU． 01iH【评注】这三个题目只需按照教材介绍的正规矩阵可对角化具体过程进行即

可．

例32、试举例说明：可对角化矩阵不一定可酉对角化．

解 设X,Y是两个线性无关但不正交的向量，记P[X,Y]，取

a0D,ab 0b那么

APDP1，

就是一个可对角化矩阵，但不是可酉对角化矩阵．

例33、证明

(1) Hermite矩阵的特征值为实数；

(2) 反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数； (3) 酉矩阵特征值的模长为1．

证 (1) 设A为一个Hermite矩阵，是A的一个特征值，X为对应于特征值为的一个特征向量，即有AXX，在此式两端取共轭转置可得

XHAHXH,XAX.用X从右端乘上式两端有

HH

XHAXXHX，

于是有

XHXXHX．

由于X0，所以XHX0，从而有，这表明是实数．

是A的一个特征值，X为对应于特征值(2) 设A为一个反Hermite矩阵，

的一个特征向量，即有AXX，在此式两端取共轭转置可得

XHAHXH,XAX.用X从右端乘上式两端有

HH

XHAXXHX，

于是有

XHXXHX．

由于X0，所以XHX0，从而有，这表明为零或纯虚数． (3) 设A为一个酉矩阵，是A的一个特征值，X为对应于特征值的一个特征向量，即有AXX，在此式两端取共轭转置可得

XHAHXH．

用AX从右端乘上式两端有

XHEXXHX，

于是有

(1)XHX0．

由于X0，所以XHX0，从而有1，这表明的模长为1．

例34、设A与B均为Hermite矩阵，试证A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同．

证 必要性 由于相似矩阵有相同的特征值，所以A与B的特征值相同．

充分性 A与B均为Hermite矩阵，所以分别存在酉矩阵U1,U2，使得

12H,U1AUn

12H.U2BU2n其中i(i1,2,,n)为A的特征值，2(i1,2,,n)为B的特征值．又ii，从

HHHH而U1HAU1U2BU2，此即(U1U2)A(U1U2)B，这表明A与B酉相似．

例35、设A是Hermite矩阵，且A2A，则存在酉矩阵U，使得

EUHAUr01HUAU0． 0， n证 由于A是Hermite矩阵，所以存在酉矩阵

2其中i(i1,2,,n)为A的特征值，又A为幂等矩阵，于是i0或1．不妨设A的秩为r，那么i中有r个1，nr个0．

记12r1,r1r2nr0．即

EUHAUr00． 0例36、设R3中的向量为(1,2,3)，线性变换为

T()(2223,21323,21233)，

求R3的一个基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵．

解 取R3的简单基e1,e2,e3，计算得

T(e1)(0,2,2),T(e2)(2,3,1),T(e3)(2,1,3),

那么，T在基e1,e2,e3下的矩阵为

022． A231213A的特征值为124,32，与之对应的线性无关的特征向量依次为

12,010,221． 1令

112,P2012104， 42则有P1AP，由(1,2,3)(e1,e2,e3)P求得R3的另一个基为

1e12e2(1,2,0),2e12e3(1,0,2), 32e1e2e3(2,1,1).T在该基下的矩阵为．

四、教材习题同步解析

1、设V是实数域R上的n维线性空间，1,2,,n是V的一组基，对于V中向量

x11x22xnn， y11y22ynn，

定义内积为

(,)x1y12x2y2nxnyn，

证明V在此内积下构成一个内积空间．

证 设z11z22znnV,kR，则有

(,)(,)y1x12y2x2nynxn；

(,)x1(y1z1)2x2(y2z2)nxn(ynzn)

