第 30 题
传染病传播 的数学模型
由于人体的疾病难以控制和变化莫测， 医学中的数学模型也是较为复杂的。 在研究传染病传播问题时， 人们发现传染病传播所涉及的因素很多， 例如，传染病人的多少，易受感染者的多少， 免疫者 (或感染后痊愈者 )的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：
设 S 表示在开始观察传染病之后第 k 天易受感染者的 k 人数， H 表示在开始观察后第 k 天传染病人的人数， I 表 kk 示在开始观察后第 k 天免疫者 (或感染后痊愈者 ) 的人数，那么
S+1=S-0.01S(1) kkk (2)H+1=H -0.2H＋0.01S kkkk I+1=I+0.2H(3) kkk 其中 (1)式表示 从第 k 天到第 k＋1 天有 1％的易受感染者得天的传 k+1 式表示在第 (2)病而离开了易受感染者的人群；
染病人的人数是第 k 天的传染病人的人数减去痊愈的人数 0.2H(假设该病的患病期为 5 k
(3)式表示在第 k＋ 1 天免疫者的人数是第 k 天免疫者的人数加上第 k 天后病人痊愈的人数。
将 (1)，(2)和(3)式化简得
如果已知 S，H，I 的值，利用上式可以求得 S， H，10001I 的值，将这组值再代入上式，又可求得 S，H，I 的值， 2221 这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组 S，H， kkI 的值。因此，我们把 S，H， I 和 S，H，I 之间 kkkkk+1k+11k ＋的关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据 (5)代入 (4) 式右边得 利用递推关系式 (4)反复计算得表 30-1。
在建立上述数学模型的过程中， 如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出， 人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素， 那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模 型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后， 与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可可以预例如，以利用该模型对得病人数进行预测和估计。 ．测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。
在上述模型中，易受感染者每天的发病率是 1％，它只与易受感染者的人数 S 有关。对于有些传染病，情形更 k 为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数 H 有关，因为传染病人的人数越多， 传染病的发病 k 率也就越高。这样，就必须将由 (1)， (2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为 N，是一个常数。于是，
S=N-(H＋ I)(7) kkk 其中 I 为在开始观察后第 k 天免疫者 (或感染后痊愈者 )的 k 人数。设传染病人每天的痊愈率为α，则
I+1=I+ αH(8) kkk 最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数 S 和传染病 k 人 的人数 H 均成正比，且其比例因子为β，那么 k H=H+ βSH-α H(9) kk+1kkk 将(7)， (8)和(9)组合起来，就得到关于 S，H，I 的递 kkk 推关系式：
如果已知 N，α和β，并给定 S， H 和 I，那么利用 000 上式就可以计算 H 和 I，利用 H 和 I ，由 (7)式，可以计算 1111S，然后计算 H 和 I，再计算 S，⋯⋯这样，(10)式就给 2212 出了关于传染病传播的第 2 个数学模式。
利用数学模型 (4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。
设 S=S-S 表示从第 k 天到第 k+1 天易受感染者人 kk1k ＋数的变化， I=I -I 表示从第 k 天到第 k＋1 天免疫者 (或 kk+1k 感染后痊愈者 )人数的变化。从数学模型 (4)式可以看到
