华农大2010复变期末考试答案

2010学年第2学期 考试科目： 复变函数与积分变换 一、 单项选择题( 2*15=30分) DBDBD CACBA CBBDA 二、填空题（2*5=10分）

1，65(cos(arctan8)isin(arctan8))； 2，arctan4； 33，2i； 4，9；

15，；

s三、计算题（本大题共5小题，每题6分，共30分）

21．设f(z)my3nx2yi(x3lxy2)为解析函数，试确定l,m,n的值.（6分） 解 若f(z)my3nx2yi(x3lxy2)， 则u(x,y)my3nx2y,v(x,y)x3lxy2,

由于f(z)解析，因此u(x,y),v(x,y)满足C-R方程. 即

uvuv,, xyyx2nxy2lxy∴ ， 2223mynx(3xly)m1,nl3.

22. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛？（共9分，每小题3分）

(1)nin15in（1）(n]. )； （2）n(1i)； （3）[n22n02n0n0n解 （1）因为

15i261, 22复变函数与积分变换 第 1 页 共 6页

15in15i)因此，通项()发散. 1,n时.所以级数(22n0n（2）因为

nnn ,(1i)n2n(2)n11n(2)n1lim1,所以绝对收敛。 对于正项级数，由于nnn2n1(2)(2)n因此级数n(1i)n绝对收敛. nn02in11,调和级数发散. （3）因为

nnn1nin因此级数不是绝对收敛.

n0n111111又因为，()i(1)，

24635n1n(1)n111且级数  和

246n12n(1)n11111都是条件357n12n1in收敛的，因此级数收敛，且为条件收敛.

n0n23. 将函数 f(z)1 在 z01展开成泰勒级数，并指出其收敛域.（6分） 43z14的奇点为z， 43z3解 函数f(z)故在z01处的泰勒展式的的收敛半径为R147. 33复变函数与积分变换 第 2 页 共 6页

1143z73[z(1)]11 713(z1)713n ()(z1)n7n07f(z)3n7 n1(z1)n, z-(1).3n07

z13dz.（6分） 24. 计算积分2324(z2)(z1)z3z13解 被积函数f(z)2在z3内的孤立奇点有1与2，且f(z)324(z2)(z1)在z3外只有孤立奇点，而且

),] Res[f(z111Rsef[2(),0]sRe2[3zz(z12z)(1z24) ,0]1.所以，由留数定理

z13dz2iRes[f(z),]2i. 2324(z2)(z1)z3

得分

四、综合应用题（本大题共2小题，共16分）要求写清楚详细解题过程。 25．设函数u(x,y)epxcosy为某一解析函数f(z)的实部，试确定p的值与解析函数f(z).（8分）

解 由于u(x,y)epxcosy为解析函数的实部，因此u(x,y)为调和函数，

2u2u 即， 220,

xy22u2pxu又，2pcosye,2cosyepx, xy复变函数与积分变换 第 3 页 共 6页

2u2u所以，22p2cosyepxcosyepx(p21)cosyepx0,

xy故， p1.

y)令 f(z)u(x,iv(x,由于yf(z)是解析函数，因此u,v满足CR方程，

即，

vuvuepxsiny,pepxcosy, xyyxvuepxsiny两边同时对x积分得， xysinypxe对

1pexsinydx v(x,y)p (y),又由

vupepxcosy, yx1pxcosyepx(y)peco sy,p1,所以 (y)0,(y)c,c为常数。 p即

因为p1,p所以，v(x,y)1sinyepxc, p当p1时，f(z)excosyiexsinyicezic, 当p1时，f(z)excosyiexsinyicezic. 这里，c为任意常数.

26. 将函数fz区域.（8分）

解 因为fz1zazb1ab展开为z的洛朗级数，并指出其收敛

zazb abzazb整个复平面被圆周za,zb分成了三个部分：za;azb;和zb. （i）当za时，

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fzabzazbabbzaznn11111z1z ()(()())

abb1za1zabbn0ban0aba11 (n1n1)zn.abn0ba（ii）当azb时，则

fzza1,1. bzabzazbabbzzann11111z1a ()(()())

abb1zz1aabbn0bzn0zbzznan ().abn0bn1n0zn1（iii）当zb时，有

fzba1,1 zzabzazbnn11111b1a ()(()())

baabz1z1abzn0zzn0zzzn1n (ba).n1abn0z复变函数与积分变换 第 5 页 共 6页