大学物理学机械振动练习题

一、选择题

9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时质点的位移为A，且向x轴正方向运动，

2代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）

 AAAA 2O2O OAAOxxxxAA 22 (C)(B)(A)(D)

【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】

9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x的单位为cm，t的单位为s）为（ ）

22（A）x2cos(t)；

3322（B）x2cos(t)；

3342（C）x2cos(t)；

3342（D）x2cos(t)。

334【考虑在1秒时间内旋转矢量转过，有】

339-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，

x1的相位比x2的相位（ ）

x(cm)2o121t(s)xxo1x2t； （B）超前； 22（C）落后； （D）超前。

（A）落后

【显然x1的振动曲线在x2曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2】

9-4．当质点以频率作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A）

； （B）； （C）2； （D）4。 2x【考虑到动能的表达式为E1mv21kA2sin2(t)，出现平方项】

k229-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可

叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）

3； （B）； 22（C）； （D）0。

（A）

Ax1OA2tx2【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】

9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为T'，则

mmT'/T为（ ）

（A）2； （B）1； （C）【弹簧串联的弹性系数公式为

11； （D）。

22111，弹簧对半分割后，其中一根的弹性系数为，两弹簧并联后

2kk串k1k2形成新的弹簧整体，弹性系数为4k，公式为k并k1k2，利用T'2mT】

4k2k，考虑到T2，所以，m9--2．一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的（ ） （A）

3113；（B）；（C）；（D）。

224212122mvkAsin(t)，位移为振幅的一半时，有222【考虑到动能的表达式为Ek2，那么，13t,EkkA2()2】

332

9--3．两个同方向，同频率的简谐运动，振幅均为A，若合成振幅也为A，则两分振动的初相位差为（ ） （A）

2； （B）； （C）； （D）。

36322】

39-10．如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑平面上作简谐振动，

【可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为则振动频率为：（ ）

1（A）2k1k21；（B）m2k1k2；

m(k1k2)k1k2m(k1k2)m（C）2；（D）2。

k1k2k1k2k串k1k2m12k】 m【提示：弹簧串联的弹性系数公式为111，而简谐振动的频率为9-15．一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为：（ ） （A）T/4； （B）T/6； （C）T/8； （D）T/12。

【提示：由旋转矢量考察，平衡位置时旋转矢量在处，最短时间到1最大位移处为，那么，旋转

223矢量转过的角度，由比例式：:2t:T，有tT】 12669-17．两质点作同频率同振幅的简谐运动，M质点的运动方程为

x1Acos(t)，当M质点自振动正方向回到平衡位置时，

MN质点恰在振动正方向的端点。则N质点的运动方程为：（ ）

（A）x2Acos(t（C）x2Acos(t)；（B）x2Acos(t)；

22ONx)；（D）x2Acos(t)。 22【提示：由旋转矢量知N落后M质点相位】

29-28．分振动方程分别为x13cos(50t0.25)和x24cos(50t0.75)（SI制）则它们的合振动表达式为：（ ）

（A）x2cos(50t0.25)； （B）x5cos(50t)；

4tan1)； （D）x7。 43【提示：见图，由于x和x相位相差/2，所以合振动振幅可用勾股定理求出； x24合振动的相位为/4，而arctan】

3（C）x5cos(50t1

2

x45x113．一弹簧振子，当把它竖直放置时，作振动周期为T0的简谐振动。若把它放置在与竖直方向成θ角的光滑斜面上时，试判断下列情况正确的是：（ ） （A）在光滑斜面上不作简谐振动；

（B）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期仍为T0；

（C）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为T0/cos； （D）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为T0/cos。

