初中数学动点专题练习

动点问题专题训练

1、（09包头）如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运B 动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

解：（1）①∵t1秒， ∴BPCQ313厘米，

∵AB10厘米，点D为AB的中点， ∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米， ∴PC835厘米， ∴PCBD． 又∵ABAC， ∴BC，

∴△BPD≌△CQP． ························································································· （4分） ②∵vPvQ， ∴BPCQ，

又∵△BPD≌△CQP，BC，则BPPC4，CQBD5， ∴点P，点Q运动的时间t∴vQCQt543154BP343A D Q C P 秒，

厘米/秒． ············································································ （7分）

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得解得x803154x3x210，

秒．

初中数学专题辅导—动点问题

∴点P共运动了

803380厘米．

∵8022824，

∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过

803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ················································（12分）

34x6与坐标轴分别交于A、B2、（09齐齐哈尔）直线y两点，动点P、Q同

时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四

y B 边形的第四个顶点M的坐标．

解（1）A（8，0）B（0，6） ·················· 1分 （2）OA8，OB6 AB10

点Q由O到A的时间是点P的速度是

6108P x 818（秒）

O Q A 2（单位/秒） ·· 1分

当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQt，OP2t

························································································································· 1分 St ·

当P在线段BA上运动（或3t≤8）时，OQt，AP6102t162t, 如图，作PDOA于点D，由

S12OQPD35t22PDBOAPAB，得PD486t5， ·································· 1分

245t·················································································· 1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）P，··········································································································· 1分

55824初中数学专题辅导—动点问题

24824122412··························································· 3分 I1，，M2，，M3， ·555555

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴

相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），

与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k+4=(8+k)， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，

∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P

在线段OB上时,作PE⊥CD于E. ∵△PCD为正三角形，∴DE= ∴PE=3322

2

2

12CD=

32，PD=3，

.

∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，

33AOABPEPB4452， PB∴,即=初中数学专题辅导—动点问题

∴PB3152,

3152∴POBOPB8∴P(0,∴k31528)， 8.

，

3152当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－∴k=－315231523152－8)，

－8， －8或k=－3152∴当k=－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三

角形是正三角形.

4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

初中数学专题辅导—动点问题

解：

初中数学专题辅导—动点问题

5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单

B 位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动

E 的时间是t秒（t＞0）． Q （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距

D 离是 ；

A C P

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ

图16

的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

解：（1）1，；

58（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP由△AQF∽△ABC，BC52324， 得

QF412t53t．

．∴QF4565t45t．

∴S即S(3t)25， ．

B t2t（3）能．

①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得即

t33t5AQACAPABE Q D A C 图4

，

B P

． 解得t98．

Q D A P

E C ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 即

t53t3AQABAPAC，

． 解得t158图5

．

B

Q G D A P C(E) 初中数学专题辅导—动点问题

（4）t52或t4514．

①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

PCt，QC2QC2342222QGCG[(5t)][4(5t)]55．

52由PC2，得t23422[(5t)][4(5t)]55，解得t．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

3445222(6t)[(5t)][4(5t)]，t5514】

6（09

河南））如图，在Rt△ABC中，

ACB90°，B60°，BC2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点A E，设直线l的旋转角为． （1）①当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ②当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；

（2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说A 明理由．

E O  D l C B C O （备用图）

B

解（1）①30，1；②60，1.5； „„„„„„„„4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. „„„„„„„„6分 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,

∴∠A=300.

∴AB=4,AC=23. ∴AO=

12AC=3 . „„„„„„„„8分

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2.

