1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共65分）

一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= (A) x0x1 (C) x0x1

( )

(B) x0x2 (D) x0x2

( )

(D)

2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= (A) －3 3．函数y=tg(

(B) －6

(C) 3 22 3( )

11x)在一个周期内的图像是 23

4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

(A) arccos

( )

(C)

3 3(B) arccos

1 3 2(D)

2 3( )

5．函数y=sin(

32x)+cos2x的最小正周期是

高考试卷

(A)

 21] 2(B)

 (C) 2 (D) 4

( )

6．满足arccos(1－x)arccosx的x的取值范围是 (A) [－1,－

(B) [－

1,0] 2(C) [0,

1] 2(D) [

1,1] 2( )

7．将y=2x的图像

(A) 先向左平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位

(B) 先向右平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像．

8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是

(A) 202

(B) 252

(C) 50

(D) 200

( )

1x19．曲线的参数方程是t (t是参数，t0),它的普通方程是

y1t2(A) (x－1)(y－1)=1

2

( )

(B) y=

xx2 21x(C) y11 21x(D) yx1 21x( )

10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 (A) 2

(B) 0

22x3y2与椭圆

(C) 1 4(D) 6

11．椭圆C

(A)

941关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是

( )

x22y32491

(B)

x22y32941

(C)

x22y32941

(D)

x22y32491

( )

12．圆台上、下底面积分别为、4,侧面积为6,这个圆台的体积是

高考试卷

(A)

23 3(B) 23

(C)

73 6(D)

73 313．定义在区间,的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,）的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：

①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)(B) ②与③

(C) ①与③

(D) ②与④

( )

x014．不等式组3x2x 的解集是

3x2x(A) x0x2 (C) x0x( )

(B) x0x2.5

6

(D) x0x3

15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

(A) 150种

(B) 147种

(C) 144种

(D) 141种

( )

第Ⅱ卷 (非选择题共85分)

二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．

16．已知(axx99)的展开式中x3的系数为,常数a的值为________ 2417．已知直线的极坐标方程为sin(18．

4)=

2,则极点到该直线的距离是_____ 2sin7cos15sin8的值为_______ cos7sin15sin8高考试卷

19．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题： ①若l垂直于内的两条相交直线，则l； ②若l平行于,则l平行于内的所有直线； ③若m,l,且lm,则； ④若l,且l,则； ⑤若m,l,且∥,则m∥l．

其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上) ．

三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分10分) 已知复数z312223i,复数z,z在复数平面上所对应的点分别i．2222为P,Q．证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

21．(本小题满分11分)

已知数列an,bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且p1，

q1．设cnanbn,Sn为数列cn的前n项和．求lim22．（本小题满分12分）

Sn．

nSn1甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已

知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v．．．．．．．．(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．

I．把全程运输成本．．．．．．y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域；

II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ ．．．．．．23．（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．

高考试卷

I．证明ADD1F； II．求AE与D1F所成的角； III．证明面AED面A1FD1；

IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积VFA1ED1 24．(本小题满分12分)

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0II．设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<(25)（本小题满分12分）

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．

1． ax125． 21997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．

1．B 11．A

二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．

16．4 17．

2．B 12．D

3．A 13．C

4．C 14．C

5．B 15．D

6．D

7．D

8．C

9．B 10．B

2 18．23 19．①，④ 2注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．

三．解答题

20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

解法一：

高考试卷

z31icos()isin(),2266

于是

22icosisin 2244zcos12isin,12

zcos(12)isin(12),

33z23[cos()isin()](cosisin)3344

55 isin12125因为OP与OQ的夹角为()，所以OP⊥OQ．

12122cos因为OPz1.OQz231，所以OPOQ

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． 解法二: 因为z31icos()isin()，所以z3i． 226622icosisin，所以41 2244因为z23z23zz3422i 于是

zzzz由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．

解:

高考试卷

a1(pn1)b1(qn1)Sn,

p1q1Sna1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1)． Sn1a1(q1)(pn11)b1(p1)(qn11)分两种情况讨论． (Ⅰ)p>1． ∵pq0,0q1, pSn

nSn1lim1qn1p[a1(q1)(1n)b1(p1)(nn)]ppplim n1n1q1pn1[a1(q1)(1n1)b1(p1)(n1n1)]pppn1qn1)b(p1)[()n]1nppp=plim

n1qn11a1(q1)(1n1)b1(p1)[()n1]pppa1(q1)(1p=p． (Ⅱ)p<1． ∵ 0a1(q1)

a1(q1)Sn

nSn1lima1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1)lim na(q1)(pn11)b(p1)(qn11)11a1(q1)b1(p1)1

a1(q1)b1(p1)(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．

高考试卷

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s，全程运输成本为vyaSSabv2S(bv) vvv故所求函数及其定义域为

ayS(bv),v(0,c]

v(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有

aS(bv)2Sab v当且仅当

abv,．即vva时上式中等号成立 b若

ac，则当vba时，全程运输成本y最小， b若

ac，则当v(0,c]时，有 baaS(bv)S(bc) vcaaS[()(bvbc)]

vcS=(cv)(abcv) vc因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0， 所以S(aabv)S(bc)，且仅当v=c时等号成立， vc也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当

ababc时行驶速度应为v；当bbabc时行驶速度应为v=c． b(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．

解:(Ⅰ)∵AC1是正方体， ∴AD⊥面DC1． 又D1F面DC1，

高考试卷

∴AD⊥D1F．

(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．

设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．

(Ⅳ)连结GE，GD1．

∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1， ∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1GE ∵AA1=2，

∴SA1GES正方形ABBA2SAAGSGBE11

1

1VFA1ED1VD1A1GEA1D1SA1GE33 21321 32(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．

证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以 F(x)=a(x－x1)(x－x2)．

当x∈(0，x1)时，由于x10，又a>0，得 F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0， 即xx1f(x)x1[xF(x)]x1xa(x1x)(xx2)(x1x)[1a(xx2)]因为0xx1x2

1 a所以x1－x>0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0． 得 x1－f(x)>0．

高考试卷

由此得f(x)x0b 2ab1， a因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根． ∴x1x2x0a(x1x2)1ax1ax21b 2a2a2aax1x1． 2a2因为ax2<1，所以x0(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．

解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│， │a│．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为2r，故r2=2b2，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．

从而得2b2－a2=1．

又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为

da2b5，

所以5d2=│a－2b│2

=a2+4b2－4ab ≥a2+4b2－2(a2+b2) =2b2－a2=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值． 由此有

ab, 222ba1高考试卷

解此方程组得

a1,a1,或 b1;b1.由于r2=2b2知r2．

于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得da2b5

∴a2b5d

得a4b45bd5d 将a2=2b2－1代入①式，整理得

222 ①

2b245db5d210

②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

△=8(5d2－1)≥0，

得 5d2≥1．

∴5d2有最小值1，从而d有最小值

5． 5将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1． 将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1． 综上a=±1，b=±1，r2=2． 由a2b=1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．