(x1y12x2y2nxnyn)(x1z12x2z2nxnzn)(,)(,)；

(k,)kx1y12kx2y2nkxnynk(,)．

当0时，(,)0；当0时，至少有一个xi00，从而

2(,)i0xi00，因此，该实数是V上的内积，V构成一个内积空间．

2、设V是实数域R上的n维线性空间，1,2,n是V的一组基，A是一个

n阶正定实对称矩阵．定义V的内积如下：对于V中向量,，如果它们在基

1,2,,n下的坐标分别为x,y，则

(,)xTAy，

证明V是一个内积空间．

证 设V，在基1,2,,n下的坐标为z，kR，则有

(,)xTAy(xTAy)TyTATxyTAx(,)； (,)xTA(yz)xTAyxTAz(,)(,)； (k,)(kx)TAykxTAyk(,)；

因为A为n阶正定实对称矩阵，所以(,)xTAx为正定二次型．0时，

(,)0；0时，(,)0，所以V是一个内积空间．

3、在实内积空间R4(内积为实向量的普通内积)中，已知

1111111,2,3，

011011试求出与1,2,3都正交的单位向量．

解 设(x1,x2,x3,x4)T满足(,i)0,i1,2,3,有

x1x20Tx1x2x3x40 ，可取(1,1,1,1)，故单位向量为 xxxx0234111111111,,,或,,,． 222222224、设内积空间C3中向量,的内积为

TT(,)H

判断下述向量,是否正交：

1)(1,i,i)T,(1i,1,2i)T； 2)(1i,i,2i)T,(1,i,1,3i)T．

1解 1)(,)(1i,1,2i)i0，故正交．

i1i2)(,)(1,i,3i)i74i0，故不正交．

2i5、设1,2,,n是n维内积空间V的一组基，如果V中向量使

(,i)0,i1,2,n.

证明 0．

证 令x11x22xnn，有(,)(,xii)xi(,i)0，

i1i1nn由内积定义，有0．

6、设V是实数域R上的内积空间，1,2,3是V的一组标准正交基．证明

13也是V的一组标准正交基．

1(21223),2(21223),3(12223)

1313232(,,)(,,)123证 123313231323132，记矩阵 323212333212A，因为ATAE,所以A为正交矩阵，又因为1,2,3为标准

333122333正交基，所以1,2,3也是标准正交基．

7、设1,2,3,4,5是5维内积空间V的一组标准正交基．115,212,32123．求子空间L(1,2,3)的一组标准正交基．

解 设k11k22k330，则

(k1k22k3)1(k2k3)2k33k150，

因为1,2,3,5线性无关，则k1k2k30，所以1,2,3线性无关，所以他们是L(1,2,3)的一组基．将1,2,3正交化，单位化，即得L(1,2,3)的一组标准正交基．

记x1(1,0,0,0,1),x2(1,1,0,0,0),x3(2,1,1,0,0)，则正交化，

y1x1；

y2x2(x2,y1)11y1,1,0,0,；

(y1,y1)22(x3,y1)(x,y)y132y2x3y11,1,1,0,1；

(y1,y1)(y2,y2)y3x3单位化

z122y1(1,0,0,0,1)； 22z2z366y2(1,2,0,0,1)； 361(1,1,1,0,1) 2所以标准正交基

1261(15),2(1225),3(1235)． 2628、已知线性空间R[x]4对于内积

(f(x),g(x))f(x)g(x)dx

11构成一个内积空间．从基1,x,x2,x3出发，经正交单位化求一组标准正交基．

解 因为(1,1)11dx2,(x,1)xdx0,(x,x)x2dx1111112， 3(x2,x)0,(x2,1)2222,(x,x)，…… 35正交化，令11；

2x(x,1)1x； (1,1)(x2,1)(x2,x)13x1xx2；

(1,1)(x,x)324x3x；

再单位化

35131(1,1)2;222(x,x)6x;2

3102105143314x;4xx44449、对于实数域R上的线性空间Rmn，规定内积如下：对于Rmn中任意元素

A[aij],B[bij]，则

(A,B)迹(BA)ajibji．

Ti1j1nm证明Rmn对此内积构成欧氏空间．

证 (A,B)ajibjibjiaji(B,A)；

i1j1j1i1nmmn对任意的kR，C[aij]Rmn，有

(A,BC)迹((BC)TA)迹(BTACTA)

