含参函数单调性

含参数函数单调性

● 基础知识总结和逻辑关系

一、 函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的f(x)的定义区间；

2) 求f'(x)，令f'(x)0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3) 把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些 点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4) 确定f'(x)在各个区间内的符号，由f'(x)的符号判定函数fx在每个相应小区间内的单调性.

二、 函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1) 求导数f'(x)；

2) 求方程f'(x)0的所有实数根；

3) 检验f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值.

三、 求函数最值

1) 求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；

2) 将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就

是最小值.

四 利用导数证明不等式

1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）

区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.

② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目

的.

2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.

导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.

含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：

1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数身给定的参数范围】

流程①：最高次项系数如果含参数，分 “0；

【注意题目本f(x)之后，按以下四个流程依次走：

0； 0” 三种情况依次

讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回出不含参数的

f(x)，写

f(x)的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系

f(x)0是否有根。 如果方程f(x)0没

数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。 流程②：接流程①，判断方程有任何实根，说明

f(x)0或f(x)0恒成立，f(x)恒定单增或单减，直

f(x)0有实根，全部求出来，写明“x1 ”，

接写结论；如果方程“x2 ”然后进入流程③。

流程③：判断由②得出的根是否在定义域内。 （i）定义域内没有根，写出数

f(x)，肯定有f(x)0或f(x)0，说明函

（ii）定义域内有且只有一f(x)在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；

（iii）f(x)单调递增区间和单调递减区间；

个根，对这个唯一的根进行列表，判断

定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。 流程④：在流程③中确定二次函数型

f(x)0在定义域内有两根x1,x2的情况

下，讨论两根大小（“”，“”，“”）。然后列表，依据表格写出结论。

3）第三步：（3）写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数范围必须合并。

【题】讨论函数f(x)xe(k0)的单调区间。 【难度】**

kxk2【题】讨论函数f(x)ln(1x)xx的单调区间。

2【难度】***

【点评】求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出

f(x)，令

f(x)0 ，求出根，求出在定义域内所

有的根，，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定f(x)在每个区间

的正负号，求出相应的单调区间。

【题】判断函数f(x)x4xalnx的单调性。 【难度】***

2a32x1的单调区间。 【题】求函数f(x)xax42【难度】***

【题】、求函数f(x)e(xax1)(x2,aR)的单调区间。

【难度】*** 【题】求函数f(x)【难度】***

【题】讨论函数f(x)kx2xln(2x1)的单调性。

2x212xalnx(aR)的单调区间。 2

【难度】***

ekx【题】讨论函数f(x)的单调性。

x1【难度】**

【题】讨论函数f(x)【难度】***

【题】求函数f(x)e(xax1)(x1,aR)的单调区间。 【难度】**

【题】求函数f(x)e(xax1)(x3,aR)的单调区间。 【难度】**

x2x22xa的单调性。 2(x1)3利用导数研究含参变量函数的最值问题

利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：

通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。

【题】已知函数

fxxkex

1求fx的单调区间；

2求fx在区间0,1上的最小值.

,k1减k1,

（2）①k1,fxk

min【解析】：（1）

②k ③1k【难度】**

2,fxmin(1k)e 2，fxmine2k1

f(x)ax1(a0)，g(x)xbx2当a4b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间,1上的最大值.

【题】已知函数【难度】*** 【题】已知函数

313f(x)x2x23x1，给定区间

3（a0），试求f(x)在此区间上的最大值。 [a,2a]，【难度】***

alnx【题】已知a0，函数f(x)：

x（1） 讨论f(x)的单调性；

（2） 求f(x)在区间[a,2a]上的最值.

【答案】：

eln2a①0a时，f(x)maxf(2a)22f(x)minf(a)lna

f(x)maxf(a)lna②ae时，

，

，

f(x)min③

ln2a f(2a)2时

，

2aef(x)maxaf(e)e，

f(x)minln2a f(2a)2，

ea④a2时，f(x)maxf(e)2ef(x)minf(a)lna

【难度】*** 【点评】

1x【题】、已知函数f(x)ln(ax1),x0,a0

1x(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围. 【答案】：a2时，f(x)在[0,)上单调递增 2a 0a2时，f(x)在[0,)上单调递减

a2a f(x)在(,)上单调递增

aa2

【难度】***

【题】已知函数：f(x)x(a1)lnx(aR) ,当x1,e时，求f(x)x 的最小值；

【答案】当1ae 时 ，fxminaa1lna1 当ae时，fxminea1 【难度】***

aeaf(x)3x1(a0),g(x)x9x，

若f(x)g(x)上的最大值为28.求实数k的取值范围

【题】已知函数【难度】***

【题】已知函数

，fxaxxbx（其中常数a,bR）

3223gxfxfx为奇函数. (1)求fx的表达式； (2)讨论gx的单调性，并求gx在区间1,2上的最大值与最

小值. 【答案】

132fxxxgx在1,2上最大值为

3442，最小值 33【难度】***

1312【题】设f(x)xx2ax.

32

2（1）若f(x)在(,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

316（2）当0a2时，f(x)在[1,4]上的最小值为，求

3f(x)在该区间上的最大值。 1【答案】a的取值范围是(,)

910f(x)在该区间上的最大值为.

3【难度】****

【题】已知函数(1)求函数

f(x)lnxx2

f(x)的单调递增区间；

(2)求函数f(x)在(0,a],(a0)上的最大值. 2(0,)

2

2【答案】当0a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最

22大值为lnaa;

2 当a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最大值

2

1为ln2

2【难度】***

f(x)1(1a)xx2x3，其中a0:

（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（2）x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.

【题】设函数【难度】***

f(x)xaxbxc(实数a,b,c为常

1数)的图像过原点，且在x1处的切线为直线y

2(1) 求函数f(x)的解析式;

f(x)在区间[m,m]上的最大值.

(2) 若m0，求函数

【题】已知函数【难度】***

32f(x)x2ax3a2lnx (1) 讨论f(x)的单调性;

【题】设函数

(2) 若a为正常数，求f(x)在区间(0,t](t0)上的最小值. 【难度】***