2019年高考数学1轮复习学案 训练(北师大版文科)： 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题学案

热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题

(对应学生用书第36页)

[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．

热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)

函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．

(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

[思路点拨] (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．

1

[规范解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－A．

x2分 3分

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的．

1 若a>0，则当x∈0，时，f′(x)>0；



a

1 当x∈，＋∞时，f′(x)<0.

a

a

5分 6分 7分

11 所以f(x)在0，上是增加的，在，＋∞上是减少的．

a

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 1

当a>0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为

a f＝ln＋a1－＝－ln a＋a－1. aaa

11

1

9分 10分

1 因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.

a

令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上是增加的，g(1)＝0. 于是，当01时，g(a)>0. 因此，a的取值范围是(0,1).

12分

知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

[答题模板] 讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤 第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f(x)的导数f′(x)．

第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f′(x)>0或令f′(x)<0)． 第五步：下结论．

第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．

温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．

2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．

232

[对点训练1] 已知函数f(x)＝x＋ax－x＋c，且a＝f′.

3

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝(f(x)－x)·e，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围.

[解] (1)由f(x)＝x＋ax－x＋c， 得f′(x)＝3x＋2ax－1.

22222

当x＝时，得a＝f′＝3×＋2a×－1，

3333 解得a＝－1.

(2)由(1)可知f(x)＝x－x－x＋c，

3

2

2

3

23

x 【导学号：00090072】

12

则f′(x)＝3x－2x－1＝3x＋(x－1)，列表如下：

3

x f′(x) f(x) －∞，－1 3＋ 1－ 30 极大值 －1，1 3－ 1 0 极小值 (1， ＋∞) ＋ 1 所以f(x)的单调递增区间是－∞，－和(1，＋∞)； 3

 f(x)的单调递减区间是－，1.



(3)函数g(x)＝(f(x)－x)·e＝(－x－x＋c)·e，

3

1

3

x2x知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

有g′(x)＝(－2x－1)e＋(－x－x＋c)e ＝(－x－3x＋c－1)e，

因为函数g(x)在x∈[－3,2]上是增加的，

所以h(x)＝－x－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立， 只要h(2)≥0，解得c≥11， 所以c的取值范围是[11，＋∞)．

热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题

研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．

(2016·北京高考节选)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋C． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围． [解] (1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋c，得f′(x)＝3x＋2ax＋B． 因为f(0)＝c，f′(0)＝b，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋C． (2)当a＝b＝4时，f(x)＝x＋4x＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x＋8x＋4.

22

令f′(x)＝0，得3x＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－. 3

2

3

2

3

2

2

2

2

x2xx f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：

x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 －2，－2 3－ 2－ 30 －2，＋∞ 3＋ c c－ 32272322 所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－，x3∈－，0，3273使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.

3232

由f(x)的单调性知，当且仅当c∈0，时，函数f(x)＝x＋4x＋4x＋c有三个不同零

27

点．

[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．

知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

[对点训练2] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

3e

[解] (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，

mxxx 则f′(x)＝

x－e

，由f′(x)＝0，得x＝e. x2

∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上是增加的， e

∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，

e ∴f(x)的极小值为2.

x1mx (2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)，

3xx3

13

令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0)．

3

132

设φ(x)＝－x＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，

3 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上是增加的； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，

∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 2

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知

2

①当m＞时，函数g(x)无零点；

3

2

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

3 ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

2

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

32

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．

3

热点3 利用导数研究不等式问题

导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题． 角度1 证明不等式

(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－aln x.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； 2 (2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln. a 【导学号：00090073】

[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e－(x>0)． 当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点； 当a>0时，设u(x)＝e，v(x)＝－，

因为u(x)＝e在(0，＋∞)上是增加的，v(x)＝－在(0，＋∞)上是增加的， 所以f′(x)在(0，＋∞)上是增加的．

2x2x2xaxaxaxa1

又f′(a)>0，当b满足044

故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．

(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上是减少的，在(x0，＋∞)上是增加的，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝

ax0a22＋2ax0＋aln≥2a＋aln . 2x0aa2

故当a>0时，f(x)≥2a＋aln .

a角度2 不等式恒成立问题

(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．

知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围． [解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.

x 故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0. (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－ 设g(x)＝ln x－1

则g′(x)＝－

1

ax－x＋1

＞0.

ax－x＋1

2ax＋

，

xx2＋－ax＋1

，g(1)＝0. 2＝

xx＋2

2

2

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x＋2(1－a)x＋1≥x－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上是增加的，因此g(x)＞0； ②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－

a－

2

－1，x2＝a－1＋a－

2

－1.

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上是减少的，因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2]． 角度3 存在型不等式成立问题

1－a2

设函数f(x)＝aln x＋x－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线

2斜率为0. (1)求b；

(2)若存在x0≥1，使得f(x0)，求a的取值范围．

【导学号：00090074】

[解] (1)f′(x)＝＋(1－a)x－B． 由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1－a2

由(1)知，f(x)＝aln x＋x－x，

2

2分

axaa1－ax－ f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．

xx1－a

1a ①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增加的.

21－a知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。

我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。

所以，存在x0≥1，使得f(x0)<－14分

a1－aa的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－2a－1a－12a－1

6分

aa1aa，＋∞时，

②若1，故当x∈1，时，f′(x)<0，当x∈f′(x)>0，

21－a1－a1－af(x)在1，



aa，＋∞上是增加的.

上是减少的，在1－a1－a

的充要条件为f. <

a－11－aa－1－a＋

>，所以不合题意.

a－1a－1

8分

所以存在x0≥1，使得f(x0)<

aa

aa＝aln a＋ 而f1－a1－a

a2aa10分

1－a－a－1a ③若a>1，则f(1)＝－1＝<恒成立，所以a＞1.

22a－1 综上，a的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞).

[规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．

2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论． 3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．应特别关注等号是否成立问题．

12分

知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。