初三数学解直角三角形知识精讲
解直角三角形
直角三角形是在实际生产、生活中遇到的最多的几何图形之一,因此有关直角三角形的求解计算是经常需要的,有些斜三角形的计算也可以通过添加适当的辅助线将它转化为直角三角形进行求解。
1. 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 2. 解直角三角形相关的知识 如图,在RtABC中,C90 BcaAbC(1)三边之间的关系:
a2b2c2
(2)锐角之间的关系:
AB90
(3)边与角之间的关系:
sinAcosBac,cosAsinBbc
tanAcotBab,cotAtanBba(4)RtACB中,CDAB于D 设CDh,ADq,BDp,则 a2b2c2,a2pc,b2qch2pq,a2p
b2q,abch1 / 14
word CbhqAcDpBa 3. 直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型
在解直角三角形时,恰当地选用直角三角形中五个元素之间的关系是正确、迅速地解直角三角形的关键。如:ABC中,C90,已知a、b解这个直角三角形 AcbBaC (1)利用勾股定理求c。
(2)在求两个锐角A、B时,利用边角关系,最好不要选择正弦或余弦函数,因为在求c时,可能出现计算错误,从而导致连锁性错误的发生。 解直角三角形的基本类型: 已知条件 一条边和 斜边c和锐角A 解法 B90A,acsinA,bccosA a一个锐角 直角边a和锐角A B90A,bacotA,csinAa两条边 两条直角边a和b ca2b2,由tanA,求A,B90A b直角边a和斜边c abc2a2,由sinA,求A,B90A c 4. 应用解直角三角形的知识解决实际问题
2 / 14
word
关键在于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,根据题意,准确画出示意图,利用已学过的几何图形用有关性质,作出必要的辅助线,将实际问题转化为解直角三角形的问题。
解直角三角形的实际问题有以下几个常见的类型
(1)解斜三角形,利用题目中的特殊角30、45、60,通过作高线,构造直角三角形。 有些非特殊角与特殊角有着直接联系,如: 30°15°1530 75分解3045分解15
1054560分解6060(作120角的平分线) 120分解18060(作120角的邻补角)分解9045(过135角的顶点作其一边的垂线)135分解18045(作135角的邻补角)9060(过150角的顶点作其一边的垂线)150分解18030(作150角的邻补角)分解
(2)解四边形
<1>平行四边形:作高线构造直角三角形。
<2>菱形:作对角线或作高线,构造直角三角形。 <3>矩形:作对角线,构造直角三角形。 <4>正方形:作对角线,构造直角三角形。 <5>梯形:作高线,构造直角三角形和矩形。
<6>一般四边形:作对角线或利用题目中的特殊角或与特殊角有联系的非特殊角,通过作适当的辅助线构造直角三角形。 (3)解测量、航行中的问题:
掌握常用概念:仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、水平距离、垂直距离等。
3 / 14
word 例(99,某某)
在高2米,坡角为30的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需_______米。(精确到米) 分析:由生活经验可知,在楼梯表面铺地毯时,对每一台阶既要铺水平面又要铺铅直面,而所有台阶水平面的宽度之和刚好等于整个楼梯的水平宽度,所有台阶铅直面的高度之和恰好等于整个楼梯的高度,所需地毯的长度应不少于楼梯水平宽度与铅直高度之和。 解:如图, B2米AC 在RtABC中,A30,BC2米,C90 则ACBCcotA2cot3023
ACBC23221732.255.(米)
答:至少需米地毯。
说明:三角应用题是近年来中考热点题型,它主要考察学生对基本知识掌握的程度和应用能力,以及学生的综合素质,希望同学在学好基础知识的基础上要深入生活、勤于观察、积累经验、学会应用。
例(2002,某某省)
如图,MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30,在M的南偏东60方向上有一点A,以A为圆心,500米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75,已知MB400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?
4 / 14
word
北M30°30°B东45°NA 分析:首先弄清方位,准确掌握方位角的画法。依据题意,即求点A到MN的距离,再与500作比较。
解:过A作ACMN于C,设AC长为xm 北M30°30°B东45°CNA由题意可知AMC30,ABC45
MCACcot303x,BCACxMCBCMB3xx400解得x200(31)
x500
答:不改变方向,输水线路不会穿过居民区。
例1. 如图所示,在ACD中,A45,CB5,CD7,BD3,求CBD及AC的长。
5 / 14
word CABD 分析:通过作高线CE可得到三个直角三角形,若能求出CE的长,则CBD及AC均易得出。可设CEx,BEy,在CEB及CED中利用勾股定理建立关于x、y的二元方程组求解。
解:作CEAD于E,设CEx,BEy,则有
CAEBD(1)xy5 222(2)x(y3)7(2)(1)得6y9725224
5y
255x52y252()23
22222 6 / 14
word 5BE21cosCBECB52CBE60CBD1806012053CE5AC26sin45222
例2. 如图所示,ABCD是正方形,E为BC上一点,将正方形折叠,使A点与E点重合,折痕为MN,若tgAEN(1)ANE的面积; (2)sinENB。
1,DCCE10,求: 3DMCEBAN 分析:若求出AN、EB的长,即可求出ANE的面积及BN的长,则sinENB的值也可求出,由已知条件可知NENA,则tgAENtgEAN1,从而得到EB:AB13:,3根据DCCE10,即可求出BE及AB的长,再进一步求出AN。 解:(1)A、E两点关于直线MN对称,NANE
