2013北京市延庆县2013届高三一模统考数学(理科)

北京市延庆县2013届高三一模统考

数学（理科） 2013年3月

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A{1,3,m}，B{1,m}，ABA，则m（

）

A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3

log4x,x01f(x)2. 已知函数，则f[f()]（ ） x163,x0A．9 B．11 C．9 D． 99）

3. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整

到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

A．420 B．560 C．840 D．20160 4. 在极坐标系下，圆C:4sin30的圆心坐标为（ ） A．(2,0) B．(2,2) C．(2,) D． (2,)

22x2y225. 已知双曲线221(a0,b0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y16x的焦

ab点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．y333x C．yx D．y3x x B．y3226. 已知直线l1:ax(a1)y10，l2:xay20，则“a2”是“l1l2”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（

A．2 B． 22 C．3 D．23

（7题图）

）

8. 已知函数f(x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（ ） A．当a0时，x1x20，x1x20 B． 当a0时，x1x20，x1x20 C． 当a0时，x1x20，x1x20 D． 当a0时，x1x20，x1x20

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知|a|1，|b|2，向量a与b的夹角为60，则|ab| ．

10. 若复数z(mm2)(m1)i（为虚数单位）为纯虚数，其中mR，

则m ．

11. 执行如图的程序框图，如果输入p6，则输出的S ．

12. 在ABC中，a,b,c依次是角A,B,C的对边，且bc．若

2a2,c23,A6，则角C ．

13. 如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点

D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则

BE ． BC（13题图）

14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对

应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的

线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n0 2 4

（14题

次操作完成后(n1)，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f(n)，则

f(3) ；f(n) ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分） 已知f(x)3sin2x2sin2x．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若x[0,

6]，求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

16. （本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，ABC60，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB底面ABCD．

(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD； （Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角

A M P Q B D

CM的值． MBDC的大小为60，求CP

C

17. （本小题满分13分）

空气质量指数PM2.5 (单位:g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空

气质量总体较好?（注：不需说明理由)

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优

或良的概率；

(Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优

或良的天数,求X的分布列及数学期望．

甲城市

乙城市

3 2 0 4

3 0 2 2 4

5 5

4 8 9 6

6 4

6 1 5 1

7 6 9 7

7 8

8 8 0 7

8 2 3 0

9 1 8 0 9

9 8

18. （本小题满分13分） 已知函数f(x)2a2lnx(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)在区间[1,e]的最小值．

12xax(aR)． 2

19. （本小题满分14分）

已知动点P(x,y)与一定点F(1,0)的距离和它到一定直线l:x4的距离之比为(Ⅰ) 求动点P(x,y)的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知直线l:xmy1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l:x4的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

1． 2

20. （本小题满分13分）

A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：

(1)对任意x[1,2]，都有(2x)(1,2) ；

(2)存在常数L(0L1)，使得对任意的x1,x2[1,2]，都有|(2x1)(2x2)|

L|x1x2|．

(Ⅰ)设(x)31x,x[2,4]，证明：(x)A；

(Ⅱ)设(x)A，如果存在x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么这样的x0是唯一的； (Ⅲ)设(x)A，任取xn(1,2)，令xn1(2xn),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xkp

Lk1xk||x2x1|成立．

1L

高三数学（理科答案） 2013年3月

一、选择题：(5840) B B C D D A D B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．7 10．2 11．14．

311 12．120 13． 3221357j,,,； n2（这里j为[1,2n]中的所有奇数） 22222三、解答题：(5630) 15． （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3sin2xcos2x1 2sin(2x T 由6)1 …………4分

2，f(x)最小正周期为． …………5分 22622 2k2x2k …………7分

33 2k2x2k(kZ)，得 …………6分

3kx6k …………8分

f(x)单调递增区间为[（Ⅱ）当x[0,3k,6k](kZ)． …………9分

6]时，2x[,]， …………10分

662f(x)在区间[0,]单调递增， …………11分

6

[f(x)]minf(0)0，对应的x的取值为0． …………13分

16．（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，所以PQAB， 因为侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，PQ侧面PAB， 所以PQ平面ABCD． ………3分（Ⅱ）连结AC，设ACBDO，建立空间直角坐标系Oxyz，

则O(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(3,0,0)，P(31,,3)，………5分 22PD(331,,3),平面ABCD的法向量m(0,0,1)， 22设斜线PD与平面ABCD所成角的为，

m·PD|则sin|cosm,PD|||m||PD|330． ………8分 10271344（Ⅲ）设CMtCP(3333t,t,3t)，则M(t,t1,3t)， 2222BM(33t3,t1,3t)，DB23(1,0,0)， ………10分 22设平面MBD的法向量为n(x,y,z)，则nDBn·DB0x0，