【提示：由题意弹簧振子竖直放置时的周期为T0所以弹簧振子的T0是固有周期】

2m/k，但此弹簧水平放置时周期仍为2m/k，14．两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为l1和l2，且

l1=2l2，两弹簧振子的周期之比T1：T2为： （ ）

1（A）2； （B）2； （C）； （D）1/2。

2【提示：可由弹簧的伸长量求出相应的劲度系数k，再利用k判定】 m二、填空题

9--4．一质点在Ox轴上的A、B之间作简谐运动，

Ax11cmO1cmx22cmBO为平衡位置，质点每秒往返三次，若分别以 x1、x2为起始位置，则它们的振动方程为：

（1） ；（2） 。

【提示：O为平衡位置，A、B之间振动，振幅为2cm；每秒往返三次，说明始位置时，初相位的旋转矢量在第三象限与水平轴成

3，有6，x为起

4，则60的位置，所以31

x10.02cos(6t的位置，所以4)；同理，x2为起始位置时，初相位的旋转矢量在第4象限与水平轴成60角3，则x20.02cos(6t33)】

9--5．由图示写出质点作简谐运动的振动方程： 。

0.1x51o130.179t【提示：图中可见振幅为，周期为8秒，旋转矢量初相位在1秒后（即T象限与水平轴成45角的位置，所以/8后）达最大，则初相位在第44)】

x4，则x0.1cos(4t9--6．有两个简谐运动，其振动曲线如图所示，从图中可知

ABtA的相位比振动B的相位 ，AB 。

【提示：图中可见A落后 B，AB应为负值，o2】

2

9-20．如果地球上的秒摆在月球上的周期为秒，地球表面的重力加速度取s，月球上的重力加速度为 。

【秒摆在地球上的周期为2秒，由单摆的周期公式：T2lg42l知gT2，可见g月2 1.63m/s】

5．一单摆的悬线长l，在顶端固定点的铅直下方l/2处有一小钉， 如图所示。则单摆的左右两方振动周期之比T1/T2为 。

【由单摆的周期公式：Tl2l2lg知左边T12l2g，可见T1/T22】 26．有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k，（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；（2）把它们并联起来，下面挂一质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

k【提示：（1）弹簧串联公式为111，得k，而周期公式为T串k串k1k222m，有T串2k2m；k（2）并联公式为k并k1k2，可得k并2k，有T并2m】 2k4x(m)o7．一弹簧振子作简谐振动，其振动曲线如图所示。

则它的周期T ，其余弦函数描述时初相位= 。

【提示：由旋转矢量图，考虑在2秒时间内旋转矢量转过

22t(s)332，

有21124，可算出周期Ts，图中可见初相位31211AA2】

8．两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 m，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为

3/10m，则第二个简谐振动的振幅

为 ，第一、二两个简谐振动的位相差为 。

【提示：∵合振动的振幅与第一个简谐振动的振幅恰满足cos3，可知第二个简谐振动与合振动的位2相差为π/3，由勾股定理知第二个简谐振动的振幅为0.1m；第一、二两个简谐振动的位相差为 /2】

9．若两个同方向不同频率的谐振动的表达式分别为x1Acos10t和x2Acos12t，则它们的合振动频率为 ，每秒的拍数为 。

【提示：由和差化积公式，有x1x22Acos10121012tcost2Acos11tcost，22所以，合振动频率为5.5Hz，合振动变化频率（即拍频）为1Hz，即1拍/秒】

10．质量为m的物体和一轻弹簧组成弹簧振子其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由

简谐振动时，其振动能量E 。

【提示：振动能量的公式为E112m2A2kA2，而22T，有E22mT2A2】

11．李萨如图形常用来对于未知频率和相位的测定，如图所示的两个 不同频率、相互垂直的简谐振动合成图像，选水平方向为x振动， 竖直方向为y振动，则该李萨如图形表明Tx:Ty 。

【提示：李萨如图形与x的水平方向有2个切点，与y的竖直方向有3个切点，表明Tx:Ty2:3】

x/m0.1三、计算题

P0.059-14．某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：

（1）运动方程；

ot/s4（2）点P对应的相位；

（3）到达P点相应位置所需的时间。

v/cms1

9-18．如图为一简谐运动质点的速度与时间的 关系图，振幅为2cm，求 1.5（1）振动周期；

ot/s（2）加速度的最大值；

（3）运动方程。 3

k9-23．一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端， 弹簧的劲度系数为k。现有一质量为m的物体自离盘 h高处自由下落，掉在盘上没有反弹，以物体掉在盘上 的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表达式。（取物体 h掉入盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正。） M

-2

9-25．质量m=的物体以A=的振幅作简谐振动，其最大加速度为·s，求：（1）振动周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）当动能和势能相等时，物体的位移是多少（4）当物体的位移为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少

9-27．质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系统运动方程为x0.5cos(8t3)cm，求

