利用量子微积分加深对复合函数求导链式法则的理解
2023-12-09
来源:易榕旅网
2013年7月 湖北成人教育学院学报 Jul,2 0 1 3 第19卷第4期 Journal of HuBei Adult Education Institute V01.19 N O.4 利用量子微积分加深对 复合函数求导链式法则的理解 田可雷 (中国科学技术大学数学科学学院,安徽合肥,230026) [摘要]链式法则是复合函数求导的基本规则,给复合函数的求导计算带来便利,但是往往忽略这 一法则的重要意义,本文尝试通过讨论量子微积分中复合函数求导的链式法则的丧失,来加深对这一法 则的理解。 [关键词]量子微积分;复合函数求导;链式规则 [中图分类号]O172 [文献标识码]A [文章编号]l673_3878(2013)o4-一00j7__o3 一、引论 约从1910年开始,F.H.Jackson是第一个系统的 链式规则(chain rule)是求复合函数导数的 研究q一微分和q-积分的数学家.本节将对q一微 一个法则,设f和g是两个关于X的可导函数,则 积分作一个扼要介绍。 复合函数(fog)( )的导数为 量子微分算子a 如下定义: (fog) ( )=厂(g( ))g ( ) (1) )= ’0< 2) 该法则不难证明,使用起来也比较简单,因此不少 学生容易忽视其重要性,认为是自然而然的性质 该算子也称为q一微分算子。如果函数,( )可导, 之一。在教学中,为了加深学生对链式法则的理 当q一1时,a ( ))退化经典微积分理论中 解,尝试引入量子微积分(quantum calculus,又称 )的导函数 。为了给出q一微分的 q一微积分),并且通过例子说明在量子微积分中 复合函数求导的链式法则不再成立,让学生对这 Leibnitz规则,需要引人q一二项式系数( ) 和q一 一法则有了重新的认识。文章的第二节给出量子 整数(n) ,分别定义如下: 微积分的一些基本定义和性质,第三节讨论量子 微积分的复合函数求导运算。 (1) (2) …( ) ’ 二、量子微积分 量子微积分早在二十世纪初就已经出现,大 ㈩ =籍. ·57· 在此基础上,q一形变的Leibnitz规则为 令(8)式中q q 和:叶q ,有 g n: 0 a: 厂=: (:)。 一 (a:,’)a:一^, (3) 其中0为q一移动算子,定义为 ( )= qx)。 : 1 ■n: .(1o) 一c, 事实上Gauss曾在Jacobi给出其三角乘积等 式之前直接得到等式(1O),不过通过q一级数给 出的证明比较简单。 三、量子微积分的复合函数求导 接下来定义q-Jackson积分,首先是不定积分 )d =(1一g) ∑拟 ) (4) 设0<a<b,q—Jackson定积分定义为 经典微积分中,复合函数求导的链式规则实 用,但是在量子微积分中没有对应的法则,我们不 妨先看几个例子. J z)d =(卜q)b Z gf( ̄b) (5) 和 例1 州 州 州 (6) ,g(x))的q一微分,其中g(x)= 计算如下: a g(x)) 当q一1时,q一定积分退化为经典情形的定积分. =a ) 下述定理将q一微分和q一积分联系起来,称为q一微 一. 积分基本定理. )= (q一1) 2 ). = (q一1) 定理1若F(x)为f(x)的积分,且F(x)在x 一. =O时连续,那么当0≤a<b时,有 )二 口卢 一 g( 一1)f )d = (6)F(a). (7) :. )= 置2.g(望 2=翌( 2 x(q—1) ’ 另外,还有q一广义积分、q-Taylor公式等,量子 即 微积分结构完整,体系完备,在量子群、量子代数、 可积系统、核物理、分子光谱、统计力学中有很多应 用。同时,一些数学家利用q-级数给出一些恒等式 的证明,这也是一个很有意思的研究领域,限于篇 a g(x))=ocf(g(x))‘aqg(x). 例2 g( )= + . a g( ))=a 一. + ) (q一1) ‘ g ±翌: :2= ± :) 幅这里仅不加证明的给出一些例子。 Jacobi三角乘积等式: 例3 g( )=sinx.  ̄qn2zn= c-一 c + -lz)(1+q ̄'-lz , 一a g‘ : (g—1) ‘ (8) 上式中令q q, 和: q-1/2,可得到Euler乘积 从以上三个例子可以看出,量子微积分中不 公式: (一1) g3下n ̄"-n (1存在统一形式的复合函数求导链式法则,例1仅 g ), (9 对g( )=a 这种形式的成立,而从例2、例3得 NmY上此时的g[ 口 H ( )不能用g(口 ,/l、HE,1|譬l )简单表示,因 ,1日J旱衣,J、, ,一一nEz n= 1 此不存在一般形式的链式法则.这是量子微积分 不同于经典微积分的重要特征之一,只能用定义 来计算量子微积分的复合函数求导。 四、总结 由此延拓到建立在其他框架下的微积分,比如微 分流形等,提升学生对高等数学的兴趣。 参考文献: 在对多个班级的高等数学的教学实践中发 现,引入量子微积分是加深学生对链式法则理解 [1]陈祖墀,宣本金,汪琥庭,吴健.微积分学导论 [M].中国科技技术大学出版社,2011. 的有效方法。量子微积分内容简单、体系平行于 经典微积分,学生较感兴趣,一个课时即能给出全 [2]Kac V.Cheung P.Quantum Calculus[M].New York:Springer—Verlag,2002. 部介绍,既能加深对经典微积分的理解,同时也能 起到开阔学生视野的作用。实际教学中,还可以 (责任编辑:苏恩涛) Study on the Benefits of Quantum Calculus for Understanding the Chain Rule of the Derivative of he Compound Functtion Tian Kelei (School of Mathematical Science of University of Science and Technobgy of China,Hefei Anhui,230026) Abstract:The chain rule is the key of the derivative of the compound function.It is convenient to the calculation of he dertivative of the compound function.The signiifcance of the rule is often inorged.The paper shows that the quantum calculus is beneficial for understanding the chain rule as the chain ulre does not work in quantum calculus. Key words:Quantum calculus;The derivative of the compound function;Chain rule ·59·