初中数学专题辅导—动点问题

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形 „„„„„„„„10分

7（09济南）如图，在梯形

ABCD中，

动点M从B点出发沿线段AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值． B （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

BCA D N M

C

解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KHAD3． ····························································································· 1分 在Rt△ABK中，AKABsin4542．224

BKABcos454222·································································· 2分 4 ·

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC B

543

22∴BCBKKHHC43310························································· 3分

A

D

A

D

N

C

B

C

K

H

G

M

（图①） （图②）

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BGAD3 ∴GC1037 ························································································· 4分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CNt，CM102t． ∵DG∥MN

∴∠NMC∠DGC 又∠C∠C

∴△MNC∽△GDC

初中数学专题辅导—动点问题

∴即

CNCDt5CMCG ································································································ 5分

102t750解得，t ································································································· 6分

17（3）分三种情况讨论：

①当NCMC时，如图③，即t102t ∴t B

M

103 ········································································································ 7分 A

D

N

C

B

C

A

D N

M H E

（图④） （图③）

②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得EC在Rt△CEN中，coscEC12MC12102t5t

5tNCtCH3 又在Rt△DHC中，coscCD5

∴

5tt3解得t5258

····································································································· 8分

解法二：

∵∠C∠C，DHCNEC90 ∴△NEC∽△DHC ∴即

NCDCt5ECHC

5t3258

∴t ········································································································ 8分

12NC12t

③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.FC解法一：（方法同②中解法一）

初中数学专题辅导—动点问题

1MC60解得t

17解法二： cosCFC2 102t5t3A D

N F

B

（图⑤）

∵∠C∠C，MFCDHC90 ∴△MFC∽△DHC ∴

FCHCMCDCH M

C

t102t2即 3560∴t

17256010综上所述，当t、t或t时，△MNC为等腰三角形 ················· 9分

81731

8（09江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60. （1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx. ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

A E B

图1 A E B

D F C

B

A E P N

D F C B

A E P D N F C

M D F C

图2

D

M 图3

（第25题） A

E B

图5（备用）

F C

图4（备用）

初中数学专题辅导—动点问题

解（1）如图1，过点E作EGBC于点G． ························· 1分

∵E为AB的中点，

∴BE1212A E B

D F C

图1

AB2．在Rt△EBG中，∠B60，∴∠BEG30．··············2分 ∴BGBE1，EG2122 3．G

即点E到BC的距离为3． ···········································3分 （2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．

∵PMEF，EGEF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EPGM，PMEG3．

同理MNAB4． ······························································································ 4分 如图2，过点P作PHMN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC∠B60，∠PMH30． ∴PH12PM32A E P H

B

N

D F C

．32． 32522∴MHPMcos30G M 图2

则NHMNMH4．

在Rt△PNH中，PNNHPH2352222 7．∴△PMN的周长=PMPNMN374． ············································ 6分

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角

形．

当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR． 类似①，MR．

2∴MN2MR3． ································································································ 7分

3∵△MNC是等边三角形，∴MCMN3．

此时，xEPGMBCBGMC6132． ········································· 8分 A E B

P R

G

M

图3

C

B

G

图4

M

D N F

E A

P D F N C

B

A E D F（P） N C

G

图5

M

初中数学专题辅导—动点问题

当MPMN时，如图4，这时MCMNMP此时，xEPGM61353．

3．

当NPNM时，如图5，∠NPM∠PMN30． 则∠PMN120，又∠MNC60， ∴∠PNM∠MNC180．

因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．

∴MCPMtan301． 此时，xEPGM6114． 综上所述，当x2或4或5·······················10分 3时，△PMN为等腰三角形． ·

9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）Q（1，0） ····································································································· 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度． ·························································································································· 2分 （2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF ∴AF1046．

BE4．

y 在Rt△AFB中，AB826210 3分 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵ABC90,ABBC ∴△ABF≌△BCH．

AMFONDCPHGxBQE初中数学专题辅导—动点问题

∴BHAF6,CHBF8．

∴OGFH8614,CG8412． ∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴

APABAMAF35MPBF． 45tt10AM6MP8．

35t,ONPM45t ∴AMt，PM． ∴PNOM10．

设△OPQ的面积为S（平方单位） ∴S12(1035t)(1t)54710t310t2（0≤t≤10） ························································ 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

47310 ∵a<0 ∴当t102(310)476时， △OPQ的面积最大． ····························· 6分

此时P的坐标为（（4） 当

t539415，

295135310） ． ················································································ 7分