（1）振动的角频率、周期、振幅和初相位；（2）振动的能量；（3）一个周期内的平均动能和平均势能。

9-28．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：

31x10.05cos10t，x20.06cos10t（SI制）

44（1）求它们合成振动的振幅和初相位。

（2）若另有一振动x30.07cos(10t3)，问3为何值时，x1x3的振幅为最大；3为何值时，x2x3的振幅为最小。

9-35．在一个LC振荡电路中，若电容器上的电容C107F，两极板上的交变电压为

（1）振荡的周期；（2）电路的u50cos104t伏特，若电路中的电阻忽略不计，求：自感；（3）电路中电流随时间变化的规律。

答案

一、选择题：B D B C D D D C B D C C B B 三、计算题

9-14．解：先做出旋转矢量图： 可见4秒的时间旋转矢量 A转过

x/m0.10.0525有； t24矢量图可见3P4t/s的角度，因此，

2Ao（1）简谐运动方程的标准式为：xAcos(t)，x-t曲线图中可见A0.1m，旋转

3，∴x0.1cos(5t)m； 2438(s)。 5（2）旋转矢量图可见P0；

（3）旋转矢量图可见，到达P点相应位置转过/3，t9-18．解：首先注意到所给的图像是v-t图， v/cms1简谐运动的速度表达式为vAsin(t)， 注意到题设条件“简谐运动振幅为2cm”，有： 1.5vmax/A；

（1）利用T2/有T4/3；

22（2）由amaxA有amax4.5cm/s；

ot/sA23（3）简谐运动的速度表达式为vAsin(t)， 做一个sin的旋转矢量图与v-t图对应，考虑到与v方程 中有负号，可见，75，v3sin(1.5t)cm/s， 665)cm。 6由简谐运动方程的标准式xAcos(t)有：x2cos(1.5t9-23．解：与M碰撞前，物体m的速度为v0m2gh k由动量守恒定律：mv0m(mM)v0，有碰撞后的速度为：

v0mmv0mmMmM2gh

mg碰撞点离开平衡位置距离为x0

k碰撞后，物体系统作简谐振动，振动角频率为h Mk mM由简谐振动的初始条件，x0Acos0, v0Asin0得：

m2gh)2vmg2mg2kh2Ax0(0)2()mM1 kkk(mM)gmM(m2ghv02khtan0mM

x0(mM)gmgkkmM∴振动表达式为：

mg2khk2kh1xAcos(t0)1cosmM ttan k(mM)g(mM)g229-25．解：（1）由amaxA有amax/A20，T；

1011（2）E总m2A22103J，再利用Ekm2A2sin2(t)，取振动在平衡

22位置的相位，即(t)（3）动能和势能相等→

23时，有Ek210J；

11111 mv2kx2，而简谐振动特征，mv2kx2kA2，得：

22222kx2A10.707A7.07103m； kA2→x2211利用简谐振动方程xAcos(t)求出相位：A时，cos(t)，

22（4）当x31，cos2(t)，

333344111利用Ekm2A2sin2(t)，EPm2A2cos2(t)，考虑到E总m2A2

22231有：Ek/E总，EP/E总。

4429-27．解：（1）由运动方程可见：8，T 0.25s，A5103m，；

3126（2）利用E总m2A2，有E总810J；

21（3）利用Ekm2A2sin2(t)，有：

2有(t)245,,,（一个周期内），则sin2(t)1Ek2201m2A2222mAsin(t)d(t)，有Ek24201cos2d 2m2A2可得：Ek42106J；

41同理：EP2201m2A2222mAcos(t)d(t)，有EP24201cos2d 2m2A2可得：EP42106J。

49-28．

解：根据题意，画出旋转矢量图 （1）A2A12A20.0520.0620.078(m)

AA2A5tan1 39.83948，28448； A1A26（2）31o3 , x1x2振幅最大； 45332 , 32(或)时, x2x3振幅最小。

44424x10，9-35．解：（1）振荡的周期可由交变电压的角频率求出：有T1T2L101H； （2）再由T2LC，有L，可得：224C（3）由i2 2104s；

dqdq[50cos104t]50C104sin104t ，C有iCdtdtu2∴i510sin104tA（或为i0.157sin104tA）