饱和粘性主动土压力的计算与土体参数的选择

一、相关定义

1、饱和度（degree of saturation）：

土中孔隙水的体积与孔隙体积之比，以百分数表示，即：

srvw100% vv或天然含水率与饱和含水率之比：

srw100% wsat饱和度愈大，表明土中孔隙中充水愈多，它在0~100%；干燥时Sr=0。孔隙全部为水充填时，Sr=100%。

工程上Sr作为砂土湿度划分的标准。

Sr < 50% 稍湿的 Sr = 50~80% 很湿的 Sr > 80% 饱和的

工程研究中，一般将Sr大于95%的天然粘性土视为完全饱和土；而砂土Sr大于80%时就认为已达到饱和了。

饱和土的有效应力概念：土体中任意点的应力可以从作用点的主应力得出。如土的空隙中充满水，水中应力为于水和土粒的

σ、σ、σ123计算

uw，则主应力由两部分组成。一是各项等值作用

uw，成为中性（或空隙水）压力。二是差值部分

σ1'σ1uw、

σ2'σ2uw和σ3'σ3uw，代表超过中性应力uw的部分，仅作用于土的固相上。

由于应力变化造成的各种可测量后果，如压缩、畸变和抗剪强度变化，都是由于有效应力

σ1'、σ2'和σ3'的变化所造成的。

饱和土的应力状态变量成为有效应力，通常用下式表示： 式中

σ'σuw

σσuw'――有效法向应力

――总法向应力 ――空隙水压力

该式称为有效应力公式，它是饱和土的应力状态变量的定义。事实证明，只需要一个单值的有效应力或应力状态变量［亦即（

σuw）］就可以描述饱和土的力学形状。更完整

的应力状态描述应当是写出三个正交方向中每个方向的有效应力，包括剪切分量。有效应力作为饱和土的应力状态变量，其合理性已为实验所证实并被普遍接受（Rendulic,1936；Bishop和Eldin,1950;Laughton,1955;Skempton,1961）。 有效应力概念已成为饱和土力学的重要基础。饱和土的所有力学性质均由有效应力控制。体积变化及抗剪强度变化均取决于有效应力的变化。换言之，有效应力变化将改变饱和土的平衡状态。有效应力概念在描述饱和土的形状方面取得的成功常常使人们把它当作是一个法则。实际上，该式所表达的有效应力公式并不是物理法则，但有效应力已被证实是控制饱和土形状的唯一应力状态变量。

2、粘性土:指具有粘性联结的松软土。具有可塑、膨胀、收缩等特性。一般按所含粒径小于0.005毫米的粘土颗粒的多少分为三类;1.粘土,其中的粘土颗粒含量大于30%;2.亚粘土,其中粘土颗粒含量在10～30%之间;3.轻亚粘土,其中粘土颗粒含量为3～10%

3、主动土压力

挡土墙背在墙后填土的侧压力作用下，离开填土方向向前移动或转动时，土体内出现主动滑裂面，同时产生剪切阻力作用，阻止土体滑移，使侧向压力减小，随着墙身向前位移的不断增加，墙后填土内的剪切阻力作用也随之不断增大，直至土的抗剪强度已完全发挥，土体达到主动极限平衡状态，此时墙后填土作用在墙背上的土压力减至某一最小值，该土压力称为主动土压力Pa.

二、土压力的计算

1、土压力的种类及产生条件：

根据挡土墙的位移情况和墙后土体所处的应力状态，土压力可分为静力土压力、主动土压力和被动土压力。其产生条件各不相同：

图1

图2

(1)、主动土压力

挡土墙背在墙后填土的侧压力作用下，离开填土方向向前移动或转动时，土体内出现主动滑裂面，同时产生剪切阻力作用，阻止土体滑移，使侧向压力减小，随着墙身向前位移的不断增加，墙后填土内的剪切阻力作用也随之不断增大，直至土的抗剪强度已完全发挥，土体达到主动极限平衡状态，此时墙后填土作用在墙背上的土压力减至某一最小值，该土压力称为主动土压力Pa. (2)、被动土压力

挡土墙在自重或外力作用下，墙背向后(填土方向)发生位移或转动，墙后填土受到墙背的推挤，亦向后产生位移，填土体内将产生被动滑裂面，填土内同时产生剪切阻力作用而阻止墙的挤压，使得侧向压力不断增大，随着墙身后位移不断增大，墙后土体内的剪切阻力作用也随之不断增大，直至土的抗剪强度已完全发挥，达到被动极属状态，比时填土对墙身所产生的抗力称为被动土压力Pp。 (3)、静止土压力