或t时， OP与PQ相等． ························································ 9分

10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

B E C 图1 A D

F G

B

E C 图2 A

D

F G

B 图3

C E G

A

D

F 初中数学专题辅导—动点问题

解：（1）正确． ·····························································（1分） 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME． （2分） BMBE．BME45°，AME135°． CF是外角平分线，

DCF45°， ECF135°．

AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°，

A M B E

D

F C

G

BAECEF．

△AME≌△BCF（ASA）． ············································································· （5分）

······································································································ （6分） AEEF． ·

（2）正确． ····························································· （7分） 证明：在BA的延长线上取一点N．

使ANCE，连接NE． ········································ （8分） BNBE．

NPCE45°．

N A D

F 四边形ABCD是正方形， AD∥BE． DAEBEA．

B C E G

NAECEF．

△ANE≌△ECF（ASA）． ·············································································（10分）

····································································································· （11分） AEEF． ·

11（09

天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90°，OA2，OB4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y

B

x O A （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

B y x O A

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BD∥OB，求此时点C的坐标． y B O A x 初中数学专题辅导—动点问题

解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD.

设点C的坐标为0，mm0. 则BCOBOC4m. 于是ACBC4m.

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2OC2OA2， 即4mm2，解得m22232.

3点C的坐标为0，2······························································································ 4分 . ·（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B, 则△BCD≌△BCD. 由题设OBx，OCy， 则BCBCOBOC4y，

在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC2OC2OB2.

4yyx，

222即y18x2 ·········································································································· 6分

2由点B在边OA上，有0≤x≤2，

 解析式y18x20≤x≤2为所求.

2 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， y的取值范围为

32≤y≤2.················································································ 7分

（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BD∥OB. 则OCBCBD.

OCBCBD，有CB∥BA. 又CBDCBD，Rt△COB∽Rt△BOA.

OBOC有，得OC2OB. ············································································ 9分 OAOB在Rt△BOC中，

设OBx0x0，则OC2x0. 由（Ⅱ）的结论，得2x018x202，

初中数学专题辅导—动点问题

解得x0845．x00，x0845. ·············································································10分 8516. ·点C的坐标为0，12（09太原）问题解决 F

M 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边A 上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

CECD12D

时，求

AMBN的值．

B E

方法指导：

为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

BN

类比归纳

在图（1）中，若

CECDCECD13，则

AMBNN

图（1）

C

的值等于 ；若

AMBNCECD14，则

AMBN的

值等于 ；若

n的式子表示）

1n（n为整数），则的值等于 ．（用含

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

ABBC1mmCE1AM1，，则

CDnBN的值等

于 ．（用含m，n的式子表示）

解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．

F M A D

B

N 图（1-1）

C E

F

A M D E

B

N

图（2）

C

初中数学专题辅导—动点问题

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．

∴MN垂直平分BE．∴BMEM，BNEN．············································ 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴ADC90°,ABBCCDDA2． ∵CECD12设BNx，则NEx，NC2x． ，CEDE1． 在Rt△CNE中，NE2CN2CE2． ∴x2x1．解得x22254，即BN54 ················································ 3分 ． 在Rt△ABM和在Rt△DEM中，

222AMABBM， 222DMDEEM，

2222 ······································································· 5分 AMABDMDE． 设AMy，则DM2y，∴y22y1．

2222 解得y ∴AMBN1415，即AM14． ················································································ 6分

． ··································································································· 7分

54． ·········································································· 3分

方法二：同方法一，BN 如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．

F M G A D

B E

C N

图（1-2）

∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．

∴NGCDBC． 同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AGBN54．

EBCBNM90°． ∵MNBE，

MNGBNM90°，EBCMNG． NGBC，

在△BCE与△NGM中

EBCMNG， BCNG，∴△BCE≌△NGM，ECMG． ······························５分

CNGM90°．初中数学专题辅导—动点问题

∵AMAGMG，AM=∴类比归纳

25AMBN1554114 ······························································ 6分 ．·································································································· 7分 ．（或

410）；

917；

n122n1············································································10分

联系拓广

nm2n1nm12222 ····································································································12分