S=-0.01S≤0 kk I=0.2H≥0 kk 所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免 疫者人数只可能增加不会减少。 现问对数学模型 (10)式来说，易受感染者的人数， 免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？
分析：类似于数学模式 (4)式的情形，分别计算 S，k I 与 H(=H -H)，然后加以分析。 kkk+1k 解 由(10)式得：
S=N-(H＋ I) -[N -(H+I)] kk+1kk+1k =(I -I)+(H -H) k+1k+1kk =-α H-βSH+α H kkkk =-β SH kk 所以 S≤ 0，k=1， 2，⋯，即易受感染者人数只可能减 k 少不会增加。因为 I=I+ αH-I kkkk =αH k 所以 I≥0，k=1， 2，⋯，即免疫者人数只可能增加不 k 会减少。
现在设 H=H-H 表示从第 k 天到第 k＋1 天传染病 kkk+1 人的人数的变化，则由 (10) 式得
H=βSH-α H kkkk =(βS-α)H ， kk 所以当 (βS-α )＞0 时，传染病人的人数第 k＋ 1 天比第 k 天 k 增加；当 (βS-α)＜ 0 时，传染病人的人数相应地减少， k 也就是说，当易受感染者人数 S“大”时，可使 (β S-α)kk＞ 0，从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数 Sk“小”时，可使 (βS-α)＜0，从而传染病人的人数减少。 k 解一元一次不等式
β S-α＞ 0(或β Skα＜ 0) - k 得
如，打预防针等 )，那么可以降低发病率从而降低β值。如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率α。
现在有这样的一个实际问题， 有一个药物研究小组提出需要 100 万元的科研经费
在一年内试制某种预防针剂，可使发病率降低从而使β值降低 25％，而另一个药物研究小组提出需要 100 万元的科研经费在一年内试制某种药品， 可使痊愈率α提高 30%。如果仅有一笔 100 万元的科研基金可供申请， 那么这笔基金应提供给哪一个小组？
对于用药物的方法，α =(1+30%)α，β =β，所以 22 由于 C＞C，所以这笔基金应提供给试制预防针剂的 21 小组。 注：从传染病传播的数学模型的研究过程中， 可以看到建立数学模型的一般过程。 一般说来，建立数学模型有如下 6 个步骤： 第一步：模型准备
明要深入了解该问题的实际背景，根据提出的问题，
确建立模型的目的， 掌握所研究对象的各种信息， 如统计数据等， 弄清实际对象的特征。总之，要做好建立模型的一切准备工作。
在本题中，研究者通过对某地区某种传染病传播情况的观察，积累一定的数据， 例如，记录一段时期内每天传染病人，易受感染者以及免疫者 (或感染后痊愈者 ) 的人数等等， 也就是说，按要求统计必要的数据， 目的是建立传染病传播的数学模型，以了解传染病人的人数变化的趋势， 使有关医疗卫生部门能及时采取措施，将传播病加以有效的防治。 第二步：模型假设
实际问题中往往因素很多， 十分复杂。因此，必须根据实际研究对象的特征和建立模型的目的， 较确切地去辨别问题的主要方面和次要方面， 抓住主要因素， 暂不考虑次要因素，将问题理想化、简单化。
不同的简化和假设， 会得到不同的模型。 假设做得不合理或过分简单， 会导致模型的失败或部分失败， 于是应该加以修正； 假设做得过于详细， 试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，将难于发现规律和建立模型。
在本题中，我们只考虑上述三种人数： S， H 和 I 的 kkk 变化情况，对人口的迁入 和迁出，出生和死亡等因素暂不考虑。 第三步：模型建立
建立数学模型， 通常要根据所做的假设， 利用适当的数学工具， 建立各量之间的等式或不等式关系， 列出表格，画出图象等表达式， 用以描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。
建模时，首先要考虑合理性， 并尽量使用简单的数学工具， 简单工具不能解决问 题时，要选用较复杂的数学工具。
在本题中是设法建立一个与实际数据比较吻合的关于 S， H 和 I 的递推关系式。 例如，在建立数学模型 (4)式 kkk 时，研究者通过对观察数据的分析，发现每天有 1%的易受感染者得病，而病人的患病期为 5 天，
