六年级奥数讲义列方程解应用题

列方程解应用题

【内容概述】＃一些基本概念:

① 像4x+2=9这样的的等式,只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元 一次方程;

② 像2ｘ+ｙ＝8这样的的等式，含有两个未知数x、ｙ，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元 一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起,就组成了一个二元一次方程组; ③ 如果有两个未知数,一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个 方程才能求出唯一解. #列方程解应用题的一般步骤是:

①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；

②合理设未知数x,设未知数的方法有两种：问什么设什么(直接设未知数），间接设未知数; ③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； ④解方程；

⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”．

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。

类型一：列简易方程解应用题 【例1】 解下列方程:

（１)12(3x)x7 ﻩ(2)132(2x3)5(x2)

（3)8(x)2x ﻩ（4）1

22335(1）162xx7，773x，x0.

(2)134x65x2，194x7x，19-7=4xx，123x，x4.

511x1x4xx，xx，xx，x，x10. (３)4(x)x，26333333353(４)3（x1）-2x6，3x32x6，x3.

【例2】 汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭,4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远?(声音的速度以３4０米/秒计算)

设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得:3４0×4=２ｘ+2×4，解得x=6７6（米）.

51115410410110--

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【例3】 用绳子测井深,绳子两折时,余６0厘米，绳子三折时，差40厘米,求绳长和井深？ 分析:设井深是ｘ厘米,则有:２ｘ+60×2=３x－４0×3 ，井深x=２40(厘米），绳长6０0厘米； 【例4】 箱子里面有红、白两种玻璃球,红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出７个白球，１５个红球.如果经过若干次以后，箱子里只剩下３个白球,53个红球,那么，箱子里原有红球比白球多多少个?

分析：设取球的次数为x次.那么原有的白球数为（3+7x)，红球数为（53＋１5x).再根据题中的第一个条件：５3+1５x=3×(3＋7x)+２,解得x=7,所以原有红球158个，原有白球5２个，红球比白球多１0６个. 类型二：引入参数列方程解应用题

【例5】 六年级二班数学考试的平均分数是85分，其中是90分。求低于80分的人的平均分。

分析:设该班级有a名同学，低于80分的人的平均分为x,则得方程: 85a＝75．

类型三:列不定方程解应用题

【例6】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个?

分析：设有大油桶x个，小油桶y个。由题意8x+5y＝44,知８x≤44,所以x＝0、１、2、3、４、５。相应的将x的所有可能值代入方程,可得ｘ＝3时，ｙ=４ . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.

【例7】 小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是５分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿_支.

分析：设买5分一支的铅笔m支，7分一支的铅笔n支。则:5×m+7×ｎ＝６4， 64—7×n是5的倍数.用n=０，1，2，3,4,５，6,７，8代入检验,只有n=2,7满足这一要求,得出相应的ｍ＝10,３.即小华买铅笔ｌO+2＝１2支,小强买铅笔７+3=1０支,小华比小强多买2支．

【例8】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了10次,每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？ 分析:设套中小鸡ｘ次,套中小猴ｙ次，则套中小狗(１０-x-ｙ）次。

根据得61分可列方程：9ｘ+5y+2(１０-x-y)=６１,化简后得７x=４1－3y。显然ｙ越小,x越大。将ｙ=１代入得7x=３8，无整数解;若y＝2,7x=3５,解得ｘ=5,所以小明至多套中小鸡5次. 附加题目

2的人得80分以上(含８０分)，他们的平均分数321a90ax ,解得ｘ33--

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【附1】甲、乙、丙、丁四人共做零件27０个。如果甲多做1０个,乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以２,那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？ 分析:设四人做的零件数恰好都为ｘ，根据题意可得:

（ｘ-10)+（x＋1０)＋(ｘ÷２）+(ｘ×2)=2７0 ,解得ｘ=60 ,丙实际做了60÷2＝30（个 ）.

【附２】有甲乙丙三个人,当甲的年龄是乙的２倍时；丙是２２岁,当乙的年龄是丙的2倍,甲是31岁;当甲60岁时,丙是多少岁?

分析：设丙2２岁时,乙的年龄是x岁,当时甲的年龄就是2x岁.那么甲是３l岁时，乙是(3１-x)岁，丙是２2＋（３1-2ｘ)=53-2x岁,且有:3１-x=2×（53-2x）,解得x=25，所以乙２５岁时,甲50岁，丙2２岁．那么甲６0岁时，丙３2岁．

【附3】有甲、乙、丙三堆石子,从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了;再从乙堆中取出6个给丙堆,乙、丙两堆石子个数就也相等了;此时又从丙堆中取2个给甲堆,使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子?

分析：设甲堆原来有x个石子,那么甲堆取出８个给乙后,甲乙两堆都是(ｘ－8)个石子;然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2个给甲堆,那么甲堆变为x-8+2=x-６,丙堆变为 x-14-2=x-16，此时有关系:x-6=2（ｘ-１6),解得x=26． 练习

1.一个分数约分后将是那么原分数是 .

,如果将这个分数的分子减少1２４,分母减少11,所得的新分数约分后将是.