=迹(BTA)+迹(CTA)(A,B)(A,C)；

(kA,B)迹(BT(kA))迹(kBTA)=k迹(BTA)=k(A,B)；

(A,A)aji0，当且仅当aji0(即A0)时，(A,A)0，所以Rmn2i1j1nm对此内积构成欧氏空间．

10、设欧氏空间R4(内积为普通实数组向量的点积)的一组基为

111101111,2,3,4，

00110001求在这组基下的度量矩阵A．

11解 A((i,j))11111222．

23323411、在线性空间R4上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基

e1(1,0,0,0)T,e2(0,1,0,0)T,e3(0,0,1,0)T,e4(0,0,0,1)T下的度量矩阵为

21011210． A012110131) 求在基1(1,1,0,0)T,2(1,2,0,0)T,3(0,1,2,1)T,4(1,0,1,1)T下的度量矩阵B．

2) 求实数a，使向量(1,a,2,1)T与向量(1,1,2,0)T正交． 解 1) 因为由基e1,e2,e3,e4到基1,2,3,4的过渡矩阵

1112P0000012112113011101， ;P1001110012设向量在e1,e2,e3,e4下的坐标为x，则在1,2,3,4下的坐标为P1x，如果在基1,2,3,4下的度量矩阵为B，则(,)(P1x)TBP1xxTAx，所以

23013601 (P1)TBP1A,BPTAP0013911972),在e1,e2,e3,e4下的坐标分别为(1,a,2,1)T和(1,1,2,0)T，所以

(,)(1,a,2,1)A(1,1,2,0)T0时，有a10． 312、设1,2,3是欧氏空间V的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为

112A121

216已知V的子空间V1的一组基为

112，2123．

1) 证明1,2是V1的一组正交基； 2) 求V1的正交补V1的一组基． 证 1) 因为

(1,2)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

112(1)2(1)0，

故1,2正交，所以1,2是V1的一组正交基．

2) 只需再找到V中向量3使1,2,3为V的一组正交基，则3即为V1的一组基．

方法一：设3x11x22x33，利用正交条件

x1x0(1,1,0)A2(1,3)0x3 即 x1(2,3)0(1,1,1)Ax02x3可得一解为x17,x22,x32，即得3712223．

方法二：先将1,2扩充为V的一组基1,2,3，为此只需1,2,3的坐标线性无关．例如取31即可．再将1,2,3正交化．因1,2已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令

(3)3k1(3)1k223，

算出

k1(3)(3,1)(,)2(3)0,k232，

(1,1)(2,2)5752525即得

3123．

13、设4维欧氏空间V在基1,2,3,4下的度量矩阵为

10A10010120， 261011V的子空间V1L(1,2,3)．已知V中向量112,213,323，

1) 试求V1的一组标准正交基； 2) 设有V1的线性变换，使

(1)(166666(3)123)12，(2)(1)1(2)2，

23363请判明是不是V1的正交变换或对称变换？

解 1) 显然1,2,3线性相关，其极大无关组1,2即为V1的一组基，将

1,2正交化、单位化便可得V1的一组标准正交基．正交化得

11,212；

再单位化得

12331,212． 233又解 如取1,3为V1的一组标准正交基，因为1,3已是正交基，只需单位化，便得V1的一组标准正交基

12) 由题设条件知

1231,233 1233616 6231(1,2)(1,2)B，B6363由1)的结果知

2(1,2)(1,2)P，P2033 33设对V1的标准正交基1,2有

(1,2)(1,2)C

则应有

CP1BP662322131623 66330023331112因为C是对称矩阵但不是正交矩阵，所以是对称变换但不是正交变换．

14、设A，B都是H-矩阵，证明AB也是H-矩阵的充要条件是ABBA．

证 必要性：(AB)(AB)HBHAHBA；

充分性：(AB)HBHAHBAAB，所以AB为H-矩阵．

15、若矩阵A满足AHA,则称A为一个反厄密特矩阵．试证：任一n阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．

证 设ABC，且BHB,CHC，则AHBHCHBC，所以

11(AAH),C(AAH)为所求． 2216、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P，并给出相应的对角矩阵． B6042121)A350,实数域 2)A533,复数域

