知识点总结高等代数

一行列式定义

a11a21a12La22La1na2nMann1、n级行列式aijnMMan1an2L（1）等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1j1a2j2Lanjn（2）的代数和，这里j1j2Ljn是一个n级排列。当j1j2Ljn是偶排列时，该项

前面带正号；当j1j2Ljn是奇排列时，该项前面带负号，即：

aijna11a21a12La22La1na2nMannMMan1an2Lj1j2Ljn(1)(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn。

2、等价定义

aijni1i2Lin(1)(i1i2Lin)ai11ai22Lainn和aijni1i2Lin和j1j2Ljn(1)(i1i2Lin)(j1j2Ljn)ai1j1ai2j2Lainjn

3、由n级排列的性质可知，n级行列式共有n!项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式

1）上三角、下三角、对角行列式 2）副对角方向的行列式 3）范德蒙行列式：

二、行列式性质

1、行列式与它的转置行列式相等。

2、互换行列式的两行（列），行列式变号。

3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。 4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。

5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。

6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。

三、行列式的按行（列）展开

1、子式

1）余子式：在n级行列式Daij中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n-1级行列式称为aij的余子式，记作Mij。

2）代数余子式：Aij(1)ijMij称为aij的代数余子式。

3）k级子式：在n级行列式Daij中，任意选定k行和k列(1kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素，按原来顺序构成一个k级行列式M，称为D的一个k级子式。当(kn)时，在D中划去这k行和k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列式M称为k级子式M的余子式。

2、按一行（列）展开

1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即 按第i行展开Dai1Ai1ai2Ai2LainAin(i1,2,L,n); 按第j列展开Da1jA1ja2jA2jLanjAnj(j1,2,L,n);

2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即

ai1Aj1ai2Aj2LainAjn0(ij);或a1iA1ja2iA2jLaniAnj0,(ij).

3、按k行（k列）展开

拉普拉斯定理：在n级行列式中，任意取定k个行（k列）(1kn1)，由这k行（k列）元素组成的所有的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 4、其他性质

1）设A为n阶方阵，则AA； 2）设A为n阶方阵，则kAknA；

3）设A,B为n阶方阵，则ABAgB，但ABAB； 4）设A为m阶方阵，设B为n阶方阵，则

A0BA0BAgB，但ABAB。

5）行列式的乘法定理：两个n级行列式乘积等于n级行列式

四、行列式的计算

1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。

方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于Dn1的代数式来表示Dn，依次从D1D2D3D4LDn，逐级递推便可以求出Dn的值。 方法二：数学归纳法。第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到Dn关于Dn1和Dn2的递推关系式。

方法三：加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列（或m行m列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下：

a11LLLan1La1nLLan1010a1La11LLLan1Lana1nLan1a11L或La1nan1LLLLan1b11b10La11LLLan1L0a1nLan1

特殊情况取a1a2Lan1或b1b2Lbn1。

方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。

方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式f(x)实行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c，根据多项式相等的定义，比较f(x)与的g(x)某一项系数，求出c值，便可求得Dcg(x)。 2、行列式计算中常用的类型：

类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如

ONNOO，等等）。 OO注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的

行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。

类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。

OOOOO,NONNNNNN）。

（1）“三对角”行列式（O注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。

首先得到一个一般的递推公式DnpDn1qDn2，然后可以用以下两种方法之一求出Dn的表达式：

先计算D1,D2,D3等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。

间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于Dn和Dn1的方程组，从而消去Dn1就可解得Dn。

LLNNLM）。 M（2）“爪型”行列式（

注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。

LLNNLM）。

M（3）Hessenerg型行列式（

类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。 注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。

类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。 注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。 类型六：其他形式行列式。

五、克莱姆法则

1、克莱姆法则：如果含有n个未知量的n个方程的线性方程组

a11x1a12x2La1nxnb1a11LaxaxLaxb2112222nn2的系数行列式不等于零，即DLLLan1Lan1x1an2x2Lannxnbn则方程组有唯一解：

a1nL0， an1其中Dj(j1,2,Ln)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n级行列式。

2、含n个未知量的n个方程的齐次线性方程组

a11x1a12x2La1nxn0axaxLax02112222nn只有零解的充要条件是系数行列式D0；有非零解的充要条件Lan1x1an2x2Lannxn0是系数行列式D0.