复数
一、考点、热点回顾
1.复数的有关概念 （1）复数
①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
注意：复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部. （2）复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C表示.
2.复数的分类
实数（b＝0）
纯虚数a＝0 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）虚数（b≠0）非纯虚数a≠0
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.
（2）只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di. （3）由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.
4.复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
5.复数的两种几何意义 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→复平面内的点Z（a，b）.
一一对应→
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→平面向量OZ.
6.复数的模
→→
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2. 注意：复数a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.
一一对应
二、典型例题
考点一、复数的概念 例1、下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④ 【解析】 对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.
【答案】 D
变式训练1、1.对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（ ）
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于1
解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； 对于D，i的平方为－1.故选C.
2.若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4
2
4－3a＝a，
解析：选C.易知2解得a＝－4.
－a＝4a，
考点二、复数的分类
m（m＋2）
例2、已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，
m－1
（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？
m（m＋2）
【解】 （1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
m－1
m（m＋2）
（2）要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
m－1
m（m＋2）
（3）要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
m－1
变式训练2、当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是
（1）纯虚数；（2）实数.
2
lg（m－2m－7）＝0，22
解：（1）复数lg（m－2m－7）＋（m＋5m＋6）i是纯虚数，则2
m＋5m＋6≠0，
解得m＝4.
2m－2m－7>0，22
（2）复数lg（m－2m－7）＋（m＋5m＋6）i是实数，则2解得m＝－2或m＝－3.
m＋5m＋6＝0，
考点三、复数相等 例3、（1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值；
（2）已知a2＋（m＋2i）a＋2＋mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值；
a
（3）若关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
2
1x＝－，x＋y＝0，2
【解】 （1）由复数相等的充要条件，得解得
1y＝x＋1，
y＝.22a＝2，a＝－2，a＋am＋2＝0，2
（2）因为a，m∈R，所以由a＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得解得或
2a＋m＝0，m＝－22m＝22，
所以a＝±2.
（3）设方程的实根为x＝m，
a
则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，
2
a3m2－2m－1＝0，71
所以解得a＝11或－.
5
10－m－2m2＝0，
变式训练3、已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.
解：由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），
2a－3a－1＝3，a＝4或a＝－1，所以2 即 a－5a－6＝0，a＝6或a＝－1，所以a＝－1.
考点四、复数与复平面内的点
例4、已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.
（1）在实轴上； （2）在第三象限.
【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有
1
2a－1＝0，解得a＝.
2
（2）若z对应的点在第三象限，则有 2a－1<0，11－1，. 解得－1 （1）位于第二象限； （2）位于直线y＝x上. 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点就是点Z（a2＋a－2，a2－3a＋2）. （1）由点Z位于第二象限，得 2a＋a－2<0，2解得－2 故满足条件的实数a的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z位于直线y＝x上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1. 故满足条件的实数a的值为1. 考点五、复数与复平面内的向量 →→→ 例5、（1）已知M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O为复平面的原点，试写出OM，ON，OP，→ OQ所表示的复数； （2）已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. →→→ 【解】 （1）OM表示的复数为1＋3i；ON表示的复数为4－i；OP表示的复数为2i； → OQ表示的复数为－4. →→ （2）复数1对应的向量为OA，其中A（1，0）；复数－1＋2i对应的向量为OB，其中B（－1，2）； →→ 复数－3i对应的向量为OC，其中C（0，－3）；复数6－7i对应的向量为OD，其中D（6，－7）. 如图所示. →→→→ （3）记O为复平面的原点，由题意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.设OD＝（x，y），→→则AD＝（x－2，y－3），BC＝（－5，－5）. x－2＝－5，x＝－3，→→由题知，AD＝BC，所以即故点D对应的复数为－3－2i. y－3＝－5，y＝－2， π 变式训练5、在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 3 _____________. 解析：3－3i对应向量为（3，－3），与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为23.故所得向量对应的复数是－23i. 答案：－23i 考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 （2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 【解】 （1）选B.因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1， 所以|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2. （2）法一：设z＝a＋bi（a，b∈R）， 则|z|＝a2＋b2， 代入原方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i， a＋a2＋b2＝2，a＝－15， 根据复数相等的充要条件，得解得 b＝8.b＝8， 所以z＝－15＋8i. 法二：由原方程得z＝2－|z|＋8i（*）. 因为|z|∈R，所以2－|z|为z的实部， 故|z|＝（2－|z|）2＋82， 即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得|z|＝17. 将|z|＝17代入（*）式得z＝－15＋8i. 变式训练6、已知复数z＝3＋ai（a∈R），且|z|<4，求实数a的取值范围. 解：法一：因为z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝32＋a2， 由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈（－7，7）. 法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上， 所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合， 由图可知－7 1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( ) A. B.2 解析:由复数相等的充要条件知, x+y＝０，ｘ－１＝０ 故x+y=0.故2x+y=20=1. 答案:D C.0 D.1 2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( ) A.4 B.-1 C.-1或4 D.-1或6 解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3, 所以得m=-1. 答案:B 3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________. 解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数. 答案:②③④ 4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为( ) A.z=-2-i B.z=2-3i C.z=3+2i D.z=-3-2i 解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3. 答案:D 5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆 解析:∵|z|2-2|z|-3=0, ∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,表示一个圆,故选A. 答案:A 6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________. 解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i, 所以=(-1,2),=(-2,-3). 又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 所以对应的复数为-1-5i. 答案:-1-5i 7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点, (1)在虚轴上,求复数z; (2)在实轴负半轴上,求复数z. 答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0, 所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0. (2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1 能力提升 8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________. 解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0, 即m≠sinθ+cosθ. ∵sinθ+cosθ∈[-2,2], ∴m∈(-∞,-2)∪(2,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________. 解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0 即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1. 答案:{a|a≠-1} 10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上, 设z=-a+ai(a>0). ∵|z|=1,∴a2= 1.而a>0, 2∴a=222i .∴z=22222i 22答案:z=11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________. 解析:设z=a+bi(a,b∈R), 则|z|=a2b2, 代入方程得,a+bi+a2b2=2+8i, ∴解得a=-15∴z=-15+8i. 答案:-15+8i 12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值. 解析:M∪P=P,∴M⊆P, 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1, 得解得m=1; 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 解得m=2. 综上可知m=1或m=2. 答案:m=1或m=2 13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y), 则x=2+cosθ,y=1+sinθ 即cosθ=x-2,sinθ=y-1 所以(x-2)2+(y-1)2=1. 所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 14． 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)． (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． 答案: (1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1. mm－1＝0， (2)∵z为纯虚数，∴2解得m＝0. m＋2m－3≠0. (3)∵z所对应的点在第四象限， mm－1>0， ∴2解得－3 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容