分布电容和分布电感比拟关系的严格推证

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第６期　电气电子教学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＥＥ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２００６　２００６年１２月　分布电容和分布电感比拟关系的严格推证　朱峰，李春茂　（西南变通大学　电气工程学院电工电子系，四川成都６１００３１）　摘要：比拟法是强电类“电磁场”教学的一个重要内容，本文首先分析某些现行“电磁场”教材利用比拟原理在推导平行平面场中关于分布电　容和分布电感参数之间的比拟关系所存在的缺陷，同时详尽地给出了比拟关系的严格推证。该研究工作对本科生和研究生在学习过程中深化　理解比拟法，提高理论素养也具有重要的意义。　关量词：分布电容；分布电感；比拟法；边界条件　中圈分类号：ＴＭ１５３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８一Ｏ６８６（２００　６】Ｏ６—００１３一Ｏ３　Ｓｔｒｉｃｔ　Ｐｒｏｖｅ　ｆｏｒ　Ａｎａｌｏｇｙ　ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ　Ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ　ＺＨＵ　Ｆｅｎｇ，ＬＩ　Ｃｈｕｎ－ｍａｏ　（Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎａｌｏｇｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｉｓｓｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｆｉｅｌｄｓ　ｃｏｕｒｓｅ　ｆｏｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｓｐｅｃｉａｌｔｙ．Ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｃｌａｓｓｉｃ　ｔｅｘｔｂｏｏｋ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｔａｉｌ　ａｎｄ　ｓｔｒｉｃｔ　ｐｒｏｖｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ａｎａｌｏｇｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ａｎｄ　ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ　ｆｏｒ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ａｎｄ　ｐｌａｎｅ　ｆｉｅｌｄｓ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｉｓ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｏｐｕｌｅｎｃｅ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｈａｓ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｅｐｅｎ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ａｔｔａｉｎｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｌｌｅｇｅ　ｓｔｕｄｅｎｔ　ａｎｄ　ｇｒａｄｕａｔｅ　ｓｔｕｄｅｎｔ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ　ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ；ａｎａｌｏｇｙ　ｍｅｔｈｏｄ，ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　１问题的提出　假设一平行平面结构，空间磁导率为　，假设一　个均匀载流导体系统由Ａ、Ｂ两个导体组成，每单位　引的任意一条路径，以　表示；导体Ａ的电流Ｊｒ方　向指向纸里，导体Ｂ方向指向纸外，Ａ单位长度带　电量为ｒ，导体Ｂ单位长度带电为一ｒ。