2．八个自然数排成一行,从第三个数开始，每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是３,第八个数是18０,那么第二个数是 .

３,□,□,□,□,□,□18０

３.一个长方形的长与宽之比是1４:５，如果长减少1３厘米,宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米．原长方形的面积是 平方厘米.

4.某商品按每个5元利润卖出1１个的价钱,与按每个１1元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元.

5.粮店中的大米占粮食总量的千克．

,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的.这个粮店原来共有粮食

６.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车．如果每小时行30千米,那么早到15分钟；如果每小时行２0千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 ．

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７.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入３0０克20％的食盐水，则浓度变为2５%.那么原有40％的食盐水 克．

8．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2：3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和４件上衣.那么他要做成14件衬衣、１0条裤子和２件上衣,共需 工时.

９.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以1．6元计算，每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.６元,那么,在运输过程中共损坏 套茶具．

1０.摄制组从Ａ市到Ｂ市有一天的路程,计划上午比下午多走１00千米到Ｃ市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了４00千米,傍晚才停下来休息.司机说，再走从C市到这里的二分之一，就到达目的地了.那么A,B两市相距 千米. 二、解答题

１1.A、B两地相距３０千米.甲骑自行车从A到B，开始速度为每小时2０千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时4８千米的速度也由A到B,中途因加油耽误了10.５分钟．结果甲乙两人同时到达B地.甲出发后多少分钟开始减速的？

１2.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的，第二班取走200棵又

取走剩下树苗的.第三班取走300棵又取走剩下树苗的,照此类推,第ｉ班取走树苗10０´i棵又取走

剩下树苗的树苗多少棵?

.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等．试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走

13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时４0千米，在下坡路上行驶的速度是每小时5０千米,在平路

上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了的时间走上坡路,然后用了的

时间走下坡路,最后用了的时间走平路．已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开往乙地所用的

时间多15分钟,求甲、乙两地的距离．

14.兄弟两人骑马进城,全程5１千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行５千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计)，然后独自步行．而步行者到达此地,再上马前进．如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里？

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1.

. 设原分数是

，由题意有

,解得ｘ=6７,所以原分数是

.

2. 1２设第二个数是x，则这八个数可写为3,x,3＋x,3+2x,6+3ｘ,９+５x,15+8x，2４+１3ｘ.由24+1３x=1８0，解得 ｘ=12.

３. ６30设原长方形的长是１4a厘米,则宽是5a厘米.由题意可列方程

22

14a´５a＋１82=(1４ａ-13)´（５ａ＋13） 7０ａ＋１82=７0ａ+1１7a-１69

２

解得a＝3,所以原长方形的面积为14a´5a=70ａ＝630(平方厘米）

４． ５5设成本是x元.根据题意可列方程(x＋5)´１1=（x+1１)´10,解得x=55(元).

5. 42０0设原来有粮食x千克,根据现有大米可列方程克)．

解得x＝4200(千

6. 42设离火车开车时刻还有x分钟,根据从家到火车站的距离,可列方程,

解得x=55(分钟），所求速度应是30´[（55-15）¸(5５-５)]=24(千米/小)

７. 2０0浓度为30%与２0%的食盐水混合成２5%的食盐水,则30%与２０%的食盐水的质量应相同,所以40%与10%的食盐水混合成30%的食盐水有300克.

设原有40％的食盐水ｘ克,则10%的食盐水有300-x(克).由ｘ´40%+（３０0-ｘ)´１0%＝3００´3０%，解得x=200(克).

8. 2０设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为２x,做一件上衣用时为３x．

由于十个工时完成２件衬衣、3条裤子、4件上衣,即２x+3´(2x）+4´(３x)＝１0(工时)． 即20x=１0(工时),则完成2件上衣、1０条裤子、14件衬衣共需： 2´(３ｘ)+1０´（2x)＋14x=40x=20（工时）.

9. 7

设共损坏x套茶具,依题意，得1．6´(1998-x）-18´x=30５9.6,解得x=7.

10. 600设BC=ｘ千米,则AC=(x+1）千米,依题意，得解得x＝250,两地相距(ｘ+１）＋x=2x+１=600（千米).

11. 设甲出发后x分钟开始减速的,依题意,得

20´

.解得x=36（分钟）.

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１2．设这批树苗有x棵，则第一班取走树苗(１00+

棵，第二班取走

树苗棵.依题意,得,解

得ｘ=8１00,于是第一班取走的棵数,也就是每个班取走的棵数为，参加栽树的班

数为

，所以这批树苗有８100棵,共有9个班，每个班取走的树苗都是90０棵.

13. 设汽车从甲到乙所用时间为3x小时,依题意,得,解得x=5,故甲、乙两

地的距离为4０x+50x+４5x＝135ｘ＝675（千米）.

１４. 设哥哥步行了x千米,则骑马行了51-x千米.而弟弟正好相反，步行了5１-ｘ千米,骑马行x千米，

依题意,得，解得x=30(千米).所以两人用的时间同为

(小时)=7小时４5分.早晨6点动身,下午1点45分到达.

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