当挡土墙不发生任何位移时，墙后填土作用于墙背上的土压力，称为静止土压力Po。

2、土压力的计算方法

土压力主要有两种计算方法：郎肯法和库仑法 郎肯法的应用比较普遍，对于粘性土和非粘性土均适用；库仑法则主要针对于非粘性土侧压力的计算。

3、朗肯土压力理论 基本理论：

朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。在其理论推导中,首先作出以下基本假定。

(1)挡土墙是刚性的墙背垂直；

(2)挡土墙的墙后填土表面水平；

(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。 把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。

如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz仍保持不变，但σx将不断增大并超过σz值，当土墙挤压土体使σx增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O3，σz变为小主应力，σx变为大主应力，即为朗肯被动土压力(pp)。土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为45

。 2OazKa’’a图3

主动土压力的计算

根据土的极限平衡条件方程式

σ1=σ3tg(45°+σ3=σ1tg(45°-22

)+2c·tg(45°+) 22)-2c·tg(45°-) 22土体处于主动极限平衡状态时，σ1=σz=γz，σ3=σx=pa，代入上式得

当填土为粘性土时：

朗肯主动土压力计算公式为

pa=γztg(45°-2

)-2c·tg(45°-)=γzKa-2ca (1) 22由公式(1)，可知，主动土压力pa沿深度Z呈直线分布，如图4所示。

H-Z032c√KaγHKaHZH(一)PaH-Z03 粘性土主动土压力分布图 图4 当z=H时pa=γHKa-2cKa

在图中，压力为零的深度z0，可由pa=0的条件代入式(1)求得

z02cKa (2)

在z0深度范围内pa为负值，但土与墙之间不可能产生拉应力，说明在z0深度范围内，填土对挡土墙不产生土压力。

墙背所受总主动土压力为Pa，其值为土压力分布图中的阴影部分面积，即

1(HKa2cKa)(Hz0)2 (3)

122c2HKa2cHKa2Pa

4、库伦土压力理论

基本原理

库伦于1776年根据研究挡土墙墙后滑动土楔体的静力平衡条件，提出了计算土压力的理论。他假定挡土墙是刚性的，墙后填土是无粘性土。当墙背移离或移向填土，墙后土体达到极限平衡状态时，填后填土是以一个三角形滑动土楔体的形式，沿墙背和填土土体中某一滑裂平面通过墙踵同时向下发生滑动。根据三角形土楔的力系平衡条件，求出挡土墙对滑动土楔的支承反力，从而解出挡土墙墙背所受的总土压力。

主动土压力的计算

如图5所示挡土墙，已知墙背AB倾斜，与竖直线的夹角为ε，填土表面AC是一平面，与水平面的夹角为β，若墙背受土推向前移动，当墙后土体达到主动极限平衡状态时，整个土体沿着墙背AB和滑动面BC同时下滑，形成一个滑动的楔体△ABC。假设滑动面BC与水平面的夹角为α，不考虑楔体本身的压缩变形。

Ce90°-α-δβEdRA90°-θ-φcCGfgCθGαCGΦδθHbαhCGθERBaa)

图5 挡土墙破裂楔体受力示意图

b)

取土楔ABC为脱离体，作用于滑动土楔体上的力有：①是墙对土楔的反力P，其作用方向与墙背面的法线成δ角(δ角为墙与土之间的外摩擦角，称墙摩擦角)；②是滑动面PC上的反力R，其方向与BC面的法线φ角(φ为土的内摩擦角)；③是土楔ABC的重力W。根据静力平衡条件W、P、R三力可构成力的平衡三角形。利用正弦定理，得：

PW

sin()sin180()所以 PWsin() (4)

sin()其中 ψ=90°-(δ+φ)

假定不同的α角可画出不同的滑动面，就可得出不同的P值，但是，只有产生最大的P值的滑动面才是最危险的假设滑动面，P大小相等、方向相反的力，即为作用于墙背的主动土压力，以Pa表之。

对于已确定的挡土墙和填土来说，φ、δ、ε和β均为已知，只有α角是任意假定的，当α发生变化，则W也随之变化，P与R亦随之变化。P是α的函数，按数解法可求出P最大值时的α角，然后代入式(4)求得主动土压力的：

dP0的条件，用d1PaH22cos2()sinsincoscos()1coscos22

Pa1H2Ka (5) 2式中：γ、φ——分别为填土的重度与内摩擦角；

ε——墙背与铅直线的夹角。以铅直线为准，顺时针为负，称仰斜；反时针为正，

称俯斜；

δ——墙摩擦角，由试验或按规范确定。我国交通部重力式码头设计规范的规定是：①俯斜的混凝土或砌体墙采用

22～；②阶梯形墙采用；③垂直的混凝土或砌体233采用

～。 32β——填土表面与水平面所成坡角；

Ka——主动土压力系数，无因次，为φ、ε、β、δ的函数。可用下式计算；

Kacos2()sin()sin()coscos()1cos()cos()22

若填土面水平，墙背铅直光滑。即β=0，ε=0，φ0=0时，公式(5)即变为

1PaH2tg2(45)