和 (3)以描述易受感染者， 传染病人和免疫者 (或感染后痊愈者 )的人数之间的内在联系。
第四步：模型求解
建立数学模型后，实际问题已归结为相应的数学问题。 接着，需要求解数学问题，解出结果。
在本题中，利用数学模式 (4)式，通过直接计算，就能得到表 30-1 所列的结果。 如果借助于计算机，我们还能得到更多的数据。
本题的模型求解过程特别简单。 对于有些问题， 有时需要用到许多数学方法， 甚 至现代数学的一些方法； 有时需要借助于计算机， 利用算法语言， 编出计算机程 序，做出计算机软件等帮助求解。 第五步：模型检验
把模型求解的结果，经“翻译”再回到实际对象中，用实际现象，数据等检验模
型的合理性和适用性。 如果检验结果不符合或部分不符合实际情况， 并且肯定在模型建立和求解过程中没有失误的话，那么应该修改假设，重新建模。
在本题中，我们可以检验由 (4)式计算出来的理论数值与实际统计的数据是否吻合。如果比较吻合，则模型是成功的；如果差别太大，则模型是失败的；如果部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。例如，当某种传染病每天的发病人数既与易受感染者人数有关又与传染病人的人数有关时， 那么必须把原数学模型中的 (2)式加以修改，假设传染病人的人数符合 (10)式，建立新的数学模型 (10)式，然后对新的数学模型加以检验，直到检验结果令人满意为止。第六步：模型应用
应用的方式因问题的性质和建模的目的而不同。 例如，利用计算结果做出某些决策进行管理与控制或预测未来的情况等， 实际上，所建模型的意义大小就是由它的应用前景来决定的。
在本题中，利用数学模型， 可以预测传染病人传播的趋势， 及时采取预防和治疗措施，将病情加以控制。利用数学模型 (10)式，还可以
值或者降低β值的重要性，便于有关医疗卫生部门进行决策和管理。
应该指出，并非所有建模过程都要经过这些步骤， 有时各个步骤之间的界限也并不那么分明。 但是，通过建模一般过程的介绍， 可以对建模的意义和方法有进一步的理解。
一般说来，所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定对象， 为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设， 运用适当的数学工具， 得到一个数学结构。 它或者能解释特定现象和现实性态； 或者能预测对象的未来状况； 或者能提供处理对象的最优决策或控制。对于利用数学模型经过演绎、推理、计算，给出数学上的分 析、预报、决策或控制，必须经过实践的检验。 对检验结果正确， 或基本正确的，就可以肯定下来，用来指导实际；对检验结果悬殊较大；或基本错误的，必须修改模型。
目前数学模型已经形成一门创造性很强的新兴学科， 它的应用已扩展到各个领域，有人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型等等，气象 工作者根据关于气压、雨量、风速、⋯⋯的数学模型，来预报天气；发电厂运用 发电过程的数学模型， 来实现计算机自动控制； 在经济领域的两个数学模型， 纯交换经济的平衡价格和投入产出模型， 均获得了诺贝尔奖金⋯⋯。 科学家们对数学模型的研究，已获得了很多成果，对生产力的发展起了巨大的作用。
练习 30
1．科学家将某种异体单细胞注入一个白鼠体内做实验，发现一天之后，白鼠体内该种细胞有 4 个，二天之后，有 16 个，如表 30-2 所示：
假设白鼠体内的该种细胞超过 1000000 个将死亡，而注射某种药物可杀死白鼠体 内 96％的该种细胞。按你的分析，试问 (1)为了维持白鼠的生命，最迟什么时候必须注射该种药物？ (2)如果白鼠体内的该种细胞达到 1000000 个时，第 1 次注射该种药物，使白鼠体内还剩 40000 个该种细胞，那么最迟什么时候必须进行第 2 次注射？ 练习 30
1．(1)根据表 30— 2，可以建立细胞生长的数学模型为t， t=0，1＝4，2，⋯ n
其中 t 表示天数， n 表示细胞个数。 t=1000000 4 解方程 t6=104 t lg4＝6lg10
≈ 9天 23小时
因此，最迟在 9 天 23 小时之前必须注射该种药物。 t(40000)=1000000 解方程 4(2) t=254
t lg4＝lg25
≈ 2天 7.7小时
因此，最迟在 2 天 7.7 小时之前进行第 2 次注射。
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