课程名称 数值逼近
考试学期
09-10-3 得分
适用专业
信息与计算专业
考试形式
闭卷
考试时间长度 150分钟
（开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人
线一．填空题（每题4分，共24分）
1．已知近似数x有2位有效数字，则其相对误差限为 . 2．设f(x)=3+x2
+x4
+5x8
，则f[20
,21
,L,28
]= . 3．n次正交多项式有 个互异零点 .
封4．设f∈C
n+1
[−1,1]，
若插值节点取n+1次Chebyshev多项式的零点，则f(x)−Ln(x)≤ . 5．求积公式∫
3
f(x)dx≈3
0
2
[f(1)+f(2)]的代数精度为 .
密6．设f∈C2
[0,1]，则f′(1)−[f(1)−f(0)]= .
二．给定方程x3
−x+0.5=0。分析该方程根的分布情况，并用迭代法求出该方程的最大实根，精确至三位有效数字。（本题12分）
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三．设f(x)∈C[a,b],，将区间n等分，记xi=a+ih,h=（1）写出分段线性插值多项式Ln(x)；
2
b−a
,i=0,1,L,n。 n
h2
（2）证明：f(x)−Ln(x)≤maxf′(x)。（本题10分）
8a≤x≤b
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四．求解下列超定方程组的最小二乘解
⎡31⎤⎡1⎤
⎢1−2⎥⎡x1⎤=⎢−1⎥。 （本题10分） ⎢⎥⎢x⎥⎢⎥
⎣2⎦⎢1⎥⎢⎣−12⎥⎦⎣⎦
（本题10分） 五．求f(x)=x在[3,6]上的二次近似最佳一致逼近多项式。
4
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六．已知一组实验数据如下
xi yi
1 3 4 5 6 10 5 4 2 1 求其一次拟和曲线。（本题10分）
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七．设f(x)∈C[a,b]，考虑积分I(f)=
2
∫
b
a
f(x)dx。
（1）左矩形求积公式为I1(f)=(b−a)f(a)，分析该公式的截断误差； （2）取正整数n，并记h=
b−a
,xi=a+ih,i=0,1,L,n; i=0,1,L,n−1，请写出n
（本题12分） 复化的左矩形公式In(f)，并给出截断误差的表达式。
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八．考虑常微分方程初值问题
⎧y′=f(x,y),a≤x≤b
⎨
⎩y(a)=η取正整数n，记h=
b−a
,xi=a+ih,i=0,1,Ln. 给定上述初值问题的求解公式： n
⎧yi+1=yi+hk2⎪
⎨k1=f(xi,yi)
⎪k=f(x+αh,y+(1−α)hk)
ii1⎩2
试求参数α，使其为二阶方法，并给出局部截断误差表达式。（本题12分）
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