22此式与填土为砂性土时的朗肯土压力公式相同。由此可见，在一定的条件，两种土压力理论

得到的结果是相同的。

由式(5)可知，Pa的大小与墙高的平方成正比，所以土压力强度是按三角形分布的。Pa的作用点距墙底为墙高的。按库伦理论得出的土压力Pa分布如图5所示。土压力的方向与水平面成(ε+δ)角。深度z处的土压力强度为

paz13dPad12zKazKa (6) dzdz2注意，此式是Pa对铅直深度z微分得来，paz只能代表作用在墙背的铅直投影高度上的

某一点的土压力强度。

粘性土的库伦土压力理论 在土压力的计算理论中，库仑理论因其概念清楚，适用范围较广而被广泛应用于挡墙的主动土压力的计算中。但是，库仑理论把填土视为无粘性并假定其内聚力为0，这与工程实际不相符。本文粘性土的主动土压力将工程中常用的简化处理方式公式化，便于按摩仓理论求解。

A、滑动体上无荷载时，粘性土的主动土压力计算的基本公式推导 1·1基本假定

仍以库仑理论为基础，墙后填土达到极限状态时的破裂面为平面，该平面通过墙趾。 1·2各符号意义如下

如图-1所示：

H ——挡墙高；

 ——粘性填土的容重；

 ——墙背AB与垂直方向的夹角；  ——填土面的倾角；

c ——填料间沿破裂面单位长度的粘聚力，可由土的剪切试验确定。  ——土的内摩擦角；

 ——填土与墙背间的摩擦角；

cG——挡墙与填料间单位长度的粘聚力，可根据挡土墙墙背光滑程度、排水情况和填

土

的性质来确定。

 ——破裂面BC与铅垂线的夹角。

1·3受力分析：

以滑动体的ABC为隔离体，其受力状态如图6所示。 其中：

（1）G——滑动体的重力，其大小为体积与容重的乘积，方向向下，作用点在滑动体的重心，在实际工作中，通常将土体假定为均匀分布的，故其中心位置可由滑动体ABC的几何形状确定。

（2）C——滑动面内聚力的合力，作用在滑动面上，方向沿滑动面向上，大小为CcBC；

（3）CG——墙背AB上的内聚力的合力，方向为沿墙背朝上，大小为CGcGAB。 （4）R——滑动面上的法向反力与内摩擦角提供的抵抗剪力的合力；其方向与法线方向的夹角为。

（5）E——墙面与填土间的法向反力与由外摩擦角提供的抵抗剪力的合力，其方向与法线方向的夹角为。

1·4 公式推导

隔离体ABC在以上各个力的共同作用下，处于极限平衡状态。利用图解法，该隔离体的力多边形如图6b所示。则有如下关系：

ABBCH cosHcos()

coscos()1cos()sin() (7） H222coscos()故：G又：hgbccosCGcos

ahabcosCcoscghbcbcsinCGsinefGahhgfg

对于三角形def，正弦定理可得：

fgcgctg(90)cgtg()

Ecos()ef

sin()cos()[GCcos

sin() CGcos(CsinCGsin)tg()] （8）

显然，E为的函数。当E为极大值时，所对应的就决定了滑动面BC的具体位置。 当然，在式（8）中，要求E的极值，若用手算的方法就有一定的难度，但是，由于当前计算机的普及，只要编制一个简单的程序，便可利用计算机很方便的求出E的极值和相应的值。也就是说，主动土压力及滑动面位置的确定，变得非常方便。

B、滑动体上有荷载时的公式应用

在上述的公式推导中，尚仅限于滑动体上无荷载。当滑动体上作用有荷载时，可按下述办法处理。不论滑动体上的荷载是何种形式（如集中力，满布均布荷载、局部均布荷载、满布或局部的非均布荷载等），只要简单地将“荷载”与滑动体的重力进行叠加，求出其大小和二者的合力作用点的位置后（运用初等力学的办法即可求解），用以替换式（7）中G（含大小与位置），即可继续使用式（8）进行求解。

