§8.1 成对数据的统计相关性
学习目标
1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．
知识点一 相关关系
1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 思考 相关关系是函数关系吗？
答案 不是．函数关系是唯一确定的关系． 2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二 相关关系的刻画
1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点
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表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数
(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝
xi－xyi－y
i＝1
.
2
n
xi－x
i＝1
n
yi－y2
i＝1
n
(2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ①若r>0时，成对样本数据正相关； ②若r<0时，成对样本数据负相关；
③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系．( √ ) 2．样本相关系数r越大，两变量的相关性越强．( × ) 3．散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．( √ ) 4．若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．( × )
一、变量间相关关系的判断
例1 (1)(多选)下列关系中，属于相关关系的是( ) A．正方形的边长与面积之间的关系 B．农作物的产量与施肥量之间的关系 C．出租车费与行驶的里程
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D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 答案 BD
解析 A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
(2)某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：
x y
①画出散点图；
②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？
解 ①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系． 反思感悟 两个变量是否相关的两种判断方法 (1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
跟踪训练1 (多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )
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答案 BC
解析 图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系． 二、样本相关系数的性质 例
(1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表：
r
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 D
解析 |r|越接近1，相关性越强，故选D.
(2)在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是( ) 1
A．y＝－x＋1
2C．y＝x＋1 答案 A
解析 ∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，
∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关． ∴可排除B，C，D，故选A. 反思感悟 样本相关系数的性质
B．y＝x－1 D．y＝－x2 甲 0.82 乙 0.78 丙 0.69 丁 0.85 2
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(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱． (2)r的绝对值越接近1，相关性越强． 跟
踪
训
练
2
(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 答案 C
解析 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关． (2)(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是( ) A．|r|越大，相关程度越大 B．|r|越小，相关程度越大
C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系 D．|r|越接近1时，线性相关程度越强 答案 AD
解析 对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD. 三、样本相关系数的计算及应用
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例3 某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x y
(1)画出(x，y)的散点图；
(2)计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度． 解 (1)画出(x，y)的散点图如图所示．
2 30 4 40 6 50 8 70
(2)x＝5，y＝47.5， 4i＝1
4i＝1
4i＝14
i＝120，y2i＝9 900，xiyi＝1 080， x2
xiyi－4xy
故样本相关系数r＝
i＝1
4
4
i＝1
222x2i－4xyi－4yi＝1
＝
≈0.982 7. 120－4×529 900－4×47.52
1 080－4×5×47.5
由样本相关系数r≈0.982 7，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高．
反思感悟 线性相关强弱的判断方法
(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．
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跟踪训练3
假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x y
5
计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知≈8.9，2≈1.4)．
2＋3＋4＋5＋6
解 ∵x＝＝4，
5
2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0
＝5.
5
i＝1
5i＝1
5
79
i＝1
2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 i＝90，y2i≈140.8，xiyi＝112.3，x2
y＝5
xiyi－5
i＝15
xy＝112.3－5×4×5＝12.3，
i－5x2＝90－5×42＝10， x2i＝15
i－5y2＝140.8－125＝15.8， y2i＝1
5
xiyi－5xy
∴r＝
i＝1x2i－5
＝i1
＝
x
2
2
y2i－5yi＝15
5
12.312.312.312.3
＝＝≈≈0.987.
8.910×15.81582×791.4×
1．(多选)下列命题正确的是( ) A．任意两个变量都具有相关关系
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B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系
C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关 答案 CD
解析 A显然不对，B是函数关系，CD正确．
2．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，则变量y与x之间( ) A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定 D．不确定 答案 B
解析 变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，|r|＝0.983 2接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B. 3．两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 8，则下列判断正确的是( )
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 答案 C
解析 由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.
4．据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)
9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956
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答案 否
解析 图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．
5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：
固定资产价值 工业增加值
根据上表资料计算的样本相关系数约为________． 答案 0.991 8
3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10
解析 x＝＝6.6，
10
15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45
＝31.5.
10
10
xi－xyi－yi＝1
3 15 3 17 5 25 6 28 6 30 7 36 8 37 9 42 9 40 10 45 y＝
∴r＝≈0.991 8.
xi－x2
i＝1
10
yi－y2
i＝1
10
1．知识清单： (1)相关关系． (2)散点图．
(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．
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(4)样本相关系数． 2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．
1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系( ) A．相关关系 C．无任何关系 答案 A
2．(多选)给出下列关系，其中有相关关系的是( ) A．人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系 B．曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C．苹果的产量与气候之间的关系
D．森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系 答案 ACD
3．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )
B．函数关系 D．不能确定
A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③② 答案 D
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解析 对于(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系；对于(2)，图中的点没有明显的带状分布，是③不相关；对于(3)，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系．故选D. 4．(
多
选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 答案 BCD
解析 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．
5．变量X与Y相对应的一组成对样本数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则( ) A．r2 6．如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．(填序号) B．0 答案 ①④ 解析 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系． 7．给出下列x，y值的数据如下： x y 则根据数据可以判断x和y的关系是________．(填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”) 答案 确定关系 解析 由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系：y＝2x＋1，所以x，y是一种确定的关系，即函数关系． 8．对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有________． 1 3 2 5 4 9 8 17 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高； ②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分； ③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关． 答案 ①②③ 解析 散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确；该 12 / 18 同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，②正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确． 9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示： 年龄x(岁) 身高y(cm) (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关． 解 (1)散点图如图所示． 1 78 2 87 3 98 4 108 5 115 6 120 (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系． 10．关于两个变量x和y的7组数据如下表所示： x y 求变量y与x的样本相关系数，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关． 1 解 x＝(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4， 71 y＝(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3， 77 i＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414， x2i＝1 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 13 / 18 7 xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542， i＝17 i＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393， y2i＝1 7 xiyi－7xy ∴r＝ i＝1x2i－7 i＝1 x 2 2 y2i－7yi＝17 7 ＝ 5 414－7×27.42124 393－7×81.322 948.66 ≈0.837 5. 3 520.92 18 542－7×27.4×81.3 ≈ ∵r>0，∴变量y与x之间是正相关关系． 11．两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是( ) 模型 样本相关系数r A.模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 答案 A 12．某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是( ) 模型1 0.98 模型2 0.80 模型3 0.50 模型4 0.25 14 / 18 A．r4 B．r2 解析 去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系． 14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看： 15 / 18 (1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； (2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________． 答案 (1)乙 (2)数学 解析 (1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；(2)由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成绩更靠前． 15．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 人均销售额 利润率(%) 根据表中数据，下列说法正确的是( ) A．利润率与人均销售额成正比例函数关系 B．利润率与人均销售额成反比例函数关系 C．利润率与人均销售额成正相关关系 D．利润率与人均销售额成负相关关系 答案 C 解析 根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示． 1 6 12.6 2 5 10.4 3 8 18.5 4 3 3.0 5 4 8.1 6 7 16.3 16 / 18 由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系．故选C. 16．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表： 学生号 x y 计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系． 解 x＝ 1 ×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， 10 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71 1 y＝×(84＋64＋…＋57＋71)＝68， 1010 i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， x2i＝1 10 i＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， y2i＝1 10 xiyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796， i＝1 ∴样本相关系数为 73 796－10×107.8×68 r＝ 116 584－10×107.8247 384－10×682 17 / 18 ≈0.750 6， ∴这10个学生的两次数学考试成绩具有线性相关关系． 18 / 18 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容