6.1 空间解析几何基础知识
一、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以的指向就是z轴的正向。
角度转向正向y轴时，大拇指
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点
有序数组（x,y,z）
特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）
空间两点间距离公式：
特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）
。
二、空间中常见图形的方程 1、球面
已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有
称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是
。
，
2、平面
到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点， 根据题意有|MA|=|MB|，
化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。 3、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例
4、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。 （1）椭球面
椭球面与三个坐标面的交线：
2
2
（2）x+y=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念
一、准备知识 1、邻域
设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,
。
2、区域 平面上的点集
称为开集，如果对任意一点
，都有
的一个邻域
。
设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称n元数组n元数组
的全体为n维空间，而每个
称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标
说明：
n
n维空间的记号为R；
n维空间中两点间距离公式： 设两点为
特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
二、多元函数的概念 1、多元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P））. 类似地可定义三元及三元以上函数。 当n≥2时，n元函数统称为多元函数。
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。
例1、求
的定义域。
解：
所求定义域为
.
2、二元函数z=f（x,y）的图形
设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）∈D，对应的函数值为z=f（x,y），这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一个空间点集为二元函数的图形。
，这个点集称
二元函数的图形通常是一张曲面。
三、多元函数的极限
例2、求
。
解：原式
。
例3（教材332页习题6.2，2题（1）题）、求
。
例4（教材332页习题6.2，2题（2）题）、求
。
四、多元函数的连续性
1、定义 设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0∈D，如果则称二元函数f（P）在点P0处连续。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。 一般地，求
时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，
。
则f（P）在点P0处连续，于是
例5（教材332页习题6.2，3题（1）题）、判断在原点是否连续？
6.3 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量
。
如果存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）
处对x的偏导数，记为
。
同理可定义函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为
，记为。
如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导
数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，记作。
同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处
。
22
例1.求z=x+3xy+y在点（1,2）处的偏导数。 解：
例2.求z=x（x＞0，x≠1）的一阶偏导数
y
有关偏导数说明：
偏导数是一个整体记号，不能拆分；
例3.（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。
4x
（1）z=（1+3y）。
（2）z=（lny）。
xy
例4.（340页2（2））求u=（1+xy），在点（1，2，3）的一阶偏导数。
z
二、高阶偏导数
函数z=f（x,y）的二阶偏导数为
纯偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例5.设
，
混合偏导
求 解：
。
例6.（338页例6）设z=xye，求
2
y
6.4 全微分
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量
1.全增量的概念
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设域内的任意一点，则称这两点的函数值之差于自变量△x，△y的全增量，记为△z，即
为这邻
为函数在点P对应
2.全微分的定义
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的全增量为
，其中A，B不依赖于△x，△y而仅与x,y有关，
，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，A△x+B△y称为函数z=f
（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即 dz=A△x+B△y.
函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。
二、多元函数连续、可导、可微的关系
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。 事上
可以表示
故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。
定理1 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在
点（x,y）的偏导数必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为
。
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理2 如果函数z=f（x,y）的偏导数在点（x,y）可微分。
存在，且在点（x,y）连续，则该函数
记全微分为
全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数
。
三、例题分析
2x
例1.（教材344页例2（3））、求全微分z=xy+esiny。
例2.（教材344页例2（2））、求全微分
。
例3.（教材344页习题6.4，1题（2）题）、求全微分
。
6.5 多元复合函数求导法则
一、链式法则 定理 如果函数具有连续偏导数，则复合函数
都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）
在对应点t可导，则：
定理 假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数z=f（u（x,y）,v（x,y））作为x,y的函数有偏导数，且
，
。
例1.设
，而u=xy,v=x+y,求。
解：
。
例2.（教材348页例2（1））、求导数
例3.（教材348页例2（2））、求导数
例4.求导数z=f（xy,x+y）
例5.（教材349页例5）、设z=F（x+y,x-y）。求
2
2
。
例6.（教材353页习题6.5，4题）、设
例7.（教材350页例6）、设f（xy,x-y）=x+y。求
解：u=xy,v=x-y,则
2222
x+y=（x-y）+2xy=v+2u
22
故f（u,v）=2u+v，或f（x,y）=2x+y
22
。
（这不是变量代换，而是自变量改变文字）。所以
。
二、全微分形式不变性
设函数z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分、
。
全微分形式不变性的实质：
无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。
例8.（教材351页例7（3））、求全微分z=（x+y）e
xy
例9.（教材351页例7（3））、求全微分z=f（2x+3y,e）
xy
6.6 隐函数及其求导法则
例1、siny+e-xy=0,求y对x的导数。
x
2
例2、xy+lny-lnx=0，求dy。
例3、x+y-1=0，求y对x的导数。
2
2
例4、（357页例3（1））z-3xyz-a=0，求偏导及dz。
3
3
例5、（357页例3（4））
求偏导及dz。
6.7 二元函数的极值
1.二元函数极值的定义
设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y）：
若满足不等式f（x,y）＜f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极大值； 若满足不等式f（x,y）＞f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极小值； 极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。 2.多元函数取得极值的条件 定理1（必要条件）
设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f′x（x0,y0）=0，f′y（x0,y0）=0。
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。 定理2（充分条件）
设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又f′x（x0,y0）=0, f′y（x0,y0）=0,,令f′′xx（x0,y0）=A，f′′xy（x0,y0）=B,f′′yy（x0,y0）
=C,。则f（x,y）在点（x0,y0）处是否取得极值的条件如下：
2
（1）B-AC＜0时具有极值，当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；
2
（2）B-AC＞0,则不是极值点；
2
（3）B-AC =0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
223
例6、（363例1）求f（x，y）=x-2xy+2xy+y极值。
3.多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。 求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。
3
例7、（365例3）做一个容积为32米 的长方体无盖水箱，问它的长、宽、高各取何
值时用料最省？ 解：
6.8 二重积分
一、问题的提出 1、曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高 特点：平顶
柱体体积=？ 特点：曲顶 曲顶柱体
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱
体的体积，
曲顶柱体的体积
二、二重积分的概念
定义 设f（x，y）是有界闭区域 D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域
，其中
表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个
上任取
一点作乘积，（i=1，2，…，n），并求和，如果当
各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时，这和式的极限存在，则称函数f（x，y）在
闭区域D上可积，此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记为，
即.
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为dσ=dxdy， 故
二重积分可写为
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质1：若σ为D的面积， 性质2：线性性质
性质3：对区域具有可加性
a b 为常数
性质4：
正性：如果f（x，y）≥0（），则≥0。
单调性：若在D上，f（x，y）≤g（x，y）， 则有
特别 设M、m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则
（二重积分估值不等式）
性质5：
性质6：设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ为D的面积，则在D上至少存在一点
使得
（二重积分中值定理）
四、二重积分的计算 计算二重积分
如果积分区域为：a≤x≤b，
［X－型］
其中函数
在区间[a，b]上连续.
的值等于D为底，以曲面z=f（x，y）为曲顶柱体的体积。
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，得
如果积分区域为：c≤y≤d，
［Y－型］
例1（教材374页例3）、 设D=[0，1；0，1].求二重积分 解：
例2（07年7月）、已知积分区域D是由y=x，x=-1，y=1所围成的区域，计算
例3（教材375页例4）、设D是由抛物线及直线y=x-2所围成的闭区域，求：
1）D的面积σ
2）
（第一问，求面积）
例4、求
，其中D是由抛物线和所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
五、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式：
［X－型］
［Y－型］
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