C、当墙背为折线时的处理方法

在上述的公式推导中，墙背的形状仍为直线。当墙背为折线时，可以采用同样的思路和方法，只需将AB按折点位置分为两段，分别求出两段墙背上的内聚力的合力，并绘制相应的“力多边形”，同样不难求导出相应的表达式。限于篇幅，不拟详述。

D、考虑张裂隙时主动土压力的计算

Ch0DCθC'G1βe90°-α-δEd

Ah0FαR90°-θ-φcCGfgG2ΦCGδHbαhCGθERθBaa)b)图6考虑张拉裂隙时挡土墙破裂楔体受力示意图

在粘性土中，土压力沿墙高分布时，由于粘性土中内聚力的作用，常在粘性土体顶部形成张拉裂隙，土压力会出现零点，如图-2a）所示，其深度可按下式确定：

h02ctg(45)2此时的滑动楔体的力多边形如图-1b）所示，则有如下关系：FB

Hh0

cosBD(Hh0)cos()

coscos()G21cos()sin() （9） (Hh0)222coscos()其它推导与前相同。 故主动土压力为：

Ecos()[G2Ccos

sin()CGcos(CsinCGsin)tg()] (10)

式中：CcBD

CGcGFB

E、 计算实例

例1：某重力式挡土墙，墙高8.75m，墙背俯斜（=14º），填土面顷角=20º，=33º为现场实测破裂面（沿开挖面破裂），=32.4º，c=0.6174KPa，cG=0.4116KPa，=13º。填料表面无荷载作用，填料容重=17.64KN/m3，求主动土压力的合力。 （1）由式（7）求得

1cos(14-20)sin(3314) G867.36（KN/m） G17.648.752cos214cos(2033)（2）求AB8.759.02（m）

cos14BC8.75cos(1420)15（m）

cos14cos(2033)CcBC0.6174159.26（KN/m）

CGcGAB0.41169.023.71（KN/m）

将各数据代入式（8）得 E352.33（KN/m）

（3）若考虑张拉裂隙，则

h020.61740.04（m）

32.417.64tg(45)2G2859.45

FBBD8.750.048.98（m）

cos14(8.750.04)cos(1420)14.8（m）

cos14cos(2033)CcBD0.617414.89.14（KN/m）

CGcGFB0.41168.983.70（KN/m） E349.14（KN/m）

例2：仍采用例1的设计资料，但填土面分布有q9.8KN/m2的均布荷载，求主动土压力的合力。

（1）由式（7）求得滑动体的重力 G867.36（KN/m）

ACHsin()

cos()8.75sin(3314)10.625（m）

cos(3320)ACqqAC9.810.625104.13（KN/m）

GGq867.36104.13971.49（KN/m）

（2）将各数据代入式（8）得 E396.04（KN/m）

F 、计算方法的合理性讨论

（1）根据朗金土压力理论，其主动土压力计算时，忽略了墙背摩擦力的影响，因此，有理由相信，实际的主动土压力，将比朗金理论的计算结果要小一些。

（2）若利用规范的方法进行计算，其值要远大于按朗金理论的计算值，有理由相信它不够合理。

（3）而利用本文的方法进行计算，其结果比按朗金理论的计算结果要小一些，由此可以在一定程度上说明本文方法的合理性。

5、关于朗肯和库伦土压力理论的简单说明

1)朗肯和库伦土压力理论都是由墙后填土处于极限平衡状态的条件得到的。但朗肯理论求得是墙背各点土压力强度分布，而库伦理论求得是墙背上的总土压力。

2)朗肯理论在其推导过程中忽视了墙背与填土之间的摩擦力，认为墙背是光滑的，计算的主动土压力误差偏大，被动土压力误差偏小，而库伦理论考虑了这一点，所以，主动土压力接近于实际值，但被动土压力因为假定滑动面是平面误差较大，因此，一般不用库伦理论计算被动土压力。

3)朗肯理论适用于填土表面为水平的无粘性土或粘性土的土压力计算，而库伦理论只适用于填土表面为水平或倾斜的无粘性土，对无粘性土只能用图解法计算。

三、结束语

通过对土的侧向压力的学习，了解了土的三种侧向力的形成以及两种计算方法——郎肯法和库仑法。

在这次作协作性作业的过程中，我们组四成员团结合作、分工明确。联系课本中学到的知识，但没有局限于课本上的知识，利用图书馆的资源和网上查到的资料来共同完成了这次作业。我们不仅学到了关于土的侧向压力的知识，而且增强了自主学习的能力和团结协作的能力，这正是本次协作性作业的目的。

※ 参考文献

《土力学与基础工程》 （ 赵明华 主编 武汉工业大学出版社）

《非饱和土土力学 Soil Mechanacs for Unsaturated Soils》 （中国建筑工业出版社）