AENEANtgEANtgAEN13EB1AB3
B90,tgEAN设BEx,则AB3x
DCBCAB3xCE2xDCCE5x10,x27 / 14
word 即EB2,AB6
设ANy,则ENy,BN6y
BN2EB2EN2222(6y)2y10解得y
31010即AN ,NE33111010 SANEANBE22233EB23(2)sinENB
EN1053说明:本题是一道综合性的题目,涉及到正方形性质,轴对称性质及解直角三角形的有关知识,要注意运用分析综合法寻找解题途径,并注意应用方程这个工具求解。
例3. 已知a、b、c是ABC三边的长,其中bac,且方程ax2bxc0两根差的绝对值等于2,求ABC中最大角的度数。
分析:由已知条件bac可知这是一个等腰三角形,且底边b最长,则最大角为B,求出ABC中的底角A(或C)即可,我们可以先求角A(或C)的三角函数值,再确定
2
bAD2b角的大小,由图知cosA,则关键是求出b与c的比值,通过一元二次方ABc2c程中的条件可得到关于c、b的方程,则问题得到解决。 BcADaC 解:过B作BDAC于D
ac,方程为cx22bxc0 设x1、x2为方程的两个根,则有 x1x22b,x1x21 c8 / 14
word
|x1x2|2(x1x2)22(x1x2)24x1x22
b(2)242cb26(舍负)
cb3cbb3cosA2,A30
c2c2B1803030120说明:这是一道方程与几何知识的综合题,三角形的边是一元二次方程的系数,利用方程条件导出边的关系,由边的关系再进一步求角的大小。
1. 如图,D是AB上一点,且CDAC于C,SACD:SCDB2:3,cosDCB4,5ACCD18,求tanA的值和AB的长。 CADB 2. 如图,正三角形ABC的边长为2,点D在BC的延长线上,CD=3
(1)动点P在AB上由A向B移动,设APt,PCD的面积为y,求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值X围。
(2)在(1)的条件下,设PCz,求z与t之间的函数关系式。
9 / 14
word APBCD 3. 在RtABC中,C90,若sinA、sinB是方程x2xk0的两个根,求A、B的度数及k的值。
2A8x1620有2两个相等的实数根,且这个方程的根恰好是ABC的两边b与c的和(其中bc),又已知SABC3,求: (1)A的度数;
(2)ABC三边的长。
5. 已知菱形ABCD的边长为a,DAB60,E为AD上一动点,F在CD上满足条件AECFa,判断BEF的形状,并求BEF的面积的最小值。 4. 已知A是ABC的一个内角,关于x的一元二次方程xcos2DEFCAB 6. 直线a和水塔底面E在同一水平面上,在直线a上的三个点A、B、C处分别测得塔顶D的仰角为30、45、60,同时量得ABBC600米,求塔面DE多少米?
10 / 14
word DEaCBA
参考答案
1. 解:作DE//AC交CB于E,则EDCACD90
CD4cosDCE CE5设CD4k,CE5k(k0),则DE3k AD:DBSACD:SCDB2:3 ACABADDB5 DEDBDB355即ACDE3k5k
33CD4k4tanAAC5k5 ACCD18,5k4k18解得k2
ADAC2CD241k241 3ABADDBADAD5412 2. 解:作PEBC于E
(1)APt,AB2,BP2t(0t2) 又B60
SPCD11CDPECDBPsinB2233(2t)2233(2t)(0t2)4
(2)由(1)不难得出
11 / 14
word 31(2t),BE(2t)2211EC2BE2(2t)(2t)22 31PC2PE2EC2(2t)2(2t)2t22t444PEPCt22t4(0t2) 3. 解:RtABC,C90 AB90,sinAcosBsinBcosB1,sinAsinB1sinAsinB2,sinAsinBk
2222
sinA、sinB是方程x22xk0的两根
sin2Asin2B(sinAsinB)22sinAsinB22k1解得k
1 210 2方程x22xk0即为x22x解得x1x22 22 2即sinAsinBAB45
4. 解:(1)一元二次方程有两个相等的实数根
A824162cos02A2 22A45,即A90222A2x8x1620 (2)xcos8x1620即为22解得x42 bc42(1)cosA90,b2c2a21SABC3,bc32(3)(2)
12 / 14
word 又bc(4)
a25由(1)(2)(3)(4)解得b32
c2三边长为25、32、2
5. 解:设AEx,则CFax 过E作EGAB于G 在RtAEG中,
1AGAEcos60x23x21BGABAGax
2在RtBEG中
321BE2EG2BG2(x)(ax)2x2axa2
22EGAEsin60分别过B、E作CD的垂线,同理可得
BF2x2axa2,EF2x2axa2
BE2BF2EF2
即BEBFEF BEF为等边三角形
3323a3BE2(xaxa2)[(x)2a2] 又SBEF44424a当x即E为AD的中点时,SBEF取得最小值,其最小值为
2332332SBEFaa
4416 6. 分析:注意这是立体图形,直线a和水塔底面E在同一水平面上,DE垂直此平面,
所以DEEC,DEBE,DEAE,这是解决本题的关键。
解:设塔高为h米,依题CDE30,BDE45,ADE60 在RtADE、RtBDE、RtCDE中 得AEhctg303h
BEhctg45h3
CEhctg60h3过E作EFAC于F
13 / 14
word E3h33 hCFBA设CFx,ABBC600,AF1200x
EF2CE2CF2AE2AF232h)x2(3h)2(1200x)2 312x600h900BE2EF2BF2
32(h)x2(600x)23 1h2x260021200xx23112h260021200(600h)3900
52h60023又BEh
5h2h26002
3解得h3006
答:水塔高3006米 (
14 / 14
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容