二次函数与方程、不等式

基础知识： 一、二次函数

1． 定义：形如y＝ax＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数. 2． 二次函数的有关性质

a＞0时，开口向上 ① 开口方向 a＜0时，开口向下

2

b② 对称轴方程 x＝－

2a

自然定义域：R ③ 定义域

指定定义域：D 3． 图象

y y a＞0 4． 二次

① 一般② 顶点

a＜0 x＝－b2a x＝－b2a

0 x 函数的解析式 0 2

x 式：y＝ax＋bx＋c 式：y＝a(x－m)＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点

2

2

③ 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两实根

二、二次方程

1． 当f(x)＝ax＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程

2

ax＋bx＋c＝0

其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标. 2． 根的判别式△＝b－4ac

△＞0时，方程有两个不相等的实数根； △＝0时，方程有两个相等的实数根；

△＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根 3． 根与系数的关系(韦达定理)

2

2

bx1＋x2＝－

c，x1x2＝

aa

4． 二次方程根的分布

根的位置<=>图象位置<=>等价条件 ax＋bx＋c＝0(a＞0) 若有二根x1＞1，x2＜1 则f⑴＜0

若有二根x1，x2∈(2，3) 则 f⑵＞0 f⑶＞0 △≥0

2

b －

三、一元二次不等式 一元二次不等式ax22a∈(2，3)

＋bx＋c＞0(或＜0)的解范围，使其函数值f(x)集，即函数f(x)＝ax2

＋bx＋c的自变量的取值＞0(或＜0)的自变量a＞0 0 y x 0 y x 0 y x 的取值范围.

△＞0 △＝0 △＜0 例题： 1．

选择填空题

① f(x)＝x＋bx＋c对任意实数t都有 f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷ C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴

解：由题意，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选A

x＝2

② 已知y＝loga2(x－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a的取值范围是( ) A.a＞1

B.－1＜a＜1

2

2

C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1 解：由函数的单调性的定义知：

y y随之增大，故有以下过程： x在(－∞，0)上增大时，函数值

x: －∞

减小增大0

u＝x－2x:＋∞

2

2

0

故必有0＜a＜1

∴ －1＜a＜1且a≠0.选B

③ 已知函数y＝log1(x－6x＋7)，则y( )

22

A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值 C.有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值 解：∵ u＝x－6x＋7∈[－2，＋∞) 而定义域要求u＞0，即u∈(0，＋∞) ∴ b＝log0.5u

∴ b∈(－∞，＋∞).选D 2．

填空题

2

2

①方程x－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______. 解：令y1＝x－2|x|，y2＝a

2

x则y1＝x22x2x(x0)(x0)，其函数图象如下：

2

思考：a为何(范围)值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？

②关于x的方程x－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)＋(β－1)的最小值是_______________. 解：方程有实数根， 故△＝4a－4×9≥0 ∴ a≤－3或a≥3 又α＋β＝2a，αβ＝9 ∴ y＝(α－1)＋(β－1)

＝(α＋β)－2(α＋β)－2αβ＋2 ＝4a－4a－16 ∵ a≤－3或a≥3 ∴ y≥8(a＝3时取等号) ∴ ymin＝8 3．

已知函数y＝x－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，求关于x的方程

2

2

22

2

2

2

2

2

xa3＝|a－1|＋1的根的范围.

分析：由于图象与x轴没有交点， 所以△＜0，解得a的取值范围

又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.

解：∵ y＝x－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，所以△＝(－4a)－4(2a＋30)＜0

2

2

解得：－2.5＜a＜3

⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为 x＝(a＋3)(2－a)

9 ＝－a－a＋6∈(

2

4,254]

⑵当a∈(1，3)时，方程化为 x＝(a＋3)a＝a＋3a∈(4，18)

2

9综上所述：x∈( 4．

设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k＋k＋1)x－2(a＋k)x＋(k＋3ak＋b)

2

2

2

2

4，18)

的图象与x轴都交于点A(1，0). ① 求a、b的值；

② 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值. 解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上， 故(k＋k＋1)－2(a＋k)＋(k＋3ak＋b)＝0 整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a)＝0 ∵ 对k∈R，上式恒成立

2

2

2

2

∴ 1－a＝0且b＋1－2a＝0 从而a＝1，b＝1

y＝(k＋k＋1)x－2(k＋1)x＋(k＋3k＋1) ⑵设B(α，0)，则|AB|＝|α－1|

∵(k＋k＋1)x-2(k＋1)x＋(k＋3k＋1)＝0 的两个根为1、α，由韦达定理

2

2

2

2

2

2

2

2

2

k1•α＝

223k1k12

k

整理得：(1－α)k＋(3－α)k＋(1－α)＝0 α＝1时，得2k＝0  k＝0 α≠1时，∵ k∈R，∴ △≥0 即(3－α)－4(1－α)≥0

2

2

5得：－1≤α≤

3且α≠1

5综合得：－1≤α≤

3

2∴ －2≤α－1≤

3

∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2] 即|AB|的最大值为2.

5．

2

设实数a、b、c满足

a－bc－8a＋7＝0 …………① b＋c＋bc－6a＋6＝0 …………② 求a的取值范围.

分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)＝a－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④ 由③④得b，c为方程 x±(a－1)x＋(a－8a＋7)＝0 的两个实数根，

由于b，c∈R，所以△≥0

即：[±(a－1)]－4(a－8a＋7)≥0 即：a－10a＋9≤0 得：1≤a≤9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

6．

设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1、x2满足

10＜x1＜x2＜

a.

Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；

x1Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜

2.

分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决. 证明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x.

因为x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2) 当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2， x－x1＜0，x－x2＜0

得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0 即x＜f(x).

而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)] ＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2) ＝(x1－x)[1－a(x－x2)]

1因为0＜x＜x1＜x2＜所以x1－x＞0，

a

11－a(x－x2)＞1－a·得 x1－f(x)＞0

a＞0

即 f(x)＜x1.

bⅡ.依题意知x0＝－

2a.

2

因为x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax＋(b－1)x＋c＝0的根，

b1所以 x1＋x2＝－

aa(x

b x0＝－

2a1x2)12aax1ax2a21

ax1因为ax2＜1，所以x0＜ 7．

2ax12

若关于x的二次方程7x－(p＋13)x＋p－p－2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜

22

2，求实数p的取值范围.

解：设f(x)＝7x－(p＋13)x＋p－p－2 根据题意得：

f(0)＞0

2

2

f⑴＜0 f⑵＞0 即 p－p－2＞0

p－2p－8＜0 p－3p＞0

解得：p∈(－2，－1)∪(3，4)

22

2