二维导体分　界面的法向和切向分别用“ｎ”和“ｔ”表示。　，’ｌ　长度的外电感为Ｌ。假设同样边界几何特征下，介　电常数分别为￡的均匀媒质每单位长度的电容为　Ｃ，则该两导体系统的电感与电容与空间磁导率和　介电常数之间满足　ＬＣ＝　ｅ　（１）　为证明式（１），将一些必要参数和积分路径标注　图１任意形状下平等平面场截面和相关参数标记示意　于图１。图中平行平面场由导体Ａ和导体Ｂ组成。　简明起见，设Ａ导体外任意一条设闭合路径以兀　因为没有考虑内自感，目前关于式（１）的推导，　国外相关资料只是说明式（１）的近似性成立Ⅲ。国　内进行严格推证的教材有冯慈璋教授主编的《电磁　表示，由导体Ａ上任意一点到导体Ｂ上任意一点所　收稿日期：２００６－－０８－－２５，修回日期：２００６－－１０－－０９　第一作者　朱四川省高等教育教学改革工程项目资助，批准号：ＥＪｔｌ教２００５１９８￣　峰（１９６３一），男，安徽颖上人，博士，教授，研究方向为电磁理论、计算电磁学等。　维普资讯 http://www.cqvip.com １４　电气电子教学学报　第２８卷　场》［２］（以下称该教材为“冯本电磁场”）。而目前市　布是无关的。同样，电容的定义与导体表面密度也　面上９Ｏ年代以后所出版的某些同类教材［。“］，在引　没有关联，这是两个系统。当然　电压与电流是有正　用时也没有发现其推导过程中存在的问题。笔者认　比关系，而方程的边界没有实质性体现出电压、电流　为，式（１）的推导存在几个不足之处。　关系。那么，式（１）是否成立呢？答案是肯定的。　（１）原文规定推导的前提是：“为了避免引起导　体内部的场及内电感，考虑一对极薄（厚度无穷／ｂ）　２严格的理论推导　的导管，…”，该限定条件要求导体Ａ、Ｂ是无限薄的　首先分析单位长度的分布电容情况，由于静电　导体筒。笔者认为该假设是不合适的，实际上任　平衡，两导体皆为等位体，设它们之间的电位差为　何材料导体都不可ｌｉｌｌ此，特别对高压传输线或电　Ｕ，列出关于空间电位的方程　气化接触线，导线的尺寸不能忽略。事实上，该近似　ｆ　·Ｅ一０　一一　假设条件也是没有必要的。我们这里假设Ａ、Ｂ导　体皆为实心导体，式（１）同样成立。这一点，我们在　１　·Ｄ一０　一０　下文中将给出严格的说明。　（２）原推导中，根据导体外电场强度和磁场强度　Ｅ　Ｉ　ｉ．ｏ，－０＝＞｛　～．㈤　方程和边界条件为：　电容的定义为　１　Ｈ霉一一一ｏ　兰　１　Ｅｎ　一詈　２　Ｃ一　一二　一　一—　Ｌ一　一—　㈣　（５）　由式（３）、式（４）可以明显看出，空间电场分布与两导　由于载流导体外任意点无电流和电荷分布，根　体之间的电压存在正比关系。　据静电场和恒定磁场的基本微分表达式很容易得到　同样，关于磁场的方程为　上述方程。需要指出的是，式（２）关于边界条件的磁　ｒ　·Ｈ＝０　Ｂ—　Ｘ　Ａ　场表达式不仅是对无限薄的导体筒适用，同样适用　　Ｉ·Ｂ一０一　　Ａ—Ｏ　一　Ａ一０　（６）　于实体导体。因为，在两导体系统内部的恒定磁场，　由于平衡的原因，导体内部各处的的磁感应强度一　Ｂ　Ｉｒ一０　　．定为零。因为若不为零，电流就会受到磁场力的作　由于是平行平面场，故向量磁位只是沿纵向（以Ｚ　用而不会平衡。因此式（２）的适用条件不是仅限定　轴方向表示）的，大小以Ａ表示。故有　于无限薄的导体筒情况的。　ｆＢ—　×Ａ＝＝＝一；；×　Ａ　Ｊ＝》　（３）在“冯本电磁场”的原推导中，据式（２）就说　１　Ｂ　ｌｒ＝　·（；；×　Ａ）＝０　明“空间电场与磁场就一定具有正比关系，且空间电　Ａ　）一　Ａ　ＡＩ￣＝　场与磁场处处垂直”。笔者认为此理由不充分。虽　然电场与磁场在导体以外的空间满足同样的场方　程，但边界条件中，一个是切向，一个是法向，构造上　Ｈ　一；　．ｆ一　；×　１＝＝＝　完全不同。且电场和磁场是相互没有正比关系的，　（；　×　ｅｔ）：一一１ａＡ　·（７）　＿边界条件之间没有必然联系。