33nMBn·MB0(t3)x(t1)y3tz0，

22取z3，得n(0,6t,3)，又平面ABCD的法向量m(0,0,1)………12分 3t2m·n所以|||cosm,n||cos60|，所以

|m|n|31，

6t223()3t2解得t2（舍去）或t

2CM2．所以，此时． ………14分

CP5517． （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．

………2分

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

102， 153 ………4分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

51， 153 ………6分

在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

212． 339

………8分

(Ⅲ)X的取值为0,1,2，

………9分

2011C50C10C52C10C5C101032，， P(X0)P(X1)P(X0)222C1521721C15C15X的分布列为：

X P 0 2 3102 2172131022数学期望EX01 ………13分 2

721213

18． （本小题满分13分） 解：函数f(x)的定义域为(0,)，

………1分

x2ax2a2(x2a)(xa)(Ⅰ)f(x)， ………4分 xx（1）当a0时，f(x)x0，所以f(x)在定义域为(0,)上单调递增； …5分 （2）当a0时，令f(x)0，得x12a（舍去），x2a， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下： 此时，f(x)在区间(0,a)单调递减， 在区间(a,)上单调递增；

………7分

（3）当a0时，令f(x)0，得x12a，x2a（舍去）， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下： 此时，f(x)在区间(0,2a)单调递减， 在区间(2a,)上单调递增．

………9分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知当a0时，f(x)在区间(0,2a)单调递减，在区间(2a,)上单调递增．

………10分

e时，f(x)在区间[1,e]单调递减， 21所以，[f(x)]minf(e)2a2eae2； ………11分

2e1（2）当12ae，即a时，f(x)在区间(1,2a)单调递减，

22（1）当2ae，即a在区间(2a,e)单调递增，所以[f(x)]minf(2a)2aln(2a)，………12分 （3）当2a1，即所以[f(x)]min

19． （本小题满分14分）

21a0时，f(x)在区间[1,e]单调递增， 21 ………13分 f(1)a．

2(x1)2y21x2y2，化简并整理，得 解：(Ⅰ)由题意得1．

43|x4|2x2y2所以动点P(x,y)的轨迹C的方程为椭圆1． ………3分

43（Ⅱ）当m0时，A(1,)、B(1,)，D(4,)、E(4,)

直线AE的方程为：2x2y50，直线BD的方程为：2x2y50，

3232323255,y0，直线AE、BD相交于一点(,0)． 225假设直线AE、BD相交于一定点N(,0)． ………5分

2方程联立解得x证明：设A(my11,y1)，B(my21,y2)，则D(4,y1)，E(4,y2)，

xmy122由x2y2消去x并整理得(3m4)y6my90，显然0，

1346m9，． ………7分 yy12223m43m433因为NA(my1,y1)，NE(,y2)，

22333所以(my1)y2y1my1y2(y1y2)

2229m36m 0 ………11分 223m423m4由韦达定理得y1y2所以，NA//NE，所以A、N、E三点共线， ………12分

同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N(,0)．14分 20． （本小题满分13分）

解：(Ⅰ)对任意x[1,2]，(2x)312x,x[1,2]，

3523(2x)35，133352，所以(2x)(1,2)．

对任意的x1,x2[1,2]，

|(2x1)(2x2)||x1x2|2312x12312x11x231x22，

3312x123312x11x231x2，

2312x11x231x2222所以0＜

12x1222， 3令

312x1312x11x21x23＝L，0L1，

|(2x1)(2x2)|L|x1x2|，所以(x)A． ………5分 (1,2),x0x0使得x0(2x0)，x0(2x0)则 (Ⅱ)反证法:设存在两个x0,x0由|(2x0)(2x0)|L|x0x0|，得|x0x0|L|x0x0|，所以L1，矛盾，故结论成立． (Ⅲ)x3x2

………8分

////(2x2)(2x1)Lx2x1，

所以|xn1xn||(2xn)(2xn1|

L|xnxn1| L2|xn1xn2| ……Ln1|x2x1|

|xkpxk||(xkpxkp1)(xkp1xkp2)……(xk1xk)|

xkpxkp1xkp1xkp2xk1xk

Lkp2x2x1Lkp3x2x1＋…+Lk1x2x1Lk1(1Lp)Lk1|x2x1||x2x1|． ………13分

1L1L