3611023231112,实数域 4)B3)A121,复数域

3106245)B232，实数域

4264解 1) EA33600(1)2(2)，特征根11(二重)，

56122．

36012060000，秩为1，故当11时，解(1EA)X0，有3360000基础解系中有nr312个线性无关特征向量，因(1EA)X0的同解方程组为x12x20，x3为任意实数．则令x21,x30有1(2,1,0)；x20,x31有2(0,0,1)．

当22，解(2EA)X0，有

360110110330000011，秩为2，故基础解系中有 363033000x1x20nr1个线性无关的特征向量，其同解方程组为．

xx032令x21，则得3(1,1,1)．因A有3个线性无关的特征向量．令

201P101，

0111则P1AP1，P为相似因子．

222)EA5112333231(1)30,特征根2301(三重)．

312当1时，解(EA)X0，有523X0，因(EA)0，

101故秩(EA)1，所以基础解系有nr2个线性无关特征向量．故A不能相似对角化．

33) EA13322342416(4)(24)，因其不

11能在实数域上分解成一次因式乘积，故A不能相似于对角形(或A特征根为复数)．

4) EB121210，1i,2i． 1i11当1i时，(iEB)X0，有2i1X0，

11i111(i1)x(i1)x20，令x22，则一，同解方程组122i1200i1个特征向量12．

11i1i1当2i时，(iEB)X0，有，X02i12i1

11(i1)，同解方程组x1(i1)x0，令x2，则得到一个基础解1222200i1i1i1i1系2．则一个相似因子为，且PBPP2225)

． i6EB2424231524844(2)2(11)0，

6322(二重)，11．

424212当12时，2EBX212000，同解方程组

424000秩为1，基础解系中有3-1=2个线性无关特征向量．令(x2,x3)2x1x22x30，

1分别取(1,0)，(0,1)，得1(,1,0),2(1,0,1)．

2524101当211时，11EBX282021，同解方程组

425000x1x30，秩为2，基础解系中有3-2=1个线性无关特征向量．令x31，有 2xx0321213(1,,1)，得到一个相似因子P12011212，且P1BP0

21111324A26217、对实对称矩阵，求正交矩阵Q，使Q'AQ为对角矩

423阵．

解

3 EA2424231222198(7)2(2)0，

623得17(二重)， 22．

424424212当17时，7EAX212X，因212000，有

4244240002x1x22x30，令(x2,x3)分别取(2,0)，(0,1)，有一个基础解系

12,1120．

01当2时，2EAX5242825242X0，因282

425425101021 ，有x1x30，令x232，得基础解系31．0002x

2x302将1,2正交化得 11(1,2,0)， 2(2,1)(1,0,1)1(1,2,0)(45,221(5,1)， 1,1)5单位化得 e151,2,0)，e11(215(45,25,55) 将13单位化得 e33(2,1,2)，

1452153令Q522511535，则Q为正交矩阵，且 55201537Q1AQQAQ7．

22i18、求一个酉矩阵U，把H-矩阵Ai2化为对角形．

解 EA2ii(2)21243(1)(3)0, 2解得11,23．

1i1i当11时，解(EA)X0有EAi100，同解方程组

x1ix20，令x21，得1(i,1)．

1i1i当23时，解(3EA)X0，有3EAi100同解方程组

x1ix20，令x21，得2(i,1). 再单位化得 e11ii1i1i 令U,e,11，得 1212221UAU3．

H19、设V是3维欧氏空间，1,2,3是V的一组标准正交基，线性变换使

(1)212223,(2)215243, (3)214253求V的一组标准正交基1,2,3，使在基1,2,3下的矩阵为对角矩阵．

解 由题设条件可得在标准正交基1,2,3下的矩阵

222A254，

245对实对称矩阵A，可求出正交矩阵

2555Q502515451553132， 323使Q1AQdiag(1,1,10)．令

即得所求之标准正交基

(1,2,3)(1,2,3)Q

25155152,25215455115233, 1223313233.