例如，在导体边界上，　电场和磁场是两个没有任何线性关联的函数　电感的定义为　ｒＨｔ—Ｋ＝＝＝厂ｌ（Ｐ，　）　１　Ｅｎ一　－ｆｚ（ｐ，　∞　Ｌ　篇Ｈ，　Ｉ　　ｄ．　一Ｉｌ一　　．　ｄｌ㈣　根据唯一性定理，对第一类边界问题，对于同样　在空间，电场和磁场分布完全不同，它们不存在　的方程和同样的边界条件，解是唯一的。同样的方　正比关系。可见这是原推导理论中的一个重要缺　程和边界相差一个比例系数，解也相差一个比例系　陷。事实上，原推导没有抓住平行平面场的基本物　数。Ａ与　的空间分布一定是正比关系。　理属性，因为电感的定义根本上和导线上的电荷分　（下转第１７页）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期　田社平等：具有初始电压电容的等效电路及其应用　Ｊ（Ｓ）一Ｕ（ｓ）·　一ＣＵｏ　１７　（７）　解；由已知条件可知，电容Ｃ　、Ｃ２的初始电压　分别为“　（ｏ）一』ｓＲ和“ｃｚ（ｏ）一　，作出￡≥ｏ时等　显而易见，式（６）和式（７）所表达的电压一电流　效电路如图４（ｂ）所示。可以看出，电路的激励分别　关系是完全相同的，即图５所示的戴维南等效电路　和诺顿等效电路是相互等效的。这也验证了本文关　为冲激电流和阶跃电压。直接写出阶跃响应为　１（￡）一ＩｓＲ（１一ｅ－　）Ｅ（￡）　于具有初始电压电容的戴维南和诺顿等效电路分析　的正确性。　Ｈ　Ｈ　式中ｒ—Ｒ（Ｃ　＋Ｃ２）为时间常数。冲激响应为　￡）：＝＝　）　ｌ　由叠加定理可求出响应甜（￡）为　（ｆ）一“ｌ（ｆ）＋甜２（￡）＝＝＝　Ｃ　１　ｓＣ　＋（　Ｃ，Ｉｓ　Ｒ　＋　Ｃ２Ｕ２－ＩｓＲ　ｅ－　）　本例也可以用其它电路分析方法如三要素法进　Ｕｄｓ　（ａ）戴维南等效电路　（ｂ）诺顿等效电路　行分析：首先求出Ｃ　、Ｃｚ并联后在￡一ｏ＋时刻两端　电压值，由于电路中存在冲激电流，因此要用电荷守　恒原理求得最后结果。与本文方法相比，此法步骤　较为繁琐。　图５具有初始电压电容的Ｓ域等效电路　值得指出的是，由于电容和电感互为对偶元件，　因此不难得出具有初始电流电感的戴维南和诺顿等　效电路，本文不再赘述。　参考文献：　［１］Ｃ八狄苏尔，葛守仁著．林争辉译．电路基本理论ＥＭ］．北　京：人民教育出版社，１９７９　Ｅ２－１李瀚荪．简明电路分析基础ＥＭ］．北京　高等教育出版社，　２００２　４进一步的讨论　可以在　域对具有初始电压电容的戴维南和诺　顿等效电路作进一步分析。为了分析方便，这里取　ｔ。一ｏ。由图１（ｃ）得到如图５（ａ）所示的ｓ域戴维南　等效电路，由图３得到如图５（ｂ）所示的Ｓ域诺顿等　效电路。由图５（ａ）可得ｓ域电压一电流关系为　ｕ（　）一　５　Ｌ／　Ｅ３－１苏中义，陈洪亮，李丹．基本电路理论ＥＭ］．上海；上海科学技　术文献出版社，２００２　＋　（６）　Ｅ４－１陈希有．电路理论基础ＥＭ］．北京：高等教育出版社，２００４　［５］田社平，陈洪亮，李萍．阶跃函数的定义及其在零点的取值　口］．南京；电气电子教学学报。Ｚ００５（２）　由图５（ｂ）可得ｓ域电压一电流关系为　（上接第１４页）　即：　分布电感二端网络模型，也应该考虑内自感。如此　是（　一　）　（９）　来，电容与电感之间也不应该遵守式（１）模型了。　【Ａ一知　那么，真空中传输线的信号传输速度也会稍低于光　根据式（５）、式（８），并代入式（９），很容易得到式（１）。　如此，我们完成了平行平面场中关于分布电容　和分布电感比例关系的严格推证。　速，且分布电参数模型在多大电尺寸下适用。　参考文献：　Ｅ１］Ｒ．Ｆ．Ｃｏｎｎｏｒ，ＷＡＶＥ　ＴＲＡＮＳＭＩＳＳＩＯＮＥＭ］．Ｅｄｗａｒｄ　Ａｒ—　ｎｏｌｄ，１９７８：３—２１　３结论　笔者在推证分析式（１）平行平面场中关于分布　［２］冯慈璋．电磁场（第二版）ＦＭ］．高等教育出版社，１９８０：１５４—　１５７　电容和分布电感之间关系时，严格利用了磁位与电　位的同结构关系，通过比拟实现了严格推证。笔者　与国内广大同行一样，克服了“冯本电磁场”的推导　Ｅ３］路宏民．工程电磁兼容ＦＭ］．西安　西安电子科技大学出版　社，２００３：１７５—１７７　［４］王宝志．微波技术与工程天线ＦＭ］．人民邮电出版社．１９９１；　２７－－３】　过程中的三个缺陷。严